Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2014 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2014 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_2=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2014x-2013$. Calculați ${\left(f(1)\right)}^{2014}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2-3x}=3^{x+6}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ și $B(-1,1)$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{3}\cos 30^{\circ }+\sqrt{2}\sin 45^{\circ }=\frac{5}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care matricele $A+m{I}_3$ și $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 3\\ 1& 4& 8\end{array}\right)$ sunt egale, unde $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Rezolvați ecuația matriceală $AX=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$, unde $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă $x\ast y=x+y-5$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast (-2)=2014\ast (-2014)$.

b) (5 puncte) Verificați dacă legea „$\ast$” este asociativă.

c) (5 puncte) Calculați $(-4)\ast (-3)\ast (-2)\ast (-1)\ast 0\ast 1\ast 2\ast 3\ast 4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+7$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=-3$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x(2x+1)(3x+2)}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge 5$ pentru orice $x\in [-1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+2x$ și $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=e^x+x^2+2014$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\left(f(x)-e^x\right)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)F(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 p ale celor 18 cerințe, plus 10 p din oficiu, fac 100 p. Fiecare cerință 1–6 valorează 5 p, iar fiecare subpunct din 7–10 valorează tot 5 p. Marcajele „(1 p)”, „(2 p)”, „(3 p)” copiază structura rândurilor din documentul simulării: câte două pe cerință, trei la cerința 4 ($2$ p, $1$ p, $2$ p). Formularea calculelor și a observațiilor este a noastră.

Exercițiul 1. (5 p) — suma a trei termeni consecutivi.

Notăm rația cu $r$. Vecinii lui $a_2$ în progresie sunt $a_2-r$ și $a_2+r$, iar rația dispare din sumă: $$a_1+a_2+a_3=(a_2-r)+a_2+(a_2+r)=3a_2\text{(3 p)}.$$ Cu $a_2=4$ rezultă $$3\cdot 4=12\text{(2 p)}.$$

(Observație: rația nu este dată și nu este necesară; progresiile $2,4,6$ și $1,4,7$ au rații diferite, $2$ și $3$, dar aceeași sumă, $12$. Greșeală posibilă: se calculează produsul în loc de sumă; produsul $a_1{a}_2{a}_3=4\left(16-r^2\right)$ depinde de rație, deci nu se poate afla din $a_2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valoarea unei funcții, ridicată la putere.

Se înlocuiește $x=1$ în $f(x)=2014x-2013$: $$f(1)=2014-2013=1\text{(2 p)}.$$ Orice putere a lui $1$ este $1$, deci $${\left(f(1)\right)}^{2014}=1^{2014}=1\text{(3 p)}.$$

(Verificare: exponentul se aplică întregii valori $f(1)$, nu termenilor ei. Greșeală posibilă: puterea se împarte între termeni, $2014^{2014}-2013^{2014}$; pentru numere mici, $2^2-1^2=3$, dar $(2-1{)}^2=1$, deci $a^n-b^n$ nu este $(a-b{)}^n$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterile lui $3$ sunt egale numai când exponenții sunt egali: $$2-3x=x+6\text{(2 p)}.$$ Termenii cu $x$ se strâng în dreapta, iar numerele în stânga, deci $-4=4x$ și $$\mathbf{x}=-1\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $3^{2-3\cdot (-1)}=3^5=243$ și $3^{-1+6}=3^5=243$. Greșeală posibilă: numărul $6$ se mută cu semn greșit și se obține $8=4x$, adică $x=2$; atunci $3^{2-6}=3^{-4}$, iar $3^{2+6}=3^8$, valori diferite.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Dintre cifre, cele care divid pe $10$ sunt $1$, $2$ și $5$, adică $3$ cazuri favorabile (2 p). Mulțimea din enunț cuprinde cifrele de la $0$ la $9$, oricare dintre ele putând fi aleasă: avem $10$ cazuri posibile (1 p). Probabilitatea este raportul lor: $$P=\frac{3}{10}\text{(2 p)}.$$ Rezultatul este $\frac{3}{10}$.

(Verificare: $10:1$, $10:2$ și $10:5$ dau câturile $10$, $5$ și $2$, fără rest; pentru $3$, $4$, $6$, $7$, $8$ și $9$ împărțirea lasă rest, iar $0$ nu poate fi împărțitor. Greșeală posibilă: se numără și $10$ printre favorabile, ceea ce ar da $4$ cazuri; dar $10$ are două cifre și nu face parte din mulțime.)

Exercițiul 5. (5 p) — dreapta prin două puncte.

