Sisteme liniare și Cramer: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XI-a; în tema ei stă la finalul paginii „Sisteme de ecuații liniare”.

Fiecare ecuație dă o linie a lui $A$, cu coeficienții în ordinea $x$, $y$, $z$; $X$ adună necunoscutele într-o coloană, iar $B$, termenii liberi. $\Delta =\det A$, iar ${\Delta }_x$ se obține din $\Delta$ punând $B$ în locul coloanei lui $x$; la fel ${\Delta }_y$ și ${\Delta }_z$. Numitorul e același în toate trei fracțiile. Capcană: termenii se mută în stânga înainte de a citi $A$; din $x=b-py+qz$ rezultă $x+py-qz=b$, cu coeficienții $p$ și $-q$. Control: adună cele trei ecuații și verifică soluția în ecuația nouă.

Exemplu: La un service auto se știe: 2 bidoane de ulei, 1 filtru și 1 set de plăcuțe costă 135 lei; 1 bidon, 3 filtre și 1 set, 140 lei; 1 bidon, 1 filtru și 2 seturi, 145 lei. Cu $x$, $y$, $z$ prețurile, $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}135\\ 140\\ 145\end{array}\right)$. Obții $\Delta =7$, ${\Delta }_x=245$, ${\Delta }_y=140$, ${\Delta }_z=315$, deci $x=\frac{245}{7}=35$, $y=\frac{140}{7}=20$, $z=\frac{315}{7}=45$ lei. Control: suma ecuațiilor dă $4x+5y+4z=420$, iar $140+100+180=420$.