Test tehnologic: legi de compoziție și grupuri

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Legi de compoziție și grupuri

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pe mulțimea $M=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$ se definește legea $x\circ y$ = restul împărțirii produsului $xy$ la 11. Care dintre submulțimile de mai jos este parte stabilă a lui $M$ în raport cu legea $\circ$?

Variantele: a) „$\{1;2\}$”; b) „$\{1;10\}$”; c) „$\{2;6\}$”; d) „$\{3;5\}$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție $x\circ y=xy-38x-38y+1482$, definită pe $\mathbb{R}$. Arătați că $4\circ (-2)=1398$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=x+y+2xy$. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „legea nu este comutativă”; b) „$e=1$ este elementul neutru al legii”; c) „$e=0$ este elementul neutru al legii”; d) „$1\circ (-1)=1$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

În grupul $({\mathbb{Z}}_{18},+)$ se consideră ecuația $\hat{x}+\widehat{11}+\widehat{16}=\hat{5}$. Află numărul $x\in \{0;1;\dots ;17\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care funcția $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=(2m-1)x+4m^2-9$, este morfism de grupuri.

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție asociativă $x\circ y=3xy-15x-15y+80$, definită pe $\mathbb{R}$. Calculați ${\log }_{2}2\circ {\log }_{2}3\circ {\log }_{2}4\circ \cdots \circ {\log }_{2}300$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

La o fabrică de conserve, mașinile de etichetat au cicluri de 2, 3, 6, 12, 18 sau 36 de minute. Două mașini cu ciclurile de $x$ și $y$ minute pornesc deodată și se regăsesc în același punct al ciclului după $x\circ y$ minute, unde $x\circ y$ este cel mai mic multiplu comun al lui $x$ și $y$. Tabla legii pe $M=\{2;3;6;12;18;36\}$ este:

a) (5 puncte) Citește din tablă $12\circ 18$, apoi calculează $(12\circ 18)\circ 3$ și $12\circ (18\circ 3)$. Dau cele două grupări același număr de minute?

b) (5 puncte) Găsește în tablă un element absorbant al legii, adică un $a\in M$ cu $a\circ x=a$ pentru orice $x\in M$. Are legea element neutru în $M$? Explică.

Exercițiul 8 (10 puncte)

La un service auto, peste o aripă reparată se aplică pe rând două straturi de vopsea acoperitoare, din nuanțele $A$ (alb), $G$ (gri) și $R$ (roșu). Stratul al doilea acoperă complet stratul de dedesubt, deci aripa rămâne cu nuanța lui: notăm $x\circ y$ nuanța aripii când se aplică întâi $x$, apoi $y$, pe mulțimea $M=\{A;G;R\}$.

a) (5 puncte) Scrie tabla legii. Află din ea $A\circ G$ și $G\circ A$ și spune dacă legea este comutativă.

b) (5 puncte) Arată că legea este asociativă. Verifică apoi că $A\circ x=x$ pentru orice $x\in M$ și explică de ce, totuși, $A$ nu este element neutru și legea nu are element neutru.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un șlefuitor cu tambur are 16 benzi abrazive așezate în cerc, numerotate de la 0 la 15. Pentru uzură egală, operatorul avansează tamburul cu 3 poziții la fiecare lot, deci lotul $k$ folosește banda $\widehat{3k}$ din ${\mathbb{Z}}_{16}$. Notăm $f(\hat{k})=\widehat{3k}$, cu $f:{\mathbb{Z}}_{16}\to {\mathbb{Z}}_{16}$.

a) (5 puncte) Arată că $f$ este morfism de la $({\mathbb{Z}}_{16},+)$ la $({\mathbb{Z}}_{16},+)$ și calculează $f(\hat{5})+f(\widehat{12})$ și $f(\hat{5}+\widehat{12})$.

b) (5 puncte) Arată că $f$ este izomorfism: pentru orice clasă $\hat{h}$, ecuația $f(\hat{k})=\hat{h}$ are o singură soluție; află-o în funcție de $h$. Dacă tamburul ar avansa cu 4 poziții, funcția $g(\hat{k})=\widehat{4k}$ ar fi tot morfism, dar nu izomorfism: arată de ce.

Partea a III-a – Probleme de tip examen și o sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție $x\circ y=xy+34x+34y+1122$, definită pe $\mathbb{R}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=(x+34)(y+34)-34$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 2=3x+2$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\circ x\le x$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe mulțimea $G=(22;+\infty )$ se definește legea $x\circ y=\frac{xy}{2}-11x-11y+264$. Se știe că $(G,\circ )$ este grup. Fie funcția $f:G\to (0;+\infty )$, $f(x)=\frac{x-22}{2}$.

a) (5 puncte) Arată că $f(x\circ y)=f(x)\cdot f(y)$ pentru orice $x,y\in G$ și că $f$ este bijectivă; deci $f$ este izomorfism de la $(G,\circ )$ la $((0;+\infty ),\cdot )$.

b) (5 puncte) Determină elementul neutru $e$ al legii $\circ$ și simetricul lui 23, apoi verifică faptul că $f(e)=1$.

c) (5 puncte) Rezolvă în $G$ ecuația $(x\circ x)\circ x=76$, folosind funcția $f$.

Barem și răspunsuri

Punctele fiecărui pas sunt trecute între paranteze, iar o rezolvare corectă pe alt drum primește aceleași puncte. La Partea a III-a, fără calcul și fără justificare subpunctul nu ia punctele, chiar dacă rezultatul este corect. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” nu poartă puncte.

Exercițiul 1.

Pentru fiecare submulțime verifici dacă toate produsele reduse rămân în ea. În a), $2\circ 2=4\notin \{1;2\}$; în c), $2\circ 6$ este restul lui 12 la 11, adică 1, iar $1\notin \{2;6\}$; în d), $3\circ 3$ este restul lui 9 la 11, adică 9, iar $9\notin \{3;5\}$ (3 p). În b), $1\circ 1=1$, $1\circ 10=10\circ 1=10$ și $10\circ 10$ este restul lui 100 la 11, adică 1: toate patru rezultatele sunt în $\{1;10\}$, deci răspunsul este $\mathbf{b})$ (2 p). Verificare: $10\cdot 10=100=9\cdot 11+1$. Cine verifică doar perechile cu elemente diferite nu vede că $2\circ 2=4$ scoate pe $\{1;2\}$ din joc.

Exercițiul 2.

Înlocuiești $x=4$ și $y=-2$ în formula legii: $4\circ (-2)=4\cdot (-2)-38\cdot 4-38\cdot (-2)+1482$ (3 p). Calculezi: $-8-152+76+1482=1398$ (2 p). Verificare: cu forma $(x-38)(y-38)+38$ avem $(4-38)(-2-38)+38=(-34)(-40)+38=1360+38=1398$. Cine scrie $-76$ în loc de $+76$ pentru produsul $-38\cdot (-2)$ obține 1246, nu 1398.

Exercițiul 3.

Pentru $e=0$, $x\circ 0=x+0+0=x$, iar formula nu se schimbă când schimbi $x$ cu $y$, deci legea este comutativă și $0\circ x=x$: varianta c) este adevărată, $\mathbf{c})$ (3 p). Celelalte sunt false: a) contrazice comutativitatea; $x\circ 1=x+1+2x=3x+1$, deci $2\circ 1=7$, nu 2, iar b) este falsă; $1\circ (-1)=1-1-2=-2$, nu 1, deci d) este falsă (2 p). Verificare: $7\circ 0=7$ și $0\circ 7=7$. Cine ia $e=1$ din obișnuința de la înmulțire uită termenul $x+y$ al legii.

Exercițiul 4.

$\widehat{11}+\widehat{16}=\widehat{27}=\hat{9}$, fiindcă $27=18+9$ (2 p). Ecuația devine $\hat{x}+\hat{9}=\hat{5}$, deci $\hat{x}=\hat{5}-\hat{9}=\widehat{-4}=\widehat{14}$, adică $x=14$ (3 p). Verificare: $14+11+16=41=2\cdot 18+5$, deci $\widehat{41}=\hat{5}$. Cine scrie $x=4$ calculează $9-5$ în loc de $5-9$.

Exercițiul 5.

Pentru orice $x$ și $y$, $f(x+y)=(2m-1)(x+y)+4m^2-9$, iar $f(x)+f(y)=(2m-1)(x+y)+2(4m^2-9)$; cele două părți diferă prin $4m^2-9$ (2 p). Ele coincid pentru orice $x$ și $y$ numai dacă $4m^2-9=0$ (1 p), deci $m\in \left\{-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right\}$ (2 p). Verificare: pentru $m=\frac{3}{2}$, $f(x)=2x$, iar pentru $m=-\frac{3}{2}$, $f(x)=-4x$; ambele păstrează adunarea. Cine pune $2m-1=0$ în loc de $4m^2-9=0$ obține $m=\frac{1}{2}$, pentru care $f(x)=-8$ nu este morfism.

Exercițiul 6.

Scrii legea ca $x\circ y=3(x-5)(y-5)+5$ și observi că $x\circ 5=5\circ x=5$ pentru orice $x$ (2 p). În șir apare ${\log }_{2}32=5$, fiindcă $32=2^5$, iar legea este asociativă, deci grupezi $({\log }_{2}2\circ \cdots \circ {\log }_{2}31)\circ {\log }_{2}32\circ ({\log }_{2}33\circ \cdots \circ {\log }_{2}300)$: unit cu 5, primul grup dă 5, apoi $5\circ (\dots )=5$; rezultatul este $5$ (3 p). Verificare: $3(x-5)(y-5)+5=3xy-15x-15y+75+5$, adică formula legii, iar $2\circ 5=3\cdot (-3)\cdot 0+5=5$. Cine caută pe 5 printre termenii ${\log }_{2}k$ fără să calculeze logaritmii nu îl găsește: el apare ca ${\log }_{2}32$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Pe linia lui 12, coloana lui 18: $12\circ 18=36$ (1 p). Apoi $(12\circ 18)\circ 3=36\circ 3=36$ (2 p), iar $18\circ 3=18$ și $12\circ (18\circ 3)=12\circ 18=36$: ambele grupări dau $36$ minute (2 p).

b) (5 p) Linia și coloana lui 36 conțin numai 36, deci $36\circ x=x\circ 36=36$ și $36$ este element absorbant (2 p). Un element neutru $e$ ar da $e\circ 2=2$ și $e\circ 3=3$ (1 p); dar în coloana lui 2 numărul 2 apare numai pe rândul lui 2, iar în coloana lui 3 numărul 3 apare numai pe rândul lui 3 (1 p), deci $e$ ar fi și 2, și 3: legea nu are element neutru (1 p).

Verificare: a) $36$ este cel mai mic multiplu comun al lui 12 și 18; $(12\circ 18)\circ 3$ este cel mai mic multiplu comun al lui 12, 18 și 3, deci tot 36, oricum ai grupa. Cine citește coloana lui 12 și linia lui 18 obține același 36, fiindcă legea este comutativă, dar la o lege necomutativă ordinea ar conta. b) Numărul 1 ar fi neutru, dar nu este în $M$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ se trece $y$, nuanța stratului al doilea: fiecare dintre cele trei linii ale tablei este $A$, $G$, $R$ (2 p). Din tablă, $A\circ G=G$, iar $G\circ A=A$ (2 p); cele două rezultate diferă, deci legea nu este comutativă (1 p).

b) (5 p) Pentru orice $x,y,z\in M$, $(x\circ y)\circ z=z$, fiindcă ultimul strat este $z$, iar $x\circ (y\circ z)=y\circ z=z$; cele două grupări dau aceeași nuanță, deci legea este asociativă (2 p). $A\circ x=x$ pentru orice $x$, fiindcă stratul al doilea acoperă stratul $A$ (1 p). Un element neutru $e$ ar trebui să verifice și $x\circ e=x$ pentru orice $x$; dar $x\circ e=e$, deci $e$ ar fi egal și cu $A$, și cu $G$, și cu $R$, imposibil: legea nu are element neutru (2 p).

Verificare: a) $R\circ G=G$ și $G\circ R=R$, încă o pereche care respinge comutativitatea. b) $G\circ A=A$, nu $G$: vopseaua albă pusă a doua nu lasă aripa gri. Cine verifică neutrul doar pe o parte, $A\circ x=x$, crede greșit că $A$ este neutru; la fel s-ar „găsi” și $G$, și $R$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Pentru orice $\hat{a}$ și $\hat{b}$, $f(\hat{a}+\hat{b})=\widehat{3(a+b)}=\widehat{3a+3b}=\widehat{3a}+\widehat{3b}=f(\hat{a})+f(\hat{b})$ (3 p). Pe numere: $f(\hat{5})=\widehat{15}$ și $f(\widehat{12})=\widehat{36}=\hat{4}$, cu suma $\widehat{19}=\hat{3}$; pe de altă parte, $\hat{5}+\widehat{12}=\widehat{17}=\hat{1}$ și $f(\hat{1})=\hat{3}$ (2 p); ambele valori sunt $3$.

b) (5 p) Ecuația $\widehat{3k}=\hat{h}$ are soluția $\hat{k}=\widehat{11h}$, fiindcă $3\cdot 11h=33h=2\cdot 16h+h$ (1 p). Soluția este unică: din $\widehat{3k}=\widehat{3k^{\prime }}$, înmulțind cu 11, rezultă $\hat{k}=\widehat{k^{\prime }}$ (2 p); deci $f$ este bijectivă, iar fiind și morfism, este izomorfism. Pentru $g$: $g(\hat{4})=\widehat{16}=\hat{0}$ și $g(\hat{8})=\widehat{32}=\hat{0}$ (1 p), două clase diferite cu aceeași imagine, deci $g$ nu este injectivă și nu este izomorfism (1 p).

Verificare: a) $36=2\cdot 16+4$, $19=16+3$ și $17=16+1$. b) $3\cdot 11=33=2\cdot 16+1$; $f(\widehat{11\cdot 5})=f(\widehat{55})=f(\hat{7})=\widehat{21}=\hat{5}$. Cine verifică morfismul doar pe $\hat{5}$ și $\widehat{12}$ nu dovedește egalitatea pentru toate clasele.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Desfaci parantezele din membrul drept: $(x+34)(y+34)-34=xy+34x+34y+1156-34$ (2 p). Rezultă $xy+34x+34y+1122$, adică exact $x\circ y$, pentru orice $x$ și $y$ (3 p).

b) (5 p) Cu forma de la a), $x\circ 2=(x+34)\cdot 36-34=36x+1190$ (2 p). Ecuația $36x+1190=3x+2$ dă $33x=-1188$, deci $x=-36$ (3 p).

c) (5 p) Cu forma de la a), $x\circ x=(x+34{)}^2-34=x^2+68x+1122$. Inecuația $x^2+68x+1122\le x$ devine $x^2+67x+1122\le 0$, cu $\Delta =4489-4488=1$ și rădăcinile $-34$ și $-33$ (3 p); trinomul are ramurile în sus, deci este negativ sau nul între rădăcini, adică $x\in [-34;-33]$ (2 p).

Verificare: a) pentru $x=1$ și $y=2$, $2+34+68+1122=1226$ și $35\cdot 36-34=1226$; b) $(-36)\circ 2=(-2)\cdot 36-34=-106$ și $3\cdot (-36)+2=-106$; c) pentru $x=-34$, $x\circ x=-34=x$, iar pentru $x=0$, $x\circ x=1122>0$. Cine rezolvă $x\circ x=x$ și se oprește la rădăcinile $-34$ și $-33$ nu răspunde la inecuație.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $f(x\circ y)=\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{2}-11x-11y+264-22\right)=\frac{xy}{4}-\frac{11x}{2}-\frac{11y}{2}+121$ (1 p), iar $f(x)\cdot f(y)=\frac{(x-22)(y-22)}{4}=\frac{xy}{4}-\frac{11x}{2}-\frac{11y}{2}+121$ (1 p): cele două expresii coincid pentru orice $x,y\in G$, deci $f$ este morfism (1 p). Pentru orice $z>0$, ecuația $\frac{x-22}{2}=z$ are o singură soluție, $x=2z+22$, iar $x>22$ fiindcă $z>0$: $f$ este bijectivă (1 p); morfism bijectiv înseamnă izomorfism (1 p).

b) (5 p) $x\circ e=x$ pentru orice $x$ înseamnă $\frac{xe}{2}-11x-11e+264=x$, adică $x\left(\frac{e}{2}-12\right)+264-11e=0$ pentru orice $x$; de aici $\frac{e}{2}-12=0$, deci $e=24$, iar $264-11\cdot 24=0$; legea este comutativă, deci și $e\circ x=x$ (2 p). Simetricul $x^{\prime }$ al lui 23 verifică $23\circ x^{\prime }=24$: $\frac{23x^{\prime }}{2}-253-11x^{\prime }+264=24$, adică $\frac{x^{\prime }}{2}+11=24$, deci $x^{\prime }=26$ (2 p). Apoi $f(e)=\frac{24-22}{2}=1$ (1 p).

c) (5 p) Din a), $f((x\circ x)\circ x)=f(x\circ x)\cdot f(x)=f(x{)}^3$ (1 p), iar $f(76)=27$, deci $f(x{)}^3=27$ și $f(x)=3$ (2 p). Atunci $\frac{x-22}{2}=3$, deci $x=28$, care este în $G$ (2 p).

Verificare: b) $23\circ 26=299-253-286+264=24$, iar $f(23)\cdot f(26)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$. c) $28\circ 28=392-308-308+264=40$, iar $40\circ 28=560-440-308+264=76$. Cine ia elementul neutru egal cu 1, ca la înmulțire, nu verifică $x\circ 1=x$: 1 nici nu este în $G$, iar $23\circ 1=\frac{23}{2}-253-11+264=\frac{23}{2}$, nu 23.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea „Legi de compoziție și grupuri” a clasei a XII-a, filiera tehnologică, pe cele patru lecții ale ei: „Lege de compoziție la tehnologic: tabla”, „Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru”, „Grupul ℤₙ pentru tehnologic: turele de recepție” și „Morfism de grupuri la tehnologic: condiția”. Inelele, corpurile și polinoamele rămân în sarcina testului următor.

• Punctaj: din exerciții iei cel mult 90 de puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu, deci lucrarea are maximum 100 de puncte.
• Timp de lucru: 50 de minute.
• Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator, fiecare exercițiu cu calculele lui; la Partea a III-a nu ajunge rezultatul, trebuie arătat și drumul până la el. Ghidajul desparte exercițiul în pași mici: întâi o întrebare cu patru răspunsuri, apoi un număr de aflat, iar o variantă greșită vine cu explicația ei. Îl pornești numai când exercițiul nu iese singur.
• 90–100 de puncte: legile de compoziție, grupurile și morfismele sunt stăpânite; treci la inele, corpuri și polinoame.
• 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
• 60–74 de puncte: pentru fiecare exercițiu cu mai puțin de jumătate din puncte citești lecția din tabel, apoi lucrezi din nou testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi iar cele patru lecții, una după alta, apoi lucrezi testul de la început, cu ghidajul alături.
• Formule de reținut: o lege de forma $xy+ax+ay+c$ cu $c=a^2-a$ se scrie factorizat $(x+a)(y+a)-a$, ceea ce se dovedește desfăcând parantezele cu litere; legea este internă pe $M$ când $x\circ y\in M$ pentru orice $x,y\in M$, iar $H\subset M$ este parte stabilă când $x\circ y\in H$ pentru orice $x,y\in H$; comutativitatea cere $x\circ y=y\circ x$, asociativitatea cere $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$, elementul neutru $e$ cere $x\circ e=e\circ x=x$, iar simetricul $x^{\prime }$ al lui $x$ cere $x\circ x^{\prime }=x^{\prime }\circ x=e$, toate pentru orice element al mulțimii, iar o singură pereche sau un singur triplet cu rezultate diferite respinge o proprietate; un grup este o mulțime cu o lege internă și asociativă, care are element neutru și în care fiecare element are un simetric; în ${\mathbb{Z}}_n$, $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$, iar opusul lui $\hat{k}$ este $\widehat{n-k}$; o funcție $f:G\to H$ este morfism când $f(x\circ y)=f(x)\star f(y)$ pentru orice $x,y\in G$ (operația din stânga e a lui $G$, cea din dreapta e a lui $H$), iar izomorfism când este și bijectivă.

Exercițiile 2, 6 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: urmează formele cerințelor de la Subiectul al II-lea, problema 2, dar cu legi și numere care nu apar în probele oficiale 2013–2026.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Problema 2 din Subiectul al II-lea cere legea de compoziție și proprietățile ei, iar în probele oficiale 2013–2026 legea de compoziție a apărut în 54 de probe, proprietățile ei în 20 de probe. Grupul a apărut într-o singură probă. Morfismul de grupuri face parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 2, dar nu a apărut în probele 2013–2026; fiind în programă, poate fi cerut. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.