Subiect Bac matematică tehnologic, model 2018 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2018 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $n=\sqrt{8}\left(\sqrt{2}+1\right)-2\sqrt{2}$ este pătratul unui număr natural.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x+2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x^2-6x+5}=x-1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$ și $B(3,0)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin mijlocul segmentului $AO$ și este paralelă cu dreapta $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $(\sin x+7\cos x{)}^2+(7\sin x-\cos x{)}^2=50$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ m& m+1\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(m)+A(-m)=2A(0)$, pentru orice număr real $m$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(2)\cdot X=A(5)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=3xy+3x+3y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ \left(-\frac{2}{3}\right)=x$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\circ (n-1)<17$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+6x}{x-2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-6)(x+2)}{(x-2{)}^2}$, $x\in (2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ nu are puncte de inflexiune.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{e^x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(e^x+1\right)f(x)dx=1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx=\frac{3}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{e^{x}f(x)}$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 p ale cerințelor se adună cu cele 10 p din oficiu: 100 p în total. Cerințele 1–6 ale Subiectului I au câte 5 p; cerința 4 are trei rânduri (1 p, 1 p, 3 p), iar celelalte câte două. Itemii 7–10 au fiecare 15 p, în trei subpuncte de câte 5 p, cu câte două rânduri punctate. Rândurile punctate sunt cele ale modelului oficial din 2018; întreaga rezolvare, cu probele ei, este scrisă de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — un număr cu radicali.

Radicalul $\sqrt{8}$ se distribuie peste termenii parantezei, iar produsul radicalilor se scrie sub un singur radical, $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{16}$: $$n=\sqrt{16}+\sqrt{8}-2\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Aici $\sqrt{16}=4$ și $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$, deci cei doi termeni cu $\sqrt{2}$ se compensează: $$n=4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4=2^2\text{(3 p)}.$$ Numărul $n$ este pătratul numărului natural $2$.

(Probă: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, fiindcă ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 2=8$. Capcană: $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}$ se scrie $\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$; dar radicalii se înmulțesc sub același radical, $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$, nu se adună numerele de sub ei.)

Exercițiul 2. (5 p) — egalitatea a două funcții.

În punctul $a$ cele două funcții au valorile $f(a)=a^2-a+2$ și $g(a)=a+1$ (2 p).

Egalitatea $f(a)=g(a)$ înseamnă $a^2-a+2=a+1$, adică $a^2-2a+1=0$, deci $(a-1{)}^2=0$ și $$\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(1)=1-1+2=2$ și $g(1)=1+1=2$. Capcană: ecuația $a^2-2a+1=0$ se confundă cu $a^2=1$, iar $a=-1$ se adaugă ca soluție; dar $f(-1)=4$, în timp ce $g(-1)=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul este nenegativ, deci soluțiile verifică $x-1\ge 0$. Se ridică la pătrat fiecare membru, iar ecuația se reduce: $$2x^2-6x+5=(x-1{)}^2=x^2-2x+1⟺x^2-4x+4=0\text{(3 p)}.$$ Din $(x-2{)}^2=0$ rezultă $x=2$. Verificare: $\sqrt{2\cdot 4-6\cdot 2+5}=\sqrt{1}=1$ și $2-1=1$, iar $2-1\ge 0$, deci $x=2$ convine: $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: pătratul diferenței $x-1$ se înlocuiește cu diferența pătratelor, $x^2-1$; atunci ecuația ar fi $x^2-6x+6=0$, cu soluțiile $3\pm \sqrt{3}$; dar $3+\sqrt{3}$ nu verifică ecuația inițială, fiindcă acolo $2x^2-6x+5=11+6\sqrt{3}$, iar $(x-1{)}^2={\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=7+4\sqrt{3}\ne 11+6\sqrt{3}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — numere cu cifre distincte.

Prima cifră se alege dintre cele cinci cifre, deci în $5$ moduri (1 p).

După ce prima cifră a fost aleasă, pentru a doua rămân patru cifre, deci $4$ moduri (1 p).

Pentru a treia cifră rămân trei cifre, adică $3$ moduri. Alegerile se succed independent, deci numărul de numere este produsul lor: $$5\cdot 4\cdot 3=60\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: aranjamente de $5$ luate câte $3$, $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Capcană: se numără combinările, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$, care aleg doar mulțimea de cifre, nu și ordinea lor; fiecare mulțime dă $3!=6$ numere, deci $10\cdot 6=60$.)

Exercițiul 5. (5 p) — o dreaptă paralelă.

Dreapta $AB$ are panta $$m_{AB}=\frac{0-1}{3-2}=-1.$$ Dreapta $d$ este paralelă cu $AB$, deci are aceeași pantă, $m_d=-1$ (2 p).

Mijlocul segmentului $AO$, cu $O(0,0)$, este $M\left(\frac{2+0}{2},\frac{1+0}{2}\right)=M\left(1,\frac{1}{2}\right)$. Dreapta prin $M$ cu panta $-1$ are ecuația $y-\frac{1}{2}=-(x-1)$, adică $$d:\mathbf{y}=-\mathbf{x}+\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $M$ verifică ecuația, fiindcă $-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$. Capcană: se ia panta $1$, adică panta unei perpendiculare pe $AB$ (produsul pantelor ar fi $-1$); atunci dreapta $y=x-\frac{1}{2}$ nu este paralelă cu $AB$.)

Exercițiul 6. (5 p) — o identitate trigonometrică.

Fiecare pătrat se desface după regula pătratului unei sume, respectiv al unei diferențe. Primul dă $$(\sin x+7\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+14\sin x\cos x+49{\cos }^{2}x\text{(2 p)}.$$ Al doilea dă $(7\sin x-\cos x{)}^2=49{\sin }^{2}x-14\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$. La adunare termenii cu $\sin x\cos x$ se reduc, iar rămân $50{\sin }^{2}x+50{\cos }^{2}x=50\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=50$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$ (3 p).

(Probă: la $x=0$ expresia este $(0+7{)}^2+(0-1{)}^2=49+1=50$. Capcană: în al doilea pătrat termenul de mijloc se scrie cu plus; atunci cei doi termeni de mijloc nu se mai reduc, iar suma ar fi $50+28\sin x\cos x$.)

Exercițiul 7. (15 p) — o familie de matrice.

a) (5 p) Pentru $m=0$ elementele din a doua linie sunt $0$ și $0+1$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),\det A(0)=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det A(0)=1\cdot 1-2\cdot 0=1\text{(3 p)}.$$

(Capcană: ultimul element al diagonalei principale se ia $m$, nu $m+1$; atunci $A(0)$ ar avea a doua linie $(0,0)$, iar determinantul ar fi $0$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $m$ cu $-m$: $A(-m)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -m& -m+1\end{array}\right)$. Matricele se adună pe poziții: $$A(m)+A(-m)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 2\end{array}\right)\text{(3 p)},$$ fiindcă $m+(-m)=0$ și $(m+1)+(-m+1)=2$. Cum $2A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 2\end{array}\right)$, rezultă $A(m)+A(-m)=2A(0)$ (2 p).

(Capcană: $A(-m)$ se confundă cu $A(m)$; atunci suma ar fi $2A(m)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 2m& 2m+2\end{array}\right)$, care depinde de $m$ și nu este $2A(0)$.)

c) (5 p) Matricea $A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ are determinantul $3-4=-1\ne 0$, deci este inversabilă. Formula inversei pentru o matrice $2\times 2$ interschimbă elementele diagonalei principale, schimbă semnul elementelor celeilalte diagonale și împarte tot la determinant: $$A(2{)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din $A(2)\cdot X=A(5)$ se înmulțește la stânga cu inversa, $X=A(2{)}^{-1}\cdot A(5)$, cu $A(5)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right)$: $$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ -3& -2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A(2)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}7-6& 6-4\\ 14-9& 12-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right)=A(5)$. Capcană: inversa se înmulțește în partea greșită; produsul $A(5)\cdot A(2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 4\end{array}\right)$ este altă matrice, deoarece produsul de matrice depinde de ordinea factorilor.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Numărul $2$ se scrie $3-1$: $$x\circ y=3xy+3x+3y+3-1\text{(2 p)}.$$ Se grupează $3xy+3x=3x(y+1)$ și $3y+3=3(y+1)$: $$x\circ y=3x(y+1)+3(y+1)-1=3(x+1)(y+1)-1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $1\circ 1=3+3+3+2=11$ și $3\cdot 2\cdot 2-1=11$. Capcană: din $3x+3$ se scoate $3(x+3)$; dar $3(x+3)=3x+9$, iar $3x+3=3(x+1)$.)

b) (5 p) Se folosește forma de la a) cu $y=-\frac{2}{3}$: $$x\circ \left(-\frac{2}{3}\right)=3(x+1)\left(-\frac{2}{3}+1\right)-1=3(x+1)\cdot \frac{1}{3}-1\text{(3 p)}.$$ Factorul $3\cdot \frac{1}{3}=1$ se simplifică, deci $x\circ \left(-\frac{2}{3}\right)=x+1-1=x$ (2 p).

(Probă: $1\circ \left(-\frac{2}{3}\right)=3\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+3+3\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+2=-2+3-2+2=1$. Capcană: factorul $y+1$ se ia $-\frac{2}{3}$, fără $+1$; atunci $3(x+1)\left(-\frac{2}{3}\right)-1=-2x-3$, iar rezultatul ar depinde de $x$ în alt fel decât cere egalitatea.)

c) (5 p) Cu $y=n-1$, factorul $y+1$ devine $(n-1)+1=n$, deci $$n\circ (n-1)=3(n+1)n-1.$$ Inegalitatea $3(n+1)n-1<17$ înseamnă $3n^2+3n-18<0$, adică $$n^2+n-6<0\text{(3 p)}.$$ Cum $n^2+n-6=(n+3)(n-2)$, produsul este negativ pentru $n\in (-3,2)$. Numerele naturale din acest interval sunt $$n\in \{0,1\}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $0\circ (-1)=-1<17$ și $1\circ 0=5<17$, dar $2\circ 1=3\cdot 3\cdot 2-1=17$, care nu este mai mic decât $17$. Capcană: argumentul al doilea $n-1$ se ia în factor ca $n-1$, fără $+1$; atunci $3(n+1)(n-1)-1<17$ ar da $n^2<7$, o mulțime diferită.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate și asimptotă.

a) (5 p) Derivata unui cât este ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $u=x^2+6x$ și $v=x-2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+6)(x-2)-\left(x^2+6x\right)\cdot 1}{(x-2{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $2x^2-4x+6x-12-x^2-6x=x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{(x-6)(x+2)}{(x-2{)}^2},x\in (2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(x-6)(x+2)=x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12$. Capcană: în numărător se adună $u{v}^{\prime }$ în loc să se scadă; atunci numărătorul ar fi $3x^2+8x-12$, care nu se descompune ca mai sus.)

b) (5 p) O asimptotă oblică spre $+\infty$ are ecuația $y=mx+n$, cu panta $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+6x}{x(x-2)}=1\text{(2 p)}.$$ Termenul liber este $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+6x-x(x-2)}{x-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8x}{x-2}=8,$$ deci asimptota este $\mathbf{y}=\mathbf{x}+8$ (3 p).

(Probă: pentru $x=100$, $f(100)=\frac{10600}{98}$, iar $100+8=108$; diferența $\frac{10600}{98}-108=\frac{16}{98}$ este mică. Capcană: se scade doar $x^2$ în loc de $x(x-2)$; atunci numărătorul rămâne $6x$ și limita ar fi $6$, adică o asimptotă $y=x+6$, care nu este cea corectă.)

c) (5 p) Se derivează încă o dată $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x-12}{(x-2{)}^2}$: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{(2x-4)(x-2{)}^2-\left(x^2-4x-12\right)\cdot 2(x-2)}{(x-2{)}^4}=\frac{2(x-2{)}^2-2\left(x^2-4x-12\right)}{(x-2{)}^3}=\frac{32}{(x-2{)}^3}\text{(3 p)}.$$ Pe $(2,+\infty )$ numitorul este cubul unui număr pozitiv, deci pozitiv, iar $f^{\prime \prime }(x)>0$. Funcția $f^{\prime \prime }$ nu se anulează și nu își schimbă semnul pe $(2,+\infty )$, deci graficul funcției nu prezintă nicio inflexiune (2 p).

(Observație: un punct de inflexiune cere ca $f^{\prime \prime }$ să schimbe semnul; $f^{\prime \prime }(x)=0$ singur nu ajunge, iar aici $f^{\prime \prime }$ nici nu se anulează. Probă: $f^{\prime \prime }(3)=32$ și $f^{\prime \prime }(4)=\frac{32}{8}=4$. Capcană: numărătorul $2(x-2{)}^2-2\left(x^2-4x-12\right)=32$ se scrie cu semn schimbat, $-32$; atunci $f^{\prime \prime }$ ar fi negativă pe $(2,+\infty )$, ceea ce contrazice $f^{\prime \prime }(3)=32>0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum.

a) (5 p) Factorul $e^x+1$ se simplifică cu numitorul lui $f(x)$: $${\int }_0^1\left(e^x+1\right)\cdot \frac{1}{e^x+1}dx={\int }_0^{1}1dx=x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=1-0=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: o primitivă a lui $1$ se scrie $1$; dar derivata lui $1$ este $0$, iar primitiva corectă este $x$.)

b) (5 p) A împărți la $f(x)=\frac{1}{e^x+1}$ revine la a înmulți cu $e^x+1$: $${\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx={\int }_0^{1}x\left(e^x+1\right)dx={\int }_0^{1}x{e}^{x}dx+{\int }_0^{1}xdx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$, iar a lui $x$ este $\frac{x^2}{2}$: $$(x-1)e^x{|}_0^1+\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\left(0-(-1)\right)+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Probă: ${\left((x-1)e^x\right)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. Capcană: o primitivă a lui $x{e}^x$ se ia $\frac{x^2}{2}{e}^x$; derivata acestei funcții are un termen în plus, $\frac{x^2}{2}{e}^x$.)

c) (5 p) Prin rotirea graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$ se obține un corp cu volumul $V=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx$. Cum $g^2(x)=e^{x}f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$, $$V=\pi {\int }_0^1\frac{e^x}{e^x+1}dx\text{(2 p)}.$$ La această fracție numărătorul $e^x$ este derivata numitorului $e^x+1$, deci o primitivă este $\ln \left(e^x+1\right)$: $$V=\pi \ln \left(e^x+1\right){|}_0^1=\pi \left(\ln (e+1)-\ln 2\right)=\pi \ln \frac{\mathbf{e}+1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Probă: ${\left(\ln \left(e^x+1\right)\right)}^{\prime }=\frac{e^x}{e^x+1}$. Capcană: se scade doar valoarea din $x=1$ și se uită cea din $x=0$; atunci s-ar obține $\pi \ln (e+1)$, deși $\ln \left(e^0+1\right)=\ln 2$ nu este $0$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina de față conține modelul oficial de matematică pentru Bacalaureatul tehnologic 2018, din arhiva anului, secțiunea „modele de subiecte". Pe foaie scrie Matematică M_tehnologic și cuvântul „Model" în locul unui număr de variantă; pe site, proba apare și sub numele M3. Antetul numește Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare și precizează filiera tehnologică, cu profilurile servicii, resurse și tehnic. Enunțurile sunt reproduse întocmai din documentul oficial. Rezolvările, probele și întrebările ghidajului sunt scrise de noi; baremul oficial ne-a spus numai cum se împart punctele pe rânduri.

Forma modelului. Lucrarea are trei subiecte a câte $30$ de puncte, deci $90$ de puncte, plus $10$ din oficiu. Primul subiect adună șase cerințe, fiecare de $5$ puncte; în următoarele două, problemele se desfac în trei subpuncte egale, de $5$ puncte fiecare. Cerința 4 are aici rândurile punctate $1+1+3$, nu două rânduri, deci modelul numără $37$ de rânduri punctate în total.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Radicalii și operațiile cu ei sunt materie de clasa a X-a la examen. Unitățile noi ale clasei a IX-a au doar funcția radical de ordin 2, fără radicalul unui număr și fără proprietățile radicalilor; acestea stau în „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".
• Nota 2. Ecuația $a^2-2a+1=0$ se rezolvă aici prin formula pătratului unei diferențe. Programa nouă tratează ecuațiile de gradul al II-lea numai pe grafic: „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".
• Nota 3. Ecuațiile cu radicali sunt trecute la examen în clasa a X-a, iar programa școlară nouă nu le cuprinde; tehnica (ridicarea la pătrat, apoi verificarea) este în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 4. Paralelismul dreptelor lipsește din programa școlară nouă; la examen el aparține clasei a X-a, iar „Supliment Bac M3 2027–2029: geometrie în coordonate" îl acoperă. Reperul cartezian și coordonatele mijlocului unui segment sunt, în programa nouă, tema clasei a IX-a.
• Nota 5. Cerința 9.c) vrea o demonstrație că graficul nu are inflexiuni. La examen, clasa a XI-a introduce derivata a doua pentru concavitate și convexitate, fără să numească expres „punct de inflexiune"; pagina folosește definiția: un punct în care $f^{\prime \prime }$ schimbă semnul.

Ce merită reținut din acest model.

• La cerința 1 produsul $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}$ este $\sqrt{16}$, iar termenii cu $\sqrt{2}$ se anulează reciproc.
• Cerința 4 cere cifre distincte; fără această condiție ar fi $5\cdot 5\cdot 5$ numere.
• La cerința 5 paralelismul înseamnă aceeași pantă, iar mijlocul lui $AO$ se află ușor, fiindcă $O$ este originea.
• La 7.c) matricea $A(2)$ are determinantul $-1$, deci inversa ei are numai elemente întregi.
• La 10.c) integrandul este derivata logaritmului numitorului.

Timp și puncte. Cele trei ore ale lucrării fac $180$ de minute. Pentru acest model, o împărțire potrivită: $27$ de minute la primul subiect, $53$ la al doilea, $62$ la al treilea, iar restul de $38$ pentru recitire și revenire la cerințele greșite. Cerințele, cu $90$ de puncte, și oficiul, cu $10$, dau $100$ de puncte, iar nota se obține împărțind totalul la $10$.

Despre litere. Litera $g$ numește o funcție de gradul întâi la cerința 2 și funcția $\sqrt{e^{x}f(x)}$ de la 10.c). Litera $n$ numește un număr de calculat la cerința 1 și un număr natural necunoscut la 8.c). Litera $f$ denumește funcții diferite la cerințele 2, 9 și 10. Literele $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5, iar $A$ este numele familiei de matrice $A(m)$ la cerința 7. Litera $d$ este o dreaptă la cerința 5, iar $X$ de la 7.c) este o matrice necunoscută. În rezolvarea de la 9.b), $m$ și $n$ notează panta și termenul liber ai asimptotei, alte numere decât parametrul $m$ al matricei $A(m)$ și numărul $n$ de la cerințele 1 și 8. Numerotarea „Itemul n" urmează documentul oficial; în vorbirea de la clasă este „cerința n".