Matrice la tehnologic: tabelul de comenzi

Un lanț de trei magazine pentru animale de companie își strânge comenzile către furnizor într-un tabel, cu magazinele pe rânduri și produsele pe coloane. Dacă pui tabelul între paranteze și dai fiecărui număr o poziție precisă, ai o matrice. Cu matricele începe anul de clasa a XI-a pentru elevii de la tehnologic: scrii matricea, îi citești elementele și compari două matrice. Tema e în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), la Subiectul al II-lea.

Situația de pornire

Un lanț local de trei magazine pentru animale de companie, Centru, Gară și Piață, se aprovizionează de la un singur furnizor. Joi, gestionarul de la depozitul central strânge comenzile pentru săptămâna următoare într-un tabel: pe fiecare rând un magazin, pe fiecare coloană un produs.

Stocul depozitului, pentru aceleași patru produse, este de 126 de saci de hrană pentru câini, 148 de cutii de hrană pentru pisici, 87 de saci de nisip și 213 de zgărzi. Vineri dimineață furnizorul trimite o confirmare în același format, cu ce poate livra. Gestionarul vrea s-o compare cu comanda, poziție cu poziție, înainte să anunțe magazinele.

Întrebare: ce dimensiune are tabelul comenzilor scris ca matrice, ce arată elementul de pe linia 2 și coloana 3 și cum afli dacă confirmarea furnizorului este aceeași matrice cu comanda?

De la situație la model

Gestionarul a făcut deja jumătate din muncă: a hotărât ce merge pe rânduri, magazinele, și ce merge pe coloane, produsele. Restul e traducere, iar tabelele de date îți sunt cunoscute din tabele de frecvențe.

Ce este o matrice și cum îi citești elementele?

O matrice este un tablou dreptunghiular de numere, scris între paranteze rotunde; numerele se numesc elementele matricei. O matrice cu $m$ linii și $n$ coloane are dimensiunea $m\times n$ (se citește „m pe n”) și $m\cdot n$ elemente. Mulțimea matricelor cu $m$ linii, $n$ coloane și elemente numere reale se notează ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$. Comenzile magazinelor formează o matrice $C\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$:

$$C=\left(\begin{array}{cccc}58& 73& 36& 94\\ 47& 82& 29& 65\\ 91& 54& 68& 43\end{array}\right)$$

Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ se notează $c_{ij}$ și se citește începând cu linia. Așa, $c_{23}$ este de pe linia 2, coloana 3: 29 de saci de nisip pentru magazinul din Gară. Elementul $c_{32}=54$ e alt număr, cu alt înțeles: cutiile de hrană pentru pisici de la Piață. Ordinea indicilor contează.

Ce tipuri de matrice întâlnești?

Stocul $S=\left(\begin{array}{cccc}126& 148& 87& 213\end{array}\right)$ are o singură linie: este o matrice linie, de dimensiune $1\times 4$. Nisipul comandat de cele trei magazine formează o coloană, $\left(\begin{array}{c}36\\ 29\\ 68\end{array}\right)$, adică o matrice coloană de dimensiune $3\times 1$. O matrice cu tot atâtea linii câte coloane are, de pildă $2\times 2$ sau $3\times 3$, se numește pătratică, iar numărul comun de linii și coloane este ordinul ei; mulțimea matricelor pătratice de ordin $n$ se notează ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Elementele $a_{11},a_{22},\dots$ ale unei matrice pătratice formează diagonala principală. Matricea nulă $O$ are toate elementele 0, iar matricea unitate $I_n$ are 1 pe diagonala principală și 0 în rest.

Când sunt egale două matrice?

Două matrice sunt egale dacă au aceeași dimensiune și, pe fiecare poziție, același număr. Matricele $\left(\begin{array}{cc}58& 73\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}73& 58\end{array}\right)$ nu sunt egale: au aceleași numere, dar pe poziții schimbate, iar poziția înseamnă un magazin și un produs anume. Când o matrice are necunoscute, egalitatea cu o matrice dată se transformă în ecuații, câte una pentru fiecare poziție care conține o necunoscută.

