Subiect Bac matematică tehnologic, model 2015 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2015 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați media aritmetică a numerelor $a=2\left(5-\sqrt{5}\right)$ și $b=2\sqrt{5}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5(2x-1)-{\log }_{5}3=0$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie multiplu de $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(6,4)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin (a+b)=\frac{63}{65}$, știind că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin a=\frac{3}{5}$ și $\sin b=\frac{12}{13}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $p$ pentru care $A\cdot A=pA$.

c) (5 puncte) Determinați matricele $B=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ b& 0\end{array}\right)$, știind că $\det (A+B)=0$, unde $b$ este un număr real.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de $x\circ y=-xy+x+y$.

a) (5 puncte) Calculați $1\circ 2015$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=-(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x\circ 5^x=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$.

b) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{3(x-1)(x+1)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+x$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_{-1}^1{x}^{5}dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x^5\right)e^{x}dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, definită prin $g(x)=\frac{f(x)-x}{x^3}$.

Barem și răspunsuri

Lucrarea valorează 90 p la cerințe și 10 p din oficiu, în total 100 p. Cerințele 1–6 primesc câte 5 p; subpunctele celorlalte cerințe au 5 p fiecare, împărțite pe două rânduri, cu două excepții: cerința 4 (trei rânduri) și subpunctul III.1.c) (patru). Documentul modelului are astfel 39 de rânduri, copiate mai jos prin marcajele „(1 p)”, „(2 p)” și „(3 p)”, iar rezolvările sunt ale paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — media aritmetică.

Se desface paranteza lui $a$: $a=2\left(5-\sqrt{5}\right)=10-2\sqrt{5}$. La adunarea cu $b=2\sqrt{5}$, termenii cu radical sunt opuși și se reduc: $$a+b=10-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=10\text{(3 p)}.$$ Media aritmetică este jumătate din sumă: $$\frac{a+b}{2}=\frac{10}{2}=5\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: față de $5$, numărul $a$ are abaterea $a-5=5-2\sqrt{5}$, iar $b$ are abaterea $b-5=2\sqrt{5}-5$; abaterile sunt opuse, deci $5$ se află la mijloc. O greșeală apare dacă factorul $2$ se aplică doar primului termen din paranteză: $10-\sqrt{5}+2\sqrt{5}=10+\sqrt{5}$, iar media $\frac{10+\sqrt{5}}{2}$ nu este $5$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Ox$.

Punctele în care graficul întâlnește axa $Ox$ au ordonata $0$, deci se rezolvă ecuația $f(x)=0$, adică $x^2-4x+3=0$ (3 p). Discriminantul este $16-12=4$, iar $x=\frac{4\pm 2}{2}$ dă abscisele $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Contraproba: $f(1)=1-4+3=0$ și $f(3)=9-12+3=0$. O greșeală apare dacă se pune $x=0$: se obține $f(0)=3$, ordonata punctului în care graficul taie axa $Oy$; iar dacă se pune $f^{\prime }(x)=0$, se obține $x=2$, abscisa vârfului, unde $f(2)=-1\ne 0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Diferența a doi logaritmi cu aceeași bază este logaritmul câtului, iar ${\log }_{5}u=0$ înseamnă $u=5^0=1$: $${\log }_5\frac{2x-1}{3}=0⟺\frac{2x-1}{3}=1\text{(3 p)}.$$ Din $2x-1=3$ rezultă $x=2$; pentru $x=2$ argumentul $2x-1=3$ este pozitiv, deci $\mathbf{x}=2$ convine (2 p).

