Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2025 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2025 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=3$ și $a_2=10$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=a+g(2)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(10x-1)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $45\%$, un produs costă $110$ lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(0,-1)$, $C(8,3)$. Arătați că $AB=AM$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și $AC=8$. Arătați că $\sin C=\frac{3}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 3a\\ a& 2a+3\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=2$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(1)\cdot A(1)+2I_2=xA(1)$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(2)\cdot X\cdot A(2)=A(0)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 2=2$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (2x)=6$.

c) (5 puncte) Știind că $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$", determinați numărul real $x$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „$\ast$" este $4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-2-\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+\ln x}{3x-3}=\frac{4}{3}$.

c) (5 puncte) Arătați că $\frac{4x^2-1}{2}\ge \ln (2x)$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+2x+2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-2x\right)dx=e+1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3\frac{1}{f(x)-e^x}dx=\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=5+\frac{a}{e}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, împărțite pe două rânduri. Punctele de pe fiecare rând sunt cele publicate odată cu simularea din 2025; textul rezolvărilor, explicațiile și probele sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen îl depășește pe cel dinaintea lui cu aceeași rație $r$. Din primii doi termeni: $$r=a_2-a_1=10-3=7\text{(3 p)}.$$ Al treilea termen este $$a_3=a_2+r=10+7=17\text{(2 p)}.$$

(Probă: mijlocul dintre $a_1$ și $a_3$ este $a_2$: $\frac{3+17}{2}=10$. Altă cale: $a_3=2a_2-a_1=20-3$. Capcană: raportul $10:3$ ar descrie o progresie geometrică, la care al treilea termen ar fi $10\cdot \frac{10}{3}=\frac{100}{3}$, nu $17$.)

Exercițiul 2. (5 p) — ecuație cu valorile a două funcții.

Se calculează cele două părți ale egalității. Valoarea lui $g$ în $2$ este $2+2$, iar $f(a)$ se scrie înlocuind $x$ cu $a$, pentru orice număr real $a$: $$g(2)=4,f(a)=3a-4\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $f(a)=a+g(2)$ devine $3a-4=a+4$; termenii cu $a$ se strâng în stânga: $2a=8$, deci $\mathbf{a}=4$ (2 p).

(Probă: $f(4)=3\cdot 4-4=8$, iar $4+g(2)=4+4=8$. Capcană: $g(2)$ se confundă cu $2$ și ecuația rezultată dă $a=3$; dar $f(3)=5$, iar $3+g(2)=7$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în baza $3$ al unui număr este $2$ exact când numărul este $3^2$; pentru ca logaritmul să existe, argumentul trebuie să fie pozitiv, $10x-1>0$: $$10x-1=3^2=9\text{(3 p)}.$$ Rezultă $10x=10$, adică $\mathbf{x}=1$. Valoarea convine: $10\cdot 1-1=9>0$ (2 p).

(Probă: ${\log }_{3}9=2$, fiindcă $3^2=9$. Capcană: baza și rezultatul se inversează, $10x-1=2^3=8$, și iese $x=\frac{9}{10}$, pentru care ${\log }_3\left(10\cdot \frac{9}{10}-1\right)={\log }_{3}8\ne 2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procent: prețul de dinainte.

Fie $x$ prețul înainte de ieftinire. Ieftinirea cu $45\%$ scade din el $\frac{45}{100}x$, iar ce rămâne este prețul de $110$ lei: $$x-\frac{45}{100}x=110\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{55}{100}x$, deci $x=110\cdot \frac{100}{55}$: $$x=200\text{ de lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $45\%$ din $200$ este $90$, iar $200-90=110$. Capcană: procentul se adaugă la prețul final, $110+\frac{45}{100}\cdot 110=159,5$ — un preț care, ieftinit cu $45\%$, nu dă $110$; prețul final este cel micșorat, deci ecuația se scrie pentru prețul inițial.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijloc și distanțe în reperul cartezian.