Metoda pas cu pas

1. Alege ce pui pe linii și ce pe coloane: pe linii obiectele comparate (magazinele), pe coloane mărimile (produsele), iar în fiecare coloană scrie aceeași unitate de măsură. Dacă într-o coloană amesteci tone și kilograme, transformă înainte de a scrie matricea, altfel numerele nu mai pot fi comparate între ele.
2. Scrie tabelul fără antet, între paranteze rotunde, numără liniile $m$ și coloanele $n$ și notează $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$. La comenzile magazinelor sunt 3 magazine și 4 produse, deci dimensiunea $3\times 4$ și 12 elemente.
3. Citește un element cu indicii lui, întâi linia, apoi coloana, și spune în cuvinte ce înseamnă numărul găsit. Dacă nu poți spune „magazin, produs, cantitate”, ai citit altă poziție decât voiai; așa deosebești $c_{23}$ de $c_{32}$.
4. Ca să compari două matrice, controlează întâi dimensiunile. Dacă ele diferă, matricele nu sunt egale și nu mai ai nimic de calculat; dacă sunt la fel, compară numerele poziție cu poziție, de la prima la ultima. Perechea (linii, coloane) se citește în această ordine: o matrice cu trei linii și patru coloane nu este egală cu una cu patru linii și trei coloane, chiar dacă ambele au aceleași douăsprezece elemente.
5. Dacă o matrice are necunoscute, scrie câte o ecuație pentru fiecare poziție care le conține și rezolvă-le. Un parametru care apare pe mai multe poziții trebuie să iasă aceeași valoare din toate ecuațiile lui; dacă iese două valori, nu există parametru care să facă matricele egale.
6. Verifică: înlocuiește valorile găsite în ambele matrice și parcurge toate pozițiile; apoi controlează unitățile din fiecare coloană și numărul de elemente $m\cdot n$.

Fișa de buzunar

$$A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R}),a_{ij}=\text{elementul de pe linia }i\text{ și coloana }j$$

$$A=B⟺A,B\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})\text{ și }{a}_{ij}=b_{ij}\text{ pentru orice }i,j$$

Condiții: două matrice se compară numai dacă au aceeași dimensiune, iar o matrice $m\times n$ are $m\cdot n$ elemente. Matricea pătratică are $m=n$, matricea nulă $O$ are toate elementele 0, iar matricea unitate $I_n$ are 1 pe diagonala principală și 0 în rest. Verificare rapidă: pune parametrul găsit în ambele matrice și parcurge fiecare poziție, nu doar prima.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Comanda și confirmarea furnizorului

Domeniu: comert.

Enunț. Reia comanda $C$ din situație. Confirmarea furnizorului este matricea $L=\left(\begin{array}{cccc}58& 73& 36& 94\\ 47& 82& 29& 65\\ 91& 54& 68& 42\end{array}\right)$. a) Scrie dimensiunea lui $C$ și numărul ei de elemente. b) Spune ce arată $c_{23}$ și ce arată $c_{32}$. c) Sunt egale $C$ și $L$? Dacă nu, spune pe ce poziție diferă și ce înseamnă diferența pentru magazin.

Rezolvare. a) $C$ are 3 linii, magazinele, și 4 coloane, produsele, deci $C\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ și are $3\cdot 4=12$ elemente. b) $c_{23}$ stă pe linia 2, coloana 3: Gară, nisip, 29 de saci. $c_{32}$ stă pe linia 3, coloana 2: Piață, hrană pentru pisici, 54 de cutii. c) $L$ are tot 3 linii și 4 coloane, deci dimensiunile coincid. Compari poziție cu poziție: primele două linii sunt identice, iar pe linia 3 primele trei numere coincid. Pe poziția $(3,4)$ avem $c_{34}=43$ și $l_{34}=42$. Deci $C\ne L$: furnizorul poate livra la Piață 42 de zgărzi, cu una mai puțin decât s-a cerut.

Capcană. Cine citește $c_{23}$ ca „coloana 2, linia 3” ajunge la 54 și trece în comanda Gării 54 de saci de nisip, deși 54 sunt cutiile de hrană pentru pisici de la Piață. Gara a cerut 29 de saci.