(Contraproba: pentru $x=2$, ecuația devine ${\log }_{5}3-{\log }_{5}3=0$. O greșeală apare dacă fracția se egalează cu $0$: din $2x-1=0$ ar rezulta $x=\frac{1}{2}$, pentru care argumentul $2x-1$ este $0$, deci logaritmul nu există.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Multiplii lui $3$ printre cifre sunt $0=3\cdot 0$, $3$, $6$ și $9$; numărul $0$ este multiplu al oricărui număr întreg: $$4\text{cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Numerele naturale de o cifră sunt $0,1,2,\dots ,9$: $$10\text{cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Probabilitatea este $$p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: cele $10$ cifre se împart în $4$ multipli ai lui $3$ și $6$ nemultipli, adică $1$, $2$, $4$, $5$, $7$ și $8$, iar $4+6=10$. O greșeală apare dacă se uită $0$: cu $3$ cazuri favorabile din $9$ posibile s-ar obține $\frac{1}{3}$, fiindcă $0$ este și el un număr natural de o cifră.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Abscisa mijlocului este semisuma absciselor capetelor $A(2,4)$ și $B(6,4)$: $$x_M=\frac{2+6}{2}=4\text{(3 p)}.$$ Ordonata este semisuma ordonatelor: $y_M=\frac{4+4}{2}=4$, deci $\mathbf{M}(4,4)$ (2 p).

(Contraproba: segmentul $AB$ este orizontal, la înălțimea $4$, iar $M$ se află pe aceeași înălțime, la $2$ unități de fiecare capăt. O greșeală apare dacă se ia semidiferența: $\frac{6-2}{2}=2$, abscisă care coincide cu cea a lui $A$, deci punctul obținut nu este la distanțe egale de capete.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinusul unei sume.

Unghiurile $a$ și $b$ sunt în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, unde cosinusul este pozitiv; pentru fiecare dintre ele el este rădăcina pătrată a lui $1-{\sin }^2$: $$\cos a=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5},\cos b=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}\text{(2 p)}.$$ Se aplică formula $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$: $$\sin (a+b)=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}+\frac{12}{13}\cdot \frac{4}{5}=\frac{15}{65}+\frac{48}{65}=\frac{63}{65}\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ și ${\sin }^{2}b+{\cos }^{2}b=\frac{144}{169}+\frac{25}{169}=1$. O greșeală apare dacă se folosește formula diferenței, $\sin a\cos b-\sin b\cos a$: ar rezulta $\frac{15}{65}-\frac{48}{65}=-\frac{33}{65}$, negativ, deși $a+b$ se află între $0$ și $\pi$, unde sinusul este pozitiv.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Din produsul diagonalei principale, $2\cdot (-1)$, se scade produsul diagonalei secundare, $(-2)\cdot 1$: $$\det A=2\cdot (-1)-(-2)\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-2+2=0\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: prima linie, $(2,-2)$, este de $2$ ori a doua, $(1,-1)$. O greșeală apare dacă produsele se adună: $-2+(-2)=-4$.)

b) (5 p) Pentru fiecare poziție a lui $A\cdot A$ se înmulțește linia corespunzătoare din primul factor cu coloana corespunzătoare din al doilea: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+(-2)\cdot 1& 2\cdot (-2)+(-2)\cdot (-1)\\ 1\cdot 2+(-1)\cdot 1& 1\cdot (-2)+(-1)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Rezultă $A\cdot A=A=1\cdot A$; cum $A$ nu este matricea nulă, numărul $p$ din $A\cdot A=pA$ este unic: $\mathbf{p}=1$ (2 p).

(Contraproba: pe poziția $(1,1)$, egalitatea $2=2p$ dă $p=1$, iar celelalte trei elemente nenule dau aceeași valoare. O greșeală apare dacă fiecare element se ridică separat la pătrat: rezultă $\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 1& 1\end{array}\right)$, care nu este multiplu de $A$.)

c) (5 p) Se adună elementele de pe aceleași poziții: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}2& b-2\\ b+1& -1\end{array}\right),\det (A+B)=2\cdot (-1)-(b-2)(b+1)=-b^2+b\text{(2 p)}.$$ Ecuația $-b^2+b=0$ se scrie $b(1-b)=0$, deci $b=0$ sau $b=1$; matricele sunt $$B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{pentru}b=0\text{și}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{pentru}b=1\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: pentru $b=1$, $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$ are determinantul $-2+2=0$. O greșeală apare dacă se omite $b=0$: matricea nulă este și ea o soluție, fiindcă $A+O_2=A$ are determinantul $0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=2015$ în $-xy+x+y$: $$1\circ 2015=-1\cdot 2015+1+2015\text{(3 p)}.$$ Termenii $-2015$ și $2015$ se reduc, deci $1\circ 2015=1$ (2 p).