Punctele $A$ și $B$ au aceeași abscisă, $0$, deci segmentul $AB$ este vertical, iar lungimea lui este diferența ordonatelor: $$AB=|4-(-1)|=5\text{(2 p)}.$$ Mijlocul lui $[BC]$ are coordonatele semisumelor: $M\left(\frac{0+8}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=M(4,1)$. De la $A(0,4)$ la $M(4,1)$ avem diferențele $4$ și $-3$: $$AM=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{25}=5=AB\text{(3 p)}.$$

(Observație: $AM$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $4$. Capcană: la $AB$ se scrie $4-1=3$, ca și cum ordonata lui $B$ ar fi $+1$; ordonata este $-1$, deci diferența este $4-(-1)=5$. O altă greșeală: la mijloc se adună coordonatele și nu se împarte la $2$, $M(8,2)$, iar $AM=\sqrt{68}$ nu mai e $5$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

Ipotenuza $BC$ se află din teorema lui Pitagora, cu catetele $AB=6$ și $AC=8$: $$BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$ Sinusul unghiului $C$ este raportul dintre cateta opusă lui, $AB$, și ipotenuză: $$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$, iar ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$. Capcană: se ia cateta alăturată, $\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$, care este cosinusul; sau sinusul se scrie ca raport între catete, $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$, care este tangenta.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$ elementele sunt $2$, $3\cdot 2=6$, $2$ și $2\cdot 2+3=7$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 2& 7\end{array}\right),\det (A(2))=2\cdot 7-6\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=14-12=2\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: pentru orice $a$, $\det A(a)=a(2a+3)-3a\cdot a=3a-a^2$, iar la $a=2$ iese $6-4=2$. Capcană: elementul din dreapta jos se scrie $2a=4$, fără $+3$; determinantul ar fi $8-12=-4$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $a=1$: $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 5\end{array}\right)$. Produsul se face rând cu coloană, iar fiecare element al rezultatului este de $6$ ori elementul corespunzător din $A(1)$: $6=6\cdot 1$, $18=6\cdot 3$, $30=6\cdot 5$. $$A(1)\cdot A(1)+2I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 18\\ 6& 28\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 18\\ 6& 30\end{array}\right)=6A(1)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cerută devine $xA(1)=6A(1)$, iar $A(1)$ nu este matricea nulă, deci $$\mathbf{x}=6\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: pentru o matrice $2\times 2$, $M^2-(\text{urma})M+(\det M)I_2=O_2$; aici urma lui $A(1)$ este $1+5=6$ și determinantul $5-3=2$, deci $A(1{)}^2+2I_2=6A(1)$. Capcană: se uită $2I_2$ și se compară $\left(\begin{array}{cc}4& 18\\ 6& 28\end{array}\right)$ cu $xA(1)$, ceea ce nu merge pentru niciun $x$: $4=x\cdot 1$, $6=x\cdot 1$ se contrazic.)

c) (5 p) Determinantul lui $A(2)$ este $2\ne 0$, deci $A(2)$ este inversabilă. Înmulțind egalitatea $A(2)\cdot X\cdot A(2)=A(0)$ la stânga și la dreapta cu $A(2{)}^{-1}$, se obține $$X=A(2{)}^{-1}\cdot A(0)\cdot A(2{)}^{-1},\text{ cu }A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Inversa este $A(2{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{7}{2}& -3\\ -1& 1\end{array}\right)$. Se înmulțește întâi $A(0)\cdot A(2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -3& 3\end{array}\right)$, apoi $A(2{)}^{-1}$ la stânga: $$X=\left(\begin{array}{cc}9& -9\\ -3& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: $A(2)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -3& 3\end{array}\right)$, iar $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -3& 3\end{array}\right)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=A(0)$. Capcană: ordinea factorilor contează: $A(0)\cdot A(2{)}^{-1}\cdot A(2{)}^{-1}$ nu este $X$; iar dacă se omite al doilea factor $A(2{)}^{-1}$, se obține $\left(\begin{array}{cc}0& -9\\ 0& 3\end{array}\right)$, pentru care $A(2)\cdot X\cdot A(2)$ nu mai dă $A(0)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=0$ și $y=2$ în definiția legii: $$0\ast 2=0\cdot 2-2\cdot 0-2\cdot 2+6\text{(3 p)}.$$ $$0\ast 2=0-0-4+6=2\text{(2 p)}.$$

(Altă formă a legii: $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$; atunci $0\ast 2=(-2)\cdot 0+2=2$. Capcană: semnele se schimbă și iese $0+0+4+6=10$; sau se pierde $+6$ și iese $-4$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $y=2x$ în definiție: $$x\ast (2x)=x\cdot 2x-2x-2\cdot 2x+6=2x^2-6x+6\text{(2 p)}.$$ Ecuația $2x^2-6x+6=6$ devine $2x^2-6x=0$, adică $2x(x-3)=0$. Soluțiile sunt $$\mathbf{x}=0\text{ și }\mathbf{x}=3\text{(3 p)}.$$

(Probă: $0\ast 0=6$ și $3\ast 6=18-6-12+6=6$. Capcană: ecuația se împarte la $x$, ca să dispară factorul comun, și soluția $x=0$ se pierde; se mai poate greși factorizarea, $2x^2-6x=2x(x-6)$, care ar da $x=6$, dar $6\ast 12=72-12-24+6=42\ne 6$.)

c) (5 p) Simetricul lui $x$ este $4$ când $x\ast 4=e$, iar $e=3$. Se calculează $$x\ast 4=4x-2x-8+6=2x-2,\text{ deci }2x-2=3\text{(3 p)}.$$ De aici $2x=5$, adică $\mathbf{x}=\frac{5}{2}$ (2 p).

(Probă: $\frac{5}{2}\ast 4=10-5-8+6=3$. Observație: legea fiind comutativă, $4\ast x=x\ast 4$, deci nu mai trebuie verificată a doua egalitate din definiția simetricului. Capcană: se confundă elementul neutru cu simetricul și se scrie $x\ast 4=4$, de unde $x=3$; dar $3\ast 4=12-6-8+6=4$ arată doar că $3$ este neutru, nu că $3$ are simetricul $4$. Altă greșeală: $x\ast 4=0$, ca la adunare; atunci $x=1$, iar $1\ast 4=4-2-8+6=0\ne 3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: la $2x^2$ exponentul coboară și înmulțește coeficientul, $2\cdot 2x$; derivata lui $\ln x$ este $\frac{1}{x}$, iar derivata constantei $-2$ este $0$: $$f^{\prime }(x)=4x-\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ La numitor comun, $f^{\prime }(x)=\frac{4x^2-1}{x}$, iar numărătorul este diferența de pătrate $(2x{)}^2-1^2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=4-1=3$, iar $\frac{1\cdot 3}{1}=3$. Capcană: derivata lui $2x^2$ se scrie $2x$, fără factorul $2$ care vine din exponent; sau se scrie $\ln x$ ca derivată a lui $\ln x$, în loc de $\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) În sumă, termenii cu logaritm se anulează: $f(x)+\ln x=2x^2-2=2(x-1)(x+1)$, iar numitorul este $3x-3=3(x-1)$. La $x\to 1$, atât numărătorul, cât și numitorul tind la $0$: nedeterminare de tip $\frac{0}{0}$, care se rezolvă prin simplificarea factorului $x-1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+\ln x}{3x-3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2(x-1)(x+1)}{3(x-1)}\text{(3 p)}.$$ După simplificare rămâne o funcție continuă în $1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2(x+1)}{3}=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: derivatele numărătorului și ale numitorului în $1$ dau $\frac{4}{3}$, fiindcă ${\left(2x^2-2\right)}^{\prime }=4x$ și $(3x-3{)}^{\prime }=3$. Capcană: $x^2-1$ se descompune ca $(x-1{)}^2$; atunci $\frac{2(x-1)}{3}\to 0$, nu $\frac{4}{3}$. Altă greșeală: nedeterminarea $\frac{0}{0}$ se citește ca $1$.)

c) (5 p) Derivata $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$ are pe $(0,+\infty )$ semnul lui $2x-1$, fiindcă $2x+1>0$ și $x>0$. Se anulează în $x=\frac{1}{2}$:

• pe $\left(0,\frac{1}{2}\right]$: $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ scade;
• pe $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$: $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ crește (2 p).

Minimul lui $f$ pe $(0,+\infty )$ este deci $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{4}-2-\ln \frac{1}{2}=-\frac{3}{2}+\ln 2$. Din $f(x)\ge f\left(\frac{1}{2}\right)$ rezultă $$2x^2-2-\ln x\ge -\frac{3}{2}+\ln 2⟺2x^2-\frac{1}{2}\ge \ln x+\ln 2⟺\frac{4x^2-1}{2}\ge \ln (2x)\text{(3 p)}.$$

(Probă: la $x=\frac{1}{2}$ inegalitatea devine egalitate, $\frac{4\cdot \frac{1}{4}-1}{2}=0=\ln 1$. Capcană: inegalitatea se verifică doar în $x=1$ ($\frac{3}{2}\ge \ln 2$); un punct sau două nu dovedesc nimic pentru toți $x>0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Se înlocuiește $f(x)=e^x+2x+2$; din diferență dispare termenul $2x$: $${\int }_0^1\left(f(x)-2x\right)dx={\int }_0^1\left(e^x+2\right)dx=\left(e^x+2x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=(e+2)-(1+0)=\mathbf{e}+1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: la limita de jos, $e^0$ se ia $0$ și iese $e+2$; sau, în loc să se scadă $e^0=1$, se adună și iese $e+3$.)