Panta dreptei $AB$ este raportul diferențelor de ordonate și de abscise, luate în aceeași ordine: $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-3}{-1-1}=\frac{-2}{-2}=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta de pantă $1$ prin $A(1,3)$ are ecuația $y-3=1\cdot (x-1)$, adică $$\mathbf{y}=\mathbf{x}+2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $A$ verifică ecuația, fiindcă $1+2=3$, iar $B$ la fel, fiindcă $-1+2=1$. Greșeală posibilă: diferențele se iau în ordine opusă, $\frac{3-1}{-1-1}=-1$; dreapta $y=-x+4$ trece prin $A$, dar nu prin $B$, fiindcă $1+4=5\ne 1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile din tabelul unghiurilor uzuale sunt $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p). Fiecare radical se înmulțește cu el însuși, iar ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$ și ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$: $$\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{2}{2}=\frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$. Greșeală posibilă: se ia $\sin 45^{\circ }=\frac{1}{2}$; atunci al doilea termen ar fi $\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, iar suma ar fi $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$, nu $\frac{5}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $A$ de ordin $3$.

a) (5 p) Se dezvoltă determinantul după prima linie, cu semnele $+,-,+$ și cu minorii celor trei elemente: $$\det A=1\left(2\cdot 9-3\cdot 4\right)-1\left(1\cdot 9-3\cdot 1\right)+1\left(1\cdot 4-2\cdot 1\right)=6-6+2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: dacă din linia a doua și din linia a treia se scade prima linie, determinantul nu se schimbă, iar liniile devin $(1,1,1)$, $(0,1,2)$ și $(0,3,8)$; dezvoltat după prima coloană, el este $1\cdot (1\cdot 8-2\cdot 3)=8-6=2$. Greșeală posibilă: se uită minusul de la al doilea minor și ies $6+6+2=14$.)

b) (5 p) Matricea $m{I}_3$ are $m$ numai pe diagonală, deci se adună $m$ doar la elementele diagonalei: $$A+m{I}_3=\left(\begin{array}{ccc}1+m& 1& 1\\ 1& 2+m& 3\\ 1& 4& 9+m\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Elementele din afara diagonalei coincid cu cele ale matricei date, iar pe diagonală $1+m=0$, $2+m=1$ și $9+m=8$ dau aceeași valoare, $\mathbf{m}=-1$ (2 p).

(Verificare: cu $m=-1$ diagonala devine $0,1,8$. Greșeală posibilă: se egalează $1+m$ cu $1$ în loc de $0$; ar ieși $m=0$, dar atunci $9+m=9$, nu $8$.)

c) (5 p) Fiecare linie a lui $A$, înmulțită cu coloana $X$, trebuie să dea elementul de pe aceeași linie din coloana $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$, deci ecuația matriceală este sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x+2y+3z=1\\ x+4y+9z=3\end{array}\text{(2 p)}.$$ Scăzând prima ecuație din a doua și a doua din a treia se obțin $y+2z=1$ și $2y+6z=2$, adică $y+3z=1$. Diferența ultimelor două este $z=0$, de unde $y=1$, iar din prima ecuație $x=-1$: $$(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})=(-1,1,0)\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $-1+1+0=0$, $-1+2+0=1$ și $-1+4+0=3$; soluția este unică, deoarece $\det A=2\ne 0$. Greșeală posibilă: din prima ecuație se scrie $x=1$, cu semn greșit; atunci $1+1+0=2\ne 0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — legea de compoziție $x\ast y=x+y-5$.

a) (5 p) Primul membru se calculează după definiție: $$2\ast (-2)=2+(-2)-5=-5\text{(2 p)}.$$ La fel, al doilea membru: $$2014\ast (-2014)=2014+(-2014)-5=-5,$$ deci cele două valori sunt egale (3 p).

(Verificare: pentru orice număr $a$, $a\ast (-a)=-5$, fiindcă $a$ și $-a$ se anulează. Greșeală posibilă: se compară $2\ast (-2)$ cu $2014\ast 2014=4023$, adică se uită semnul celui de-al doilea argument.)

b) (5 p) Se compun pe rând, începând cu perechea din paranteză: $$(x\ast y)\ast z=(x+y-5)\ast z=x+y-5+z-5=x+y+z-10\text{(2 p)}.$$ Pe de altă parte, $$x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-5)=x+y+z-5-5=x+y+z-10,$$ deci cele două grupări coincid pentru orice $x,y,z$ reale și legea este asociativă (3 p).

(Verificare: $(1\ast 2)\ast 3=(-2)\ast 3=-4$ și $1\ast (2\ast 3)=1\ast 0=-4$. Greșeală posibilă: la prima grupare se omite al doilea $-5$, iar rezultatele $x+y+z-5$ și $x+y+z-10$ ar părea diferite; concluzia „neasociativă” ar fi greșită.)

c) (5 p) Legea este asociativă, deci produsul nu depinde de paranteze. Fiecare dintre cele $8$ compuneri dintre cei $9$ factori scade câte $5$ din suma factorilor: $$(-4)\ast (-3)\ast \dots \ast 4=\left(-4-3-\dots +4\right)-8\cdot 5\text{(2 p)}.$$ Suma factorilor este $0$, fiindcă numerele opuse se anulează două câte două: $$0-40=-40\text{(3 p)}.$$

(Verificare: cele patru perechi opuse dau câte $-5$, iar $(-5)\ast (-5)\ast (-5)\ast (-5)\ast 0=-20-20=-40$. Greșeală posibilă: se numără $9$ compuneri în loc de $8$ și se scade $45$; rezultatul ar fi $-45$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $f(x)=x^3-3x+7$.

a) (5 p) Limita raportului incrementelor în $0$ este, prin definiție, derivata în acel punct: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)\text{(2 p)}.$$ Derivata este $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, deci $$f^{\prime }(0)=3\cdot 0^2-3=-3\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f(x)-f(0)=x^3-3x$, iar $\frac{x^3-3x}{x}=x^2-3$ tinde la $-3$. Greșeală posibilă: derivata lui $-3x$ se ia $+3$; atunci limita ar ieși $3$.)

b) (5 p) Se înmulțesc mai întâi factorii $2x+1$ și $3x+2$: termenii extremi dau $6x^2$ și $2$, iar cei mijlocii, $4x$ și $3x$, dau împreună $7x$. Cu factorul $x$, numitorul devine $$x(2x+1)(3x+2)=6x^3+7x^2+2x\text{(2 p)}.$$ Cele două polinoame au gradul $3$, deci limita se citește din termenii de grad maxim, $x^3$ și $6x^3$, prin câtul coeficienților lor, $1$ și $6$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3-3x+7}{6x^3+7x^2+2x}=\frac{1}{6}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: după împărțirea cu $x^3$, termenii $\frac{3}{x^2}$, $\frac{7}{x^3}$, $\frac{7}{x}$ și $\frac{2}{x^2}$ tind la $0$. Greșeală posibilă: se uită coeficienții $2$ și $3$ din numitor; limita ar fi $1$, nu $\frac{1}{6}$.)

c) (5 p) Punctele critice se află din $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0$, adică $x=-1$ și $x=1$ (2 p). Pe $[-1,1]$ derivata este negativă în interior, deci $f$ scade; pe $(1,+\infty )$ derivata este pozitivă, deci $f$ crește pe $[1,+\infty )$. Minimul pe $[-1,+\infty )$ este atins în $1$: $$f(x)\ge f(1)=1-3+7=5,\text{pentru orice}x\in [-1,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f(-1)=-1+3+7=9\ge 5$. Greșeală posibilă: se ia drept minim valoarea de la capătul $-1$; atunci s-ar afirma $f(x)\ge 9$, fals în $x=1$, unde $f(1)=5$.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcțiile $f$ și $F$.

a) (5 p) Termenii $e^x$ se anulează între ei: $$f(x)-e^x=2x\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $2x$ este $x^2$: $${\int }_1^{2}2xdx=x^2{|}_1^2=4-1=3\text{(3 p)}.$$

(Verificare: sub dreapta $y=2x$, pe $[1,2]$, se află un trapez cu bazele $2$ și $4$ (valorile lui $2x$ în $1$ și în $2$) și înălțimea $1$, deci cu aria $\frac{2+4}{2}\cdot 1=3$. Greșeală posibilă: se integrează $f$ în loc de $f-e^x$; atunci ${\int }_1^2\left(e^x+2x\right)dx=e^2-e+3$.)

b) (5 p) Derivata se calculează termen cu termen; constanta $2014$ dispare: $$F^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }+{\left(x^2\right)}^{\prime }+(2014{)}^{\prime }=e^x+2x\text{(3 p)}.$$ Rezultatul este $f(x)$ în fiecare $x\in \mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ (2 p).

(Verificare: $F(0)=1+0+2014=2015$ și $F^{\prime }(0)=f(0)=1$. Greșeală posibilă: derivata lui $x^2$ se ia $x$; atunci $F^{\prime }(x)=e^x+x$, diferit de $f(x)$ pentru orice $x\ne 0$.)

c) (5 p) Cum $F^{\prime }=f$, produsul $f(x)F(x)$ este $F^{\prime }(x)F(x)$, iar o primitivă a lui este $\frac{F^2}{2}$: $${\int }_0^{1}f(x)F(x)dx=\frac{F^2(x)}{2}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Valorile sunt $F(1)=e+2015$ și $F(0)=2015$: $$\frac{(e+2015{)}^2-2015^2}{2}=\frac{{\mathbf{e}}^2+4030e}{2}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $(e+2015{)}^2-2015^2=e^2+2\cdot 2015\cdot e$, iar $2\cdot 2015=4030$. Greșeală posibilă: se omite împărțirea la $2$ a primitivei $\frac{F^2}{2}$; atunci rezultatul ar fi $e^2+4030e$, dublul celui corect.)

Pentru părinți și profesori

Despre simulare. Documentul este simularea de Bacalaureat din 2014, rezervată elevilor clasei a XII-a, la matematică M_tehnologic (pe site: M3). Pe antet, sub numele ministerului și al Centrului Național de Evaluare și Examinare, urmează „Examenul de bacalaureat național 2014, Proba E. c)”, iar ultimul rând precizează „Simulare pentru elevii clasei a XII-a”; lipsesc numărul de variantă și data. Era destinată filierei tehnologice, cu profilurile servicii, resurse și tehnic. Cerințele din „Itemi” provin din PDF; rezolvările, contraprobele și ghidajul sunt lucrate de noi, iar din documentul de evaluare am păstrat doar felul în care se împart punctele pe rânduri.

Cum se împart punctele. Foaia are trei subiecte, fiecare de 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu, iar timpul efectiv este de 3 ore. Subiectul I conține șase cerințe scurte. În subiectele II și III, câte două probleme se desfac în câte trei subpuncte. Toate cele $18$ cerințe valorează câte $5$ puncte, deci $90$ în total. În document, cerința 4 are trei rânduri ($2$ p, $1$ p și $2$ p), iar celelalte au două. Sunt $37$ de rânduri, iar fiecare rând de pe pagină se încheie cu un marcaj „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)”.

Harta simulării

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ordinul 4430 din 29.08.2014 se referă, după titlul lui, la bacalaureatul din 2015; de aceea coloana „Clasa” arată locul temei în acea programă, nu planul după care s-a pregătit simularea din 2014.

Ce are simularea. Numărul $2014$ apare la 2 (în funcție și ca exponent), la 8.a) și la 10 (în funcția $F$). La 4, numărul $10$ este divizor al său, dar nu are o singură cifră, deci nu se numără printre cazurile favorabile. La 7.c) determinantul din 7.a) este nenul, așa că sistemul are o singură soluție. La 8, legea este comutativă după cum spune enunțul, iar asociativitatea se verifică la 8.b); abia după aceea produsul de la 8.c) poate fi grupat. La 9.a) limita este derivata în $0$. La 9.c) minimul se află pe un interval închis la stânga, deci se compară și capătul $-1$ cu punctul critic $1$. La 10.c) derivata lui $F$ este chiar $f$.

Formulele simulării

• Subiectul I. într-o progresie aritmetică, $a_2$ este media aritmetică a lui $a_1$ și $a_3$; $a^u=a^v$ cu $a>0$ și $a\ne 1$ implică $u=v$; panta dreptei prin $A$ și $B$ este $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, iar ecuația dreptei este $y-y_A=m(x-x_A)$; $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. determinantul de ordin $3$ se dezvoltă după o linie, cu semnele $+,-,+$; o ecuație matriceală cu matricea $A$ în stânga are o singură soluție dacă $\det A\ne 0$; o lege care adună elementele și scade o constantă are produsul $x_1\ast \dots \ast x_n=x_1+\dots +x_n-5(n-1)$.
• Subiectul al III-lea. $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; pentru două polinoame de același grad, limita raportului lor la $+\infty$ este câtul coeficienților termenilor de grad maxim; dacă $F^{\prime }=f$, atunci $\int fFdx=\frac{F^2}{2}$.

Despre litere. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: funcția afină $2014x-2013$ de la 2, polinomul $x^3-3x+7$ de la 9 și $e^x+2x$ de la 10. Litera $F$ de la 10 este o primitivă dată, nu cerută. Literele $A$ și $B$ sunt puncte la 5, iar la 7 litera $A$ denumește matricea din enunț. Simbolul $\ast$ este legea de compoziție de la 8. Litera $m$ este panta dreptei în rezolvarea de la 5, iar în $A+m{I}_3$, la 7.b), este un număr real; $I_3$ este matricea unitate de ordin $3$.