(Contraproba: din forma de la b), $1\circ y=-(1-1)(y-1)+1=1$ pentru orice $y$. O greșeală apare dacă $-xy$ se citește $+xy$: s-ar obține $2015+1+2015=4031$.)

b) (5 p) Termenii cu $x$ se grupează: $-xy+x=-x(y-1)$, iar $y=(y-1)+1$: $$x\circ y=-x(y-1)+(y-1)+1\text{(3 p)}.$$ Factorul $y-1$ apare în primii doi termeni și se scoate în față: $$x\circ y=(-x+1)(y-1)+1=-(x-1)(y-1)+1,\text{pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: dezvoltând $-(x-1)(y-1)+1$ se obține $-(xy-x-y+1)+1=-xy+x+y$. O greșeală apare dacă $-x+1$ se scrie $-(x+1)$: atunci $-(x+1)(y-1)+1=-xy-y+x+2$, expresie care diferă de $-xy+x+y$.)

c) (5 p) Din forma de la b), cu $x\to 3^x$ și $y\to 5^x$: $$3^x\circ 5^x=-\left(3^x-1\right)\left(5^x-1\right)+1=1⟺\left(3^x-1\right)\left(5^x-1\right)=0\text{(2 p)}.$$ Un produs este nul când un factor este nul: $3^x=1$ sau $5^x=1$. Fiecare putere este egală cu $1$ doar pentru exponentul $0$, deci în ambele cazuri $\mathbf{x}=0$ (3 p).

(Contraproba: pentru $x=0$ avem $3^0\circ 5^0=1\circ 1=-1+1+1=1$. O greșeală apare dacă ecuația se lasă $\left(3^x-1\right)\left(5^x-1\right)=1$, fără a scădea $1$ din ambii membri: din $-P+1=1$ rezultă $P=0$, nu $P=1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — limită, derivată, monotonie.

a) (5 p) Pentru $x\to 1$, numitorul $x^2+1$ tinde la $2$, deci nu se anulează și limita se află prin înlocuire: $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x}{x^2+1}\text{(2 p)}.$$ $$=\frac{3\cdot 1}{1^2+1}=\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: funcția $f$ este definită în $1$ și $f(1)=\frac{3}{2}$, deci limita coincide cu valoarea. O greșeală apare dacă se caută o nedeterminare $\frac{0}{0}$: numărătorul tinde la $3$, nu la $0$.)

b) (5 p) Regula derivării unui raport dă $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $u=3x$ și $v=x^2+1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{3\left(x^2+1\right)-3x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}\text{(2 p)}.$$ Numărătorul este $3x^2+3-6x^2=3-3x^2=-3\left(x^2-1\right)$, iar $x^2-1=(x-1)(x+1)$: $$f^{\prime }(x)=\frac{3-3x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=-\frac{3(x-1)(x+1)}{{\left(x^2+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: $f^{\prime }(1)=0$ și $f^{\prime }(0)=3$, iar valorile $f(0)=0$ și $f(1)=\frac{3}{2}$ sunt în acord cu creșterea lui $f$ între $0$ și $1$, unde $f^{\prime }$ este pozitivă. O greșeală apare dacă termenii din numărător se scriu în ordine inversă, $3x\cdot 2x-3\left(x^2+1\right)$: s-ar obține semnul opus, $+\frac{3(x-1)(x+1)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$.)