Verificare. Pe alt drum, prin totaluri. Coloana a patra are în $C$ totalul $94+65+43=202$ de zgărzi, iar în $L$ totalul $94+65+42=201$. Diferența de 1 se vede și pe poziția $(3,4)$. Celelalte trei coloane au aceleași totaluri în ambele matrice: 196, 209 și 133.

Exemplul 2 — Mașinile primite la un service, pe zile

Domeniu: auto.

Enunț. Un service auto cu stație ITP notează câte mașini a primit în săptămâna în care șoferii trec la anvelopele de iarnă, pe zile și pe lucrări: luni 34 la ITP, 58 la vulcanizare și 17 la mecanică; marți 38, 46 și 19; miercuri 31, 67 și 13; joi 36, 52 și 16; vineri 43, 71 și 14. Registrul de facturi arată 294 de vulcanizări în acea săptămână. a) Scrie matricea $V$, cu zilele pe linii și lucrările pe coloane, și dimensiunea ei. b) Scrie vulcanizările ca matrice coloană și spune ce arată $v_{32}$. c) În săptămâna dintre Crăciun și Anul Nou, service-ul stă închis toate cele cinci zile lucrătoare. Ce matrice descrie acea săptămână?

Rezolvare. a) $V=\left(\begin{array}{ccc}34& 58& 17\\ 38& 46& 19\\ 31& 67& 13\\ 36& 52& 16\\ 43& 71& 14\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{R})$, cu $5\cdot 3=15$ elemente. b) Vulcanizările sunt coloana a doua, $\left(\begin{array}{c}58\\ 46\\ 67\\ 52\\ 71\end{array}\right)$, o matrice coloană de dimensiune $5\times 1$. Elementul $v_{32}=67$ stă pe linia 3 și coloana 2: miercuri s-au făcut 67 de vulcanizări. c) Toate elementele sunt 0, deci este matricea nulă $O$, tot de dimensiune $5\times 3$, fiindcă zilele și lucrările rămân aceleași.

Capcană. Cine scrie vulcanizările pe un rând, $\left(\begin{array}{ccccc}58& 46& 67& 52& 71\end{array}\right)$, obține o matrice linie de dimensiune $1\times 5$, nu o matrice coloană $5\times 1$. Numerele sunt aceleași, dar dimensiunea diferă, deci nu e aceeași matrice.

Verificare. Pe alt drum, din registrul de facturi: suma coloanei a doua este $58+46+67+52+71=294$, cât arată registrul. O sumă diferită ar fi arătat o zi copiată greșit.

Exemplul 3 — Recolta a patru ferme, cu unități diferite

Domeniu: agricol.

Enunț. O asociație agricolă strânge recolta a patru ferme mici. Fișele fermelor dau grâul în tone, iar porumbul și floarea-soarelui în kilograme: ferma A, 7,3 t grâu, 8640 kg porumb și 2970 kg floarea-soarelui; ferma B, 5,8 t, 6215 kg și 3480 kg; ferma C, 9,1 t, 7360 kg și 2835 kg; ferma D, 6,6 t, 7905 kg și 3120 kg. a) Scrie matricea $R$ a recoltei, în kilograme, cu fermele pe linii și culturile pe coloane. b) Scrie apoi matricea $T$ a recoltei în tone, cu elementele rotunjite la zecimi. c) Pe ce poziție din $R$ e cea mai mică recoltă?

Rezolvare. a) Transformi grâul în kilograme, 1 t = 1000 kg: 7,3 t = 7300 kg, 5,8 t = 5800 kg, 9,1 t = 9100 kg și 6,6 t = 6600 kg. Rezultă $R=\left(\begin{array}{ccc}7300& 8640& 2970\\ 5800& 6215& 3480\\ 9100& 7360& 2835\\ 6600& 7905& 3120\end{array}\right)$, cu dimensiunea $4\times 3$. b) Împarți fiecare element la 1000 și rotunjești la zecimi: $T=\left(\begin{array}{ccc}7,3& 8,6& 3,0\\ 5,8& 6,2& 3,5\\ 9,1& 7,4& 2,8\\ 6,6& 7,9& 3,1\end{array}\right)$. c) Cel mai mic număr din $R$ este 2835, pe poziția $(3,3)$: floarea-soarelui de la ferma C.

Capcană. Dacă pui în prima coloană 7,3 și în a doua 8640, în aceeași matrice stau tone și kilograme, iar elementul $r_{12}$ ar părea de peste 1183 de ori mai mare decât $r_{11}$. Unitatea trebuie să fie aceeași pe toată matricea sau măcar pe fiecare coloană, scrisă în antet.

Verificare. Matricea $T$ are 12 elemente, la fel ca $R$, iar fiecare element al lui $T$ diferă de cel din $R$, citit în tone, cu cel mult 0,05 t. De pildă $r_{22}=6215$ kg înseamnă 6,215 t, iar $t_{22}=6,2$ t.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: parametrul dintr-o egalitate de matrice

Domeniu: electric.

Enunț. Cerința are forma pe care o dă examenul, cu alte numere: „Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}m+11& 5& 71\\ 29& 2m-5& 8\\ 63& 6& 3m-5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}38& 5& 71\\ 29& 49& 8\\ 63& 6& 76\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care matricele $A$ și $B$ sunt egale.” Ca situație, $B$ ar fi tabelul din fișa tehnică a unui tablou electric, iar $A$ o copie în care trei valori depind de un reglaj $m$ încă necunoscut.

Rezolvare. Matricele au aceeași dimensiune, $3\times 3$, deci le poți compara. Elementele fără $m$ coincid pe cele șase poziții: 5, 71, 29, 8, 63 și 6. Rămân trei ecuații, câte una pentru fiecare poziție cu $m$: $m+11=38$, $2m-5=49$ și $3m-5=76$. Prima dă $m=27$, a doua dă $2m=54$, deci tot $m=27$, iar a treia dă $3m=81$, tot $m=27$. Numărul cerut este $m=27$.

Capcană. Cine compară $m+11$ cu 63, elementul de pe linia 3 și coloana 1 din $B$, citește matricea pe altă poziție și obține $m=52$. Pe poziția următoare, $2\cdot 52-5=99$, nu 49, așa că valoarea cade la verificarea pe celelalte poziții.

Verificare. Pune $m=27$ în $A$: $27+11=38$, $2\cdot 27-5=49$ și $3\cdot 27-5=76$. Cele nouă poziții din $A$ coincid acum cu cele din $B$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Consumul de energie electrică, în kWh, al trei apartamente în patru luni: apartamentul 1, 126, 138, 117 și 164; apartamentul 2, 93, 107, 89 și 132; apartamentul 3, 181, 174, 209 și 192. Scrie matricea $A$ a consumurilor, cu apartamentele pe linii, dimensiunea ei și numărul de elemente și spune ce arată $a_{24}$.

2. Se consideră $B=\left(\begin{array}{cccc}27& 41& 19& 8\\ 36& 27& 52& 15\\ 63& 24& 31& 70\end{array}\right)$. a) Scrie $b_{13}$, $b_{31}$ și $b_{24}$. b) Pe ce poziții se află numărul 27? c) Scrie linia a treia ca matrice linie și coloana a doua ca matrice coloană, cu dimensiunile lor.

3. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}x+4& 17\\ 9& 2y-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}19& 17\\ 9& 25\end{array}\right)$.

4. Spune dimensiunea și felul fiecărei matrice (linie, coloană, pătratică, nulă sau unitate): a) $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{c}17\\ 26\\ 8\end{array}\right)$; c) $\left(\begin{array}{cccc}35& 12& 4& 9\end{array}\right)$; d) $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$; e) $\left(\begin{array}{cc}14& 9\\ 9& 21\end{array}\right)$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) La o fermă de vaci de lapte, fișa dă rația zilnică pe cap, în kg: la grupa în lactație 7 de fân, 33 de siloz și 9 de concentrate; la grupa în repaus 8, 27 și 3; la juninci 6, 19 și 4. Scrie matricea $F$ a fișei și dimensiunea ei. Veterinarul propune fișa $\left(\begin{array}{ccc}7& 33& x\\ 8& y-4& 3\\ 6& 19& 4\end{array}\right)$. Pentru ce $x$ și $y$ coincide ea cu $F$?

6. (Problemă aplicată.) Topograful unui șantier notează, în metri față de colțul-reper, centrele a patru fundații: (0; 0), (18,4; 0), (18,4; 12,6) și (0; 12,6). Scrie matricea $P$ a coordonatelor, cu fundațiile pe linii, și spune ce arată fiecare coloană. După turnare, controlul dă o matrice $Q$ identică cu $P$, în afară de poziția $(3,1)$, unde apare 18,3. Sunt egale $P$ și $Q$? Cu câți centimetri diferă elementul?

7. (Problemă aplicată.) Electricianul unui tablou cu trei circuite notează tensiunea, curentul și puterea: circuitul 1, 230 V, 6,4 A și 1,47 kW; circuitul 2, 228 V, 9,5 A și 2,17 kW; circuitul 3, 231 V, 4,2 A și 0,97 kW. Scrie matricea $M$ a măsurătorilor și spune ce arată $m_{32}$. Verifică dacă $m_{13}$ este puterea calculată din $m_{11}$ și $m_{12}$, rotunjită la sutimi.

8. (Problemă aplicată.) La o fabrică de înghețată, un lot cere: vanilie, 248 l de lapte, 64 kg de zahăr și 52 l de smântână; ciocolată, 236 l, 72 kg și 47 l; fructe de pădure, 243 l, 81 kg și 38 l. Scrie matricea $N$ a rețetelor, cu sortimentele pe linii, spune ce arată $n_{23}$ și scrie coloana zahărului, cu dimensiunea ei.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}x+y& 52\\ 37& x-y\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}33& 52\\ 37& 9\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale. Determinați cele două numere reale $x$ și $y$ pentru care matricele $A$ și $B$ sunt egale.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 9& 17\\ 9& 2m+5& 3\\ 17& 3& m^2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 9& 17\\ 9& 19& 3\\ 17& 3& 49\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care matricele $A$ și $B$ sunt egale.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $a$ se consideră matricea $B(a)=\left(\begin{array}{cc}a+23& a-6\\ 3a& 41\end{array}\right)$. Determinați numărul real $a$ pentru care matricele $B(a)$ și $\left(\begin{array}{cc}40& 11\\ 51& 41\end{array}\right)$ sunt egale.

12. (Sinteză.) Stocul pe rafturi al unui depozit este dat de matricea $\left(\begin{array}{cc}a& 18\\ 27& b\end{array}\right)$, în număr de cutii, iar fișa de control de matricea $\left(\begin{array}{cc}2b-5& 18\\ 27& a+4\end{array}\right)$. Determină $a$ și $b$ pentru care cele două matrice sunt egale și spune dacă stocul e posibil.

Răspunsuri și verificări

1. $A=\left(\begin{array}{cccc}126& 138& 117& 164\\ 93& 107& 89& 132\\ 181& 174& 209& 192\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$, cu $3\cdot 4=12$ elemente. $a_{24}=132$: apartamentul 2 a consumat în luna a patra 132 kWh. Verificare: fiecare linie are patru numere, ca în enunț.

2. a) $b_{13}=19$, $b_{31}=63$, $b_{24}=15$. b) Pe pozițiile $(1,1)$ și $(2,2)$. c) Linia a treia: $\left(\begin{array}{cccc}63& 24& 31& 70\end{array}\right)$, de dimensiune $1\times 4$; coloana a doua: $\left(\begin{array}{c}41\\ 27\\ 24\end{array}\right)$, de dimensiune $3\times 1$. Verificare: 27 apare de două ori.

3. Pe celelalte poziții matricele coincid. Din $x+4=19$ rezultă $x=15$, iar din $2y-3=25$ rezultă $y=14$. Verificare: $15+4=19$ și $2\cdot 14-3=25$.

4. a) matrice nulă, $2\times 3$; b) matrice coloană, $3\times 1$; c) matrice linie, $1\times 4$; d) matricea unitate $I_3$, pătratică de ordin 3; e) matrice pătratică de ordin 2, nu unitate. Verificare: a) are $2\cdot 3=6$ elemente.

5. $F=\left(\begin{array}{ccc}7& 33& 9\\ 8& 27& 3\\ 6& 19& 4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Egalezi poziția $(1,3)$: $x=9$ kg de concentrate; poziția $(2,2)$: $y-4=27$, deci $y=31$. Verificare: cu $x=9$ și $y=31$ fișa are $31-4=27$ pe poziția $(2,2)$, iar celelalte șapte poziții coincid.

6. $P=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 18,4& 0\\ 18,4& 12,6\\ 0& 12,6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{4,2}(\mathbb{R})$: prima coloană dă abscisele, a doua ordonatele, în metri. $P\ne Q$, fiindcă $p_{31}=18,4$ și $q_{31}=18,3$; diferența este de 0,1 m, adică 10 cm. Verificare: $18,4-18,3=0,1$ m, iar celelalte șapte elemente sunt identice.

7. $M=\left(\begin{array}{ccc}230& 6,4& 1,47\\ 228& 9,5& 2,17\\ 231& 4,2& 0,97\end{array}\right)$, iar $m_{32}=4,2$ A este curentul circuitului 3. Puterea este $230\cdot 6,4=1472$ W $=1,472$ kW, rotunjit 1,47 kW, deci $m_{13}$ este corect. Verificare: pentru circuitul 2, $228\cdot 9,5=2166$ W, adică 2,17 kW, ca în matrice.

8. $N=\left(\begin{array}{ccc}248& 64& 52\\ 236& 72& 47\\ 243& 81& 38\end{array}\right)$. Elementul $n_{23}=47$ l arată litrii de smântână din rețeta de ciocolată. Coloana zahărului este $\left(\begin{array}{c}64\\ 72\\ 81\end{array}\right)$, de dimensiune $3\times 1$. Verificare: linia a doua a lui $N$ are 236, 72 și 47, ca rețeta de ciocolată din enunț.

9. Celelalte poziții coincid; egalezi elementele cu necunoscute. Rezultă sistemul $x+y=33$ și $x-y=9$. Adunând cele două ecuații obții $2x=42$, deci $x=21$ și $y=12$. Verificare: $21+12=33$ și $21-12=9$, deci $A=B$.

10. Pozițiile cu $m$ dau $2m+5=19$, deci $m=7$, și $m^2=49$, deci $m=7$ sau $m=-7$. Valoarea trebuie să verifice ambele ecuații, iar $m=-7$ nu verifică prima. Rămâne $m=7$. Verificare: $2\cdot 7+5=19$ și $7^2=49$, în timp ce pentru $m=-7$ prima poziție ar da $-9$, nu 19.

11. Egalezi pozițiile: $a+23=40$, $a-6=11$ și $3a=51$. Fiecare ecuație dă $a=17$. Deci $a=17$. Verificare: $17+23=40$, $17-6=11$ și $3\cdot 17=51$, iar poziția $(2,2)$ are 41 în ambele matrice.

12. Egalezi pozițiile: $a=2b-5$ și $b=a+4$. Înlocuiești: $a=2(a+4)-5=2a+3$, deci $a=-3$, iar $b=1$. Matricele sunt egale ca tablouri, dar $a=-3$ ar fi un număr negativ de cutii, deci una dintre fișe e greșită. Verificare: pentru $a=-3$ și $b=1$, $2b-5=-3=a$ și $a+4=1=b$.

Așa vine la Bac M3

Matricele apar în toate cele 83 de probe oficiale 2013–2026, la Subiectul al II-lea, problema 1, dar cerințele de acolo se împart după metoda principală a rezolvării: o sumă, un produs, un determinant. Indexul cerințelor leagă de această lecție o singură cerință, ca temă secundară:

• Simularea din 2014, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: se dă o matrice de ordinul 3 și se cere numărul real $m$ pentru care $A+m{I}_3$ este egală cu o matrice dată; baremul probei dă 3 puncte pentru matricea $A+m{I}_3$ scrisă element cu element și 2 puncte pentru compararea cu matricea dată, din care iese $m=-1$. Soluția oficială scrie întâi matricea $A+m{I}_3$, cu $m$ adunat pe diagonala principală, și abia apoi egalează element cu element. Compararea cu ecuații pe poziții este pasul 5 din Metodă; suma o exersezi în lecția despre adunarea matricelor, iar aici lucrezi cu matricele deja scrise.

Pe foaia de examen scrii întâi egalitatea elementelor de pe aceeași poziție, apoi valoarea parametrului și, la sfârșit, verificarea pe toate pozițiile, ca să arăți că matricele sunt egale peste tot, nu doar acolo unde ai început. Exercițiile 9–11 repetă tipul acestei cerințe: o matrice cu parametri, egalată cu una dată. Sumele și produsele de matrice sunt în adunarea matricelor și în produsul de matrice; toate lecțiile clasei sunt în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Citești elementul $c_{23}$ ca „coloana 2, linia 3” → cum o prinzi: spui în cuvinte ce înseamnă numărul găsit; $c_{32}=54$ sunt cutiile de la Piață, nu nisipul de la Gară.
• Compari două matrice după numerele care apar în ele, fără dimensiune → cum o prinzi: scrii dimensiunile una lângă alta, înainte de primul element; $3\times 4$ și $4\times 3$ nu pot fi egale.
• Rezolvi o singură ecuație cu parametrul și te oprești → cum o prinzi: scrii o ecuație pentru fiecare poziție cu necunoscută și pui valoarea în toate; la verificare, comparația completă arată că valoarea găsită le potrivește pe toate.
• Pui în aceeași coloană tone și kilograme → cum o prinzi: scrii unitatea fiecărei coloane în antet și transformi înainte de a scrie matricea.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Noțiunea de matrice, ca temă a unei cerințe, se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Dacă furnizorul trimite confirmarea cu produsele în altă ordine, mai sunt egale cele două matrice?

Nu, chiar dacă numerele sunt aceleași. Egalitatea cere același număr pe aceeași poziție, iar poziția înseamnă un anumit magazin și un anumit produs. Rearanjează coloanele confirmării în ordinea comenzii: hrană pentru câini, hrană pentru pisici, nisip, zgărzi. Abia apoi compari element cu element.

Cum găsesc în matricea $C$ câți saci de nisip a comandat magazinul din Piață?

Piața este linia 3, iar nisipul coloana 3, deci cauți $c_{33}$, adică 68 de saci. Întâi vine linia, apoi coloana: dacă citești linia 3, coloana 2, obții $c_{32}=54$, adică cutiile de hrană pentru pisici ale aceluiași magazin, nu nisipul.

Dacă lanțul deschide un al patrulea magazin, ce dimensiune are matricea comenzilor?

Se adaugă o linie, deci matricea are 4 linii și 4 coloane, adică 16 elemente, și devine pătratică de ordin 4. Faptul că are tot atâtea linii câte coloane este însă o coincidență: liniile sunt magazine, iar coloanele produse, așa că diagonala ei principală nu are un înțeles anume.

Ce fac dacă o cantitate din confirmare este ilizibilă și o notez cu $x$?

Dacă știi că confirmarea coincide cu comanda, egalezi $x$ cu elementul de pe aceeași poziție din $C$. Pentru zgărzile de la Piață, din $x=c_{34}$ rezultă $x=43$. Cu mai multe necunoscute scrii câte o ecuație pe poziție, apoi verifici toate pozițiile.

Cum aflu dacă stocul de la depozit acoperă comanda magazinului din Centru?

Compari linia 1 a lui $C$, adică $\left(\begin{array}{cccc}58& 73& 36& 94\end{array}\right)$, cu matricea linie a stocului, $\left(\begin{array}{cccc}126& 148& 87& 213\end{array}\right)$, poziție cu poziție, cu „mai mic sau egal”. Toate cele patru comenzi sunt sub stoc, deci Centru poate fi servit integral. Pentru toate magazinele deodată ai nevoie și de sumă.

Ce se cere la Bacalaureatul M3 despre egalitatea matricelor?

Indexul cerințelor din cele 83 de probe oficiale 2013–2026 leagă de această lecție o singură cerință, din simularea 2014. Ea cere parametrul $m$ dintr-o egalitate de matrice, iar compararea element cu element încheie rezolvarea. Alte cerințe din Subiectul al II-lea folosesc tot egalitatea, dar trec întâi prin sumă sau produs.