b) (5 p) Diferența $f(x)-e^x$ rămâne $2x+2=2(x+1)$, iar pe $[0,3]$ aceasta este nenulă. O primitivă a lui $\frac{1}{2(x+1)}$ este $\frac{1}{2}\ln (x+1)$: $${\int }_0^3\frac{1}{2x+2}dx=\frac{1}{2}\ln (x+1){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{2}\left(\ln 4-\ln 1\right)=\frac{1}{2}\ln 4=\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{1}{2}\ln 4=\ln 4^{1/2}=\ln 2$, iar $\ln 1=0$. Capcană: se ia $\ln (2x+2)$ ca primitivă; derivata lui este $\frac{2}{2x+2}$, nu $\frac{1}{2x+2}$, iar valoarea $\ln 8-\ln 2=\ln 4$ e dublul celei corecte.)

c) (5 p) Se împarte la $e^x$ fiecare termen al lui $f$: $\frac{f(x)}{e^x}=1+(2x+2)e^{-x}$. Primul termen se integrează direct, iar al doilea prin părți, cu $e^{-x}=-{\left(e^{-x}\right)}^{\prime }$: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=x{|}_0^1+{\int }_0^1(2x+2){\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }dx\text{(3 p)}.$$ Integrala prin părți se continuă astfel: $$=1-(2x+4)e^{-x}{|}_0^1=1-\frac{6}{e}+4=5-\frac{6}{e}.$$ Egalitatea $5-\frac{6}{e}=5+\frac{a}{e}$ dă $\frac{a}{e}=-\frac{6}{e}$, deci $\mathbf{a}=-6$ (2 p).

(Probă: ${\left(-(2x+4)e^{-x}\right)}^{\prime }=-2e^{-x}+(2x+4)e^{-x}=(2x+2)e^{-x}$. Capcană: $e^x$ de la numitor se confundă cu $e$ și iese ${\int }_0^1\left(1+\frac{2x+2}{e}\right)dx=1+\frac{3}{e}$; sau se împarte doar primul termen al lui $f$.)

Pentru părinți și profesori

Aici stă simularea de matematică pentru Bacalaureatul tehnologic 2025, proba E. c): în actele oficiale se numește Matematică M_tehnologic, iar în conversațiile din școli, „M3". Pe foaia oficială scrie „Simulare": lucrarea reproduce structura probei de examen, ca antrenament pentru elevii din clasa a XII-a. Sus pe foaie stau Ministerul Educației și Cercetării și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Se adresează elevilor din toate calificările profesionale ale filierei tehnologice (profilurile servicii, resurse și tehnic). Enunțurile sunt reproduse întocmai. Rezolvările, observațiile și ghidajul sunt ale noastre; rândurile punctate sunt cele din baremul oficial.

Ce probă dă tehnologicul. Filiera tehnologică are la Bacalaureat o lucrare de matematică doar a ei, M_tehnologic, dată prima oară la examenul din 2013; simularea de față aparține acestei probe.

De ce merită lucrată o simulare. Ea îți dă senzația unei lucrări complete, fără indicii: cele zece cerințe vin la un loc, într-o ordine fixă, iar punctajul se adună din 36 de rânduri mici. Subiectul I are șase cerințe, iar fiecare dintre celelalte trei subiecte are două probleme cu câte trei subpuncte.

Cerințele, pe rând, cu clasa din programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1 (cerința 3). Ecuațiile logaritmice sunt la examen în clasa a X-a. Programa nouă aduce logaritmul în clasa a IX-a, intuitiv, cu valori de pe calculator și fără proprietățile lui algebrice, iar ecuațiile le rezolvă pe grafic sau digital. Pentru cei din 2027, 2028 și 2029, care au făcut sau fac clasele a IX-a și a X-a după programa veche, algebra cerinței 3 stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice", iar proprietățile logaritmilor, în „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".
• Nota 2 (cerința 4). La examen, calculul procentual ține de matematicile financiare din clasa a X-a. Programa nouă îl folosește doar ca exemplu; capitolul se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 3 (cerințele 5 și 6). Cele două cerințe stau între programe. Enumerarea de la geometria clasei a X-a nu numește mijlocul unui segment, deși subiectul îl cere; programa școlară nouă are formula coordonatelor lui la clasa a IX-a, unde se învață și reperul. Triunghiul dreptunghic: clasa a IX-a la examen, clasa a X-a în programa nouă. Nu e vreo greșeală, ci felul în care s-au așezat cele două programe.