c) (5 p) Numitorul ${\left(x^2+1\right)}^2$ este pozitiv, deci $f^{\prime }$ se anulează doar când se anulează numărătorul: $$f^{\prime }(x)=0⟺(x-1)(x+1)=0⟺x=-1\text{sau}x=1\text{(2 p)}.$$ Semnul lui $f^{\prime }$ este opusul semnului produsului $(x-1)(x+1)$. Pe $(-\infty ,-1)$ ambii factori sunt negativi, produsul este pozitiv, deci $f^{\prime }<0$: $$f\text{descrește pe}(-\infty ,-1]\text{(1 p)}.$$ Pe $(-1,1)$ factorii au semne diferite, produsul este negativ, deci $f^{\prime }>0$: $$f\text{crește pe}[-1,1]\text{(1 p)}.$$ Pe $(1,+\infty )$ ambii factori sunt pozitivi, produsul este pozitiv, deci $f^{\prime }<0$: $$f\text{descrește pe}[1,+\infty )\text{(1 p)}.$$

(Contraproba: $f(-1)=-\frac{3}{2}$, $f(1)=\frac{3}{2}$ și $f(0)=0$; între $-1$ și $1$ valorile urcă de la $-\frac{3}{2}$ la $\frac{3}{2}$. Mai departe, $f(x)\to 0$ când $x\to \pm \infty$: la dreapta lui $1$ valorile coboară de la $\frac{3}{2}$ spre $0$, iar la stânga lui $-1$, pe măsură ce $x$ crește spre $-1$, ele coboară de la aproape $0$ la $-\frac{3}{2}$. O greșeală apare dacă se confundă semnul lui $f^{\prime }$ cu cel al produsului: pe $(-1,1)$ produsul este negativ, dar $f^{\prime }$ este pozitiv, din cauza semnului minus din față.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum.

a) (5 p) O primitivă a lui $x^5$ este $\frac{x^6}{6}$: $${\int }_{-1}^1{x}^{5}dx=\frac{x^6}{6}{|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: deoarece $(-x{)}^5=-x^5$, părțile de sub axă și de deasupra ei se compensează pe $[-1,1]$, deci integrala este zero. O greșeală apare dacă valorile primitivei în capete se adună în loc să se scadă: $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$, nu $0$.)

b) (5 p) Se reduce $x^5$: $f(x)-x^5=x$, deci integrandul este $x{e}^x$. Integrarea prin părți, cu $u=x$ și $v^{\prime }=e^x$, transformă ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$ în $x{e}^x{|}_0^1$ minus ${\int }_0^1{e}^{x}dx$ (3 p). $$=e-0-\left(e-1\right)=1\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $(x-1)e^x$ are derivata $e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$, deci este o primitivă a lui $x{e}^x$; valoarea ei în $1$ este $0$, în $0$ este $-1$, iar diferența este $1$. O greșeală apare dacă integrala rămasă se adună în loc să se scadă: $e+(e-1)=2e-1$.)

c) (5 p) Numărătorul este $\left(x^5+x\right)-x=x^5$, deci $g(x)=\frac{x^5}{x^3}=x^2$. Volumul este $\pi$ ori integrala pătratului lui $g$: $$V=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^2{x}^{4}dx=\pi \cdot \frac{x^5}{5}{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$V=\pi \cdot \frac{32-1}{5}=\frac{31\pi }{5}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $g(x)=x^2$ pe $[1,2]$ este un arc de parabolă, iar ${\int }_1^2{x}^{4}dx=\frac{31}{5}$ este între $1$ și $16$, valorile lui $x^4$ la capete. O greșeală apare dacă se uită ridicarea la pătrat: $\pi {\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{7\pi }{3}$, volumul unui alt corp.)

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă modelul de subiect pentru Bacalaureatul din 2015 la matematică M_tehnologic. Foaia are în antet Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare, titlul „Examenul de bacalaureat național 2015, Proba E. c)” și, în dreapta, cuvântul „Model” în locul unui număr de variantă. Se adresa filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse naturