Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2021 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2021 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $(1+3i{)}^2-6i=-8$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3x-7$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3-x}=2x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii $A=\{1,2,3,4,5\}$ este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $A$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(-1,0)$ și $C(0,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreapta $AB$ conține punctul $C$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră numărul real $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ astfel încât $\cos x+\sin \frac{\pi }{6}=1$. Calculați $\sin x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}-2& -6\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $M(x)=A+xB$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $M(x)\cdot M(1)=xM(1)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, știind că $M(4)\cdot M(3)\cdot M(2)\cdot M(1)=nM(1)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y+x^2{y}^2$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=7$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $x$ pentru care $(-2)\ast x\le 3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+x^4-2x+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x+4x^3-2$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)\ln xdx=2\ln 2-\frac{3}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați cel mai mare număr natural nenul $n$ pentru care ${\int }_1^{\sqrt{2}}{x}^{n+1}{f}^n(x)dx\ge \frac{1}{2021}$.

Barem și răspunsuri

Punctele din dreptul rândurilor sunt ale baremului oficial al simulării 2021, în aceeași ordine. După fiecare rezolvare urmează, în paranteze, o verificare și greșelile care duc la un rezultat fals.

Exercițiul 1. (5 p) — pătratul unui număr complex.

Pătratul sumei se dezvoltă după $(u+v{)}^2=u^2+2uv+v^2$, cu $u=1$ și $v=3i$, deci $(1+3i{)}^2=1+6i+9i^2$. Expresia din enunț este $$1+6i+9i^2-6i\text{(3 p)}.$$ Termenii $6i$ și $-6i$ se reduc, iar $i^2=-1$ dă $9i^2=-9$: $$1-9=-8\text{(2 p)}.$$

(Probă: partea imaginară a rezultatului este $6-6=0$, deci rezultatul este un număr real. Capcană: se uită termenul mijlociu al pătratului, $(1+3i{)}^2=1+9i^2=-8$, și după scăderea lui $6i$ iese $-8-6i$, care nu este real. Altă greșeală: $i^2$ se ia egal cu $1$, iar rezultatul devine $1+9=10$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția graficelor.

Într-un punct comun cele două funcții au aceeași valoare, deci abscisa verifică $$f(x)=g(x),\text{adica˘}x+1=3x-7\text{(3 p)}.$$ Din $1+7=3x-x$ rezultă $8=2x$, deci $x=4$. Ordonata este $f(4)=5$, iar $g(4)=3\cdot 4-7=5$ coincide cu ea: punctul de intersecție este $(4,5)$ (2 p).

(Capcană: se caută zerourile funcțiilor, $x+1=0$ și $3x-7=0$, care dau $x=-1$ și $x=\frac{7}{3}$, abscise diferite. Altă greșeală: la mutarea termenilor, $1$ trece în dreapta cu plus, $-2x=-7+1=-6$, deci $x=3$; dar $f(3)=4$, iar $g(3)=2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul este pozitiv sau nul, deci $2x\ge 0$, adică $x\ge 0$. Prin ridicare la pătrat se obține $$3-x=(2x{)}^2=4x^2,\text{adica˘}4x^2+x-3=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul se descompune în $4x^2+x-3=(4x-3)(x+1)$, cu rădăcinile $x=\frac{3}{4}$ și $x=-1$. Condiția $x\ge 0$ respinge pe $-1$. Pentru $x=\frac{3}{4}$: $\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=2\cdot \frac{3}{4}$, deci $\mathbf{x}=\frac{3}{4}$ (2 p).

(Capcană: se păstrează ambele rădăcini; pentru $x=-1$ radicalul este $\sqrt{3-(-1)}=2$, dar $2x=-2$, iar un radical nu este negativ. Altă greșeală: se ridică la pătrat doar partea stângă, $3-x=2x$, și iese $x=1$, unde $\sqrt{2}\ne 2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — numărarea submulțimilor.

O submulțime cu două elemente este o alegere neordonată a două elemente din cinci, deci numărul ei este combinarea de $5$ luate câte $2$: $$C_5^2=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10\text{(2 p)}.$$ La fel, submulțimile cu trei elemente sunt în număr de $$C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=10.$$ Cele două numere coincid, ambele fiind $10$ (3 p).

(Probă: fiecare submulțime cu două elemente are drept complement, în $A$, o submulțime cu trei elemente, de exemplu $\{1,2\}$ și $\{3,4,5\}$, iar corespondența merge și invers, deci cele două familii au același număr de elemente. Capcană: se numără și ordinea elementelor, adică aranjamentele $A_5^2=20$ și $A_5^3=60$, numere diferite; o submulțime nu depinde de ordine.)

Exercițiul 5. (5 p) — o dreaptă prin două puncte.

Panta dreptei $AB$ este $m=\frac{2-0}{1-(-1)}=1$. Dreapta trece prin $B(-1,0)$, deci ecuația ei este $$y-0=1\cdot (x+1),\text{adica˘}y=x+1\text{(2 p)}.$$ Punctul $C(0,a)$ se află pe dreaptă dacă $a=0+1$, deci $\mathbf{a}=1$ (3 p).

(Probă: panta dreptei $AC$, cu $C(0,1)$, este $\frac{1-2}{0-1}=1$, egală cu a lui $AB$. Capcană: se ia $a=2$, ordonata lui $A$; atunci $C(0,2)$ ar da panta $AC$ egală cu $0$, nu cu $1$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valoarea unui sinus.

Din $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, relația din enunț este $\cos x+\frac{1}{2}=1$, deci $$\cos x=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Din identitatea fundamentală, pătratul sinusului este $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$. Pentru $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ sinusul este pozitiv, deci $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3 p).

(Probă: unghiul $x=\frac{\pi }{3}$ are $\cos x=\frac{1}{2}$ și $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Capcană: se scrie $\sin x=1-\cos x=\frac{1}{2}$, ca și cum identitatea fundamentală ar privi suma $\sin x+\cos x$, nu suma pătratelor; ar rezulta $x=\frac{\pi }{6}$, unde $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nu $\frac{1}{2}$. Rădăcina negativă $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ nu convine, fiindcă $\sin x>0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Diagonala principală dă $2\cdot (-2)$, iar cea secundară $4\cdot (-1)$: $$\det A=2\cdot (-2)-4\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-4+4=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: a doua linie, $(-1,-2)$, este $-\frac{1}{2}$ din prima, $(2,4)$, deci liniile sunt proporționale. Capcană: semnul din $-4\cdot (-1)$ se pierde și iese $-4-4=-8$.)

b) (5 p) Se calculează $M(1)=A+B$ și matricea $M(x)=A+xB$, element cu element: $$M(1)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 0& 1\end{array}\right),M(x)=\left(\begin{array}{cc}2-2x& 4-6x\\ -1+x& -2+3x\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Prima coloană a lui $M(1)$ este nulă, deci în produs prima coloană este nulă, iar a doua este $$M(x)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}0& (2-2x)(-2)+(4-6x)\\ 0& (-1+x)(-2)+(-2+3x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2x\\ 0& x\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=xM(1)\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $x=2$, $M(2)=\left(\begin{array}{cc}-2& -8\\ 1& 4\end{array}\right)$ și $M(2)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 0& 2\end{array}\right)=2M(1)$. Capcană: egalitatea se verifică numai pentru $x=1$, unde $M(1)\cdot M(1)=M(1)$; un singur caz nu dovedește egalitatea pentru orice $x$.)

c) (5 p) Din subpunctul b), $M(k)\cdot M(1)=kM(1)$ pentru orice număr real $k$. Produsul se grupează de la dreapta: $$M(4)\cdot M(3)\cdot (M(2)\cdot M(1))=M(4)\cdot M(3)\cdot 2M(1)=2M(4)\cdot (M(3)\cdot M(1))=2\cdot 3\cdot M(4)\cdot M(1)=2\cdot 3\cdot 4\cdot M(1)\text{(3 p)}.$$ Rezultă $24M(1)=nM(1)$, iar $M(1)\ne O_2$, deci $\mathbf{n}=24$ (2 p).