Ce are special simularea. Primele două cerințe din Subiectul I cer doar calcule de gradul întâi (o rație, apoi o ecuație simplă); următoarele două cer câte o ecuație scrisă mai întâi de noi, după un logaritm și după un procent, iar la cerința 5 se calculează două lungimi, dintre care una trece printr-un mijloc de segment. Toate cele patru elemente ale matricei din Subiectul al II-lea depind de $a$, iar la subpunctul c) matricea cerută nu se află prin încercări, ci cu inversa lui $A(2)$. Legea de compoziție vine cu mențiunea „asociativă", iar la ultimul subpunct se dă elementul neutru, $e=3$, ca să nu mai fie de aflat. La Subiectul al III-lea, funcția cu logaritm are minim într-un punct pe care îl dă chiar derivata; limita de la b) este o nedeterminare $\frac{0}{0}$, iar integralele din ultima problemă ating o exponențială și o fracție cu numitor de gradul întâi.

Pașii unei lucrări cronometrate:

• Cronometrul. Trei ore, fără calculator: 40 de minute pentru Subiectul I, 60 pentru al II-lea, 60 pentru al III-lea și 20 pentru recitire, adică 180.
• Ce scrii. La fiecare subpunct, și calculul, și concluzia. Baremul împarte cele 5 puncte în două rânduri, 3 + 2 sau 2 + 3, deci un rând lipsă se vede imediat în punctaj.
• Notarea oficială, scrisă pe barem, pe scurt: dacă drumul tău e altul decât al baremului, dar corect, rândurile parcurse sunt notate; punctele nu se fac bucăți; nota este punctajul total împărțit la zece, cu oficiul inclus. Pentru nota 5 sunt de strâns 50 de puncte, deci 40 din cele 90 ale cerințelor.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 3, uitarea condiției $10x-1>0$; la cerința 4, ecuația scrisă cu $+\frac{45}{100}x$ în loc de minus; la cerința 6, sinusul luat ca raport între catete; la 8.b), împărțirea ecuației la $x$ și pierderea soluției $x=0$; la 9.c), inegalitatea „dovedită" pe câteva valori.
• La final. Ce a mers prost se caută în tabelul cerințelor, pe rândul subpunctului.

Ce arată totalul. Sub 40 de puncte din 90, nota 5 nu e încă atinsă: reia cerințele Subiectului I și subpunctele a) și b), care se rezolvă din formule. Între 40 și 65, există o bază; lipsurile se caută întâi la subpunctele c). Peste 65, rămân viteza și curățenia redactării.

Formulele din simulare, pe subiecte:

• Subiectul I. Într-o progresie aritmetică, diferența a doi termeni consecutivi este rația; ${\log }_{b}y=c⟺y=b^c$, pentru $y>0$; dacă un produs scade cu un procent $p\%$, el rămâne cu $100\%-p\%$ din preț; coordonatele mijlocului unui segment sunt semisumele coordonatelor capetelor; distanța dintre două puncte este radicalul sumei pătratelor diferențelor coordonatelor; sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă supra ipotenuză.
• Subiectul al II-lea. Pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, $\det M=ps-qr$, iar dacă $\det M\ne 0$, inversa este $M^{-1}=\frac{1}{\det M}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; elementul neutru $e$ al unei legi „$\ast$" verifică $x\ast e=e\ast x=x$, iar simetricul lui $x$ este numărul $x^{\prime }$ pentru care $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$.
• Subiectul al III-lea. La derivarea unei puteri, exponentul coboară și înmulțește coeficientul, apoi scade cu $1$; derivata lui $\ln x$ este $\frac{1}{x}$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe un interval și $f^{\prime }\ge 0$ pe următorul, $f$ are minim în punctul de trecere; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; o primitivă a lui $\frac{1}{x+c}$ este logaritmul lui $|x+c|$.

Atenție la litere. Litera $f$ denumește, în lucrare, trei funcții: $f(x)=3x-4$ (cerința 2), $f(x)=2x^2-2-\ln x$ și $f(x)=e^x+2x+2$ (Subiectul al III-lea). Literele $A$, $B$, $C$ și $M$ sunt puncte la cerința 5 ($M$ este mijlocul segmentului $BC$), iar $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului de la cerința 6; $A(a)$ este o matrice la Subiectul al II-lea. Litera $e$ este, la Subiectul al III-lea, numărul lui Euler, iar la II.2.c) este elementul neutru al legii, $e=3$; cele două sensuri nu se amestecă niciodată în aceeași problemă. Simbolul $\ast$ denumește legea de compoziție, nu înmulțirea.

„Itemul" din titlurile următoare vine din barem; ca să nu te încurce, în text folosim peste tot „cerința".