(Probă: $M(2)\cdot M(1)=2M(1)$ și $M(3)\cdot M(1)=3M(1)$, așa că fiecare grupare dă factorul indicat. Capcană: se adună în loc să se înmulțească, $2+3+4=9$; dar factorii se înmulțesc, iar $2\cdot 3\cdot 4=24$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=2$ în formula legii: $$1\ast 2=1+2+1^2\cdot 2^2\text{(3 p)}.$$ $$1\ast 2=1+2+4=7\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul $x^2{y}^2$ se ia $x^2+y^2=5$ în loc de $1^2\cdot 2^2=4$, iar suma iese $8$.)

b) (5 p) Elementul neutru trebuie să lase numărul neschimbat din ambele părți. Cu $y=0$, termenul $x^2{y}^2$ dispare: $$x\ast 0=x+0+x^2\cdot 0=x,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Cu $x=0$, dispare același termen: $$0\ast x=0+x+0\cdot x^2=x,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$ Deci $x\ast 0=0\ast x=x$ și $e=0$ este elementul neutru (3 p).

(Capcană: se verifică numai $1\ast 0=1$, ceea ce nu dovedește egalitatea pentru orice $x$. Altă greșeală: se ia $e=1$; atunci $x\ast 1=x+1+x^2$, care nu este $x$.)

c) (5 p) Primul operand este $-2$, iar al doilea este necunoscuta $x$; formula legii dă $$(-2)\ast x=-2+x+(-2{)}^2{x}^2=4x^2+x-2.$$ Inegalitatea $4x^2+x-2\le 3$ se scrie $$4x^2+x-5\le 0\text{(2 p)}.$$ Trinomul are rădăcinile $-\frac{5}{4}$ și $1$, adică $4x^2+x-5=(4x+5)(x-1)$. Fiind cu coeficientul dominant pozitiv, este negativ sau nul între rădăcini, deci $x\in \left[-\frac{5}{4},1\right]$. Numerele întregi din acest interval sunt $\mathbf{x}=-1$, $\mathbf{x}=0$ și $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Probă: $(-2)\ast 1=-2+1+4=3\le 3$, deci capătul $1$ convine; $(-2)\ast (-2)=-2-2+16=12>3$, deci $-2$ nu convine. Capcană: intervalul se citește deschis, $\left(-\frac{5}{4},1\right)$, și se pierde $x=1$, deși inegalitatea este nestrictă.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, convexitate.

a) (5 p) Derivata unei sume este suma derivatelor: $$f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }+{\left(x^4\right)}^{\prime }-(2x{)}^{\prime }+(2{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Se știe că ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$, ${\left(x^4\right)}^{\prime }=4x^3$, $(2x{)}^{\prime }=2$, iar derivata constantei $2$ este $0$, deci $$f^{\prime }(x)=e^x+4x^3-2+0={\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}+4{\mathbf{x}}^3-2,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=e^0+0-2=-1$. Capcană: derivata lui $e^x$ se scrie $x{e}^{x-1}$, ca la o putere; dar $e^x$ este exponențială, iar derivata ei este chiar $e^x$.)

b) (5 p) Valoarea și panta în punctul de abscisă $0$ sunt $$f(0)=e^0+0-0+2=3,f^{\prime }(0)=e^0+0-2=-1\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y-3=-x$, deci $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+3$ (3 p).

(Probă: dreapta $y=-x+3$ trece prin $(0,3)$, punctul de pe grafic, și are panta $-1$. Capcană: se înlocuiește $x=0$ în $f^{\prime }$ și se ia rezultatul drept ordonată, $y=-1$; dar ordonata punctului este $f(0)=3$.)

c) (5 p) Convexitatea se citește din derivata a doua. Derivând $f^{\prime }(x)=e^x+4x^3-2$: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x+12x^2,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Pentru orice $x$, $e^x>0$ și $12x^2\ge 0$, deci $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, iar $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Probă: $f^{\prime \prime }(0)=1>0$ și $f^{\prime \prime }(-1)=e^{-1}+12>0$. Capcană: convexitatea se confundă cu creșterea și se cere $f^{\prime }\ge 0$; dar $f^{\prime }(0)=-1<0$, iar $f$ este totuși convexă.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $f(x)=x-\frac{1}{x}$.

a) (5 p) Prin adunarea lui $\frac{1}{x}$, termenul $-\frac{1}{x}$ se reduce: $f(x)+\frac{1}{x}=x$. O primitivă a lui $x$ este $\frac{x^2}{2}$: $${\int }_1^3\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)dx={\int }_1^{3}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_1^3\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se integrează $f$ în loc de $f(x)+\frac{1}{x}$, iar logaritmul din $\int \frac{1}{x}dx$ nu se mai reduce. Altă greșeală: primitiva lui $x$ se ia $x^2$, iar rezultatul devine $9-1=8$.)

b) (5 p) Din a), integrandul este $x\ln x$. Se integrează prin părți, cu $u=\ln x$ și $v^{\prime }=x$, deci $u^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $v=\frac{x^2}{2}$: $${\int }_1^{2}x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^2-{\int }_1^2\frac{x}{2}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $2\ln 2-0$, iar ${\int }_1^2\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}{|}_1^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$: $${\int }_1^{2}x\ln xdx=2\ln 2-\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}$ este $x\ln x+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=x\ln x$. Capcană: în formula părților se adună integrala, și iese $2\ln 2+\frac{3}{4}$.)

c) (5 p) Se citește $f^n(x)$ ca ${\left(f(x)\right)}^n$. Cum $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$, produsul este $$x^{n+1}{f}^n(x)=x^{n+1}\cdot \frac{{\left(x^2-1\right)}^n}{x^n}=x{\left(x^2-1\right)}^n.$$ Cu schimbarea $u=x^2-1$, $du=2xdx$, limitele devin $u=0$ (pentru $x=1$) și $u=1$ (pentru $x=\sqrt{2}$): $${\int }_1^{\sqrt{2}}x{\left(x^2-1\right)}^{n}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1{u}^{n}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{2(n+1)}\text{(3 p)}.$$ Inegalitatea $\frac{1}{2(n+1)}\ge \frac{1}{2021}$ înseamnă $2(n+1)\le 2021$, adică $n\le \frac{2019}{2}$. Numărul $\frac{2019}{2}$ este între $1009$ și $1010$, deci cea mai mare valoare naturală nenulă a lui $n$ este $\mathbf{n}=1009$ (2 p).

(Probă: pentru $n=1009$, $2(n+1)=2020\le 2021$, deci $\frac{1}{2020}\ge \frac{1}{2021}$; pentru $n=1010$, $2(n+1)=2022>2021$, deci $\frac{1}{2022}<\frac{1}{2021}$. Capcană: $\frac{2019}{2}$ se rotunjește în sus, la $1010$, dar $\frac{1}{2022}$ este mai mic decât $\frac{1}{2021}$.)

Pentru părinți și profesori

Cuprins. Pagina conține subiectul de simulare din 2021 la matematică M_tehnologic. Antetul indică proba E.c) și filiera tehnologică; profilurile servicii, resurse și tehnic intră toate sub același subiect, indiferent de calificare. Emitenții sunt Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Cele zece cerințe sunt transcrise întocmai; fiecare e urmată de o rezolvare scrisă de noi, cu o verificare și cu greșelile posibile, iar ghidajul interactiv reia aceleași rânduri sub formă de întrebări. Din baremul oficial luăm numai numărul de puncte al fiecărui rând.

Puncte. Subiectul I are șase cerințe de câte 5 puncte (30 în total). Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea au fiecare câte două probleme de 15 puncte, fiecare cu trei subpuncte de 5 puncte, deci câte 30 de puncte. În total sunt 90 de puncte, la care se adaugă 10 din oficiu. La toate cele 18 cerințe și subpuncte, punctajul de 5 puncte are două rânduri, 3 + 2 sau 2 + 3.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Numerele complexe (forma algebrică, operațiile cu ele) se cer la clasa a X-a. Programa școlară nouă nu are niciun capitol despre numere complexe; tema stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere complexe".
• Nota 2. Ecuația cu radical este temă de clasa a X-a la examen. Programa nouă nu o tratează algebric, ci grafic ori digital; de aceea, ridicarea la pătrat, rezolvarea ecuației de gradul II obținute și respingerea soluției străine sunt în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Combinările fac parte din metodele de numărare ale clasei a X-a, atât la examen, cât și în programa școlară nouă; aceasta mai adaugă și combinările complementare, folosite pe scurt la verificarea de sub rezolvare.
• Nota 4. Ecuația dreptei prin două puncte este, la examen, materie de clasa a X-a. Programa școlară nouă o predă în clasa a IX-a, în unitatea despre reperul cartezian.
• Nota 5. Inecuația $4x^2+x-5\le 0$ se rezolvă prin semnul unui trinom de gradul al doilea, materie de clasa a IX-a la examen. Programa nouă citește semnul pe grafic; calculul cu rădăcinile este în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".

Ce are neobișnuit simularea 2021. Subiectul I începe cu un număr complex și conține o cerință de numărare a submulțimilor; amândouă țin de clasa a X-a. La Subiectul al II-lea, egalitatea $M(x)\cdot M(1)=xM(1)$ de la 7.b) face ca produsul de patru matrice de la 7.c) să se reducă la un factor numeric înmulțit cu $M(1)$. În a doua problemă din Subiectul al III-lea, parametrul $n$ apare ca exponent: integrandul se simplifică la $x{\left(x^2-1\right)}^n$, iar schimbarea $u=x^2-1$ dă o valoare care depinde numai de $n$.

Timp și notare. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. Cine alocă 20 de minute recitirii mai are 160 de minute pentru 90 de puncte, sub două minute pe punct. Documentul oficial notează că se admite orice rezolvare corectă, că punctele nu se împart în fracțiuni și că nota se calculează împărțind totalul la zece. Datorită celor 10 puncte din oficiu, nota 5 cere 40 de puncte din cele 90 ale cerințelor.

Greșeli de evitat: la 1, termenul mijlociu $6i$ pierdut din dezvoltarea pătratului; la 3, soluția $-1$ păstrată; la 4, aranjamentele luate în locul combinărilor; la 7.c), suma $2+3+4$ în locul produsului; la 8.c), capetele intervalului considerate excluse; la 10.c), numărul $\frac{2019}{2}$ rotunjit în sus.

Folosirea paginii. Pornește de la problemă, nu de la soluție: scrie-ți rezolvarea, compar-o cu rândurile de mai jos și marchează primul rând diferit. Ghidajul îți pune, de acolo, câte o întrebare. Cu totalul în față: sub 40 înseamnă că baza, adică Subiectul I, nu este încă stabilă; între 40 și 65, problemele de 15 puncte se încheie greu spre final; peste 65, rămâne de lucrat ritmul.

Formule folosite în simularea 2021

• Subiectul I. $(u+v{)}^2=u^2+2uv+v^2$ și $i^2=-1$; $f(x)=g(x)$ dă abscisa punctelor comune; $\sqrt{u}=v$ cere $v\ge 0$ și $u=v^2$; $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ și $C_n^k=C_n^{n-k}$; dreapta prin $(x_1,y_1)$ cu panta $m$ are ecuația $y-y_1=m(x-x_1)$, iar între două puncte panta arată cu cât crește ordonata la fiecare unitate cu care crește abscisa; identitatea fundamentală a trigonometriei spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este $1$.
• Subiectul al II-lea. Determinantul unei matrice $2\times 2$ este $ad-bc$; produsul a două matrice se face linie cu coloană, iar un scalar înmulțește toate elementele; $e$ este element neutru când $x\ast e=e\ast x=x$; un trinom $a{x}^2+bx+c$ cu $a>0$ este negativ sau nul între rădăcinile sale.
• Subiectul al III-lea. ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ și ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; tangenta în abscisa $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $f^{\prime \prime }\ge 0$ înseamnă $f$ convexă; integrarea prin părți ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; după o schimbare de variabilă, o putere a noii variabile se integrează cu regula puterii.

În documentul oficial, problemele 1 și 2 din Subiectul al II-lea și din Subiectul al III-lea apar aici ca cerințele 7–8 și 9–10. Aceeași literă are sensuri diferite: $A$ este mulțime la cerința 4, punct la 5 și matrice la 7; $B$ este punct la 5 și matrice la 7; $C$ este punct la 5; $a$ este parametru real la 5; $e$ este elementul neutru la 8.b) și baza exponențialei $e^x$ la 9; $f$ numește trei funcții diferite, la 2, 9 și 10; $x$ este uneori abscisă, alteori argument sau necunoscută. La 10.c) simbolul $f^n(x)$ înseamnă puterea ${\left(f(x)\right)}^n$, cum arată și rezolvarea oficială, nu o compunere repetată. Fiecare cerință se citește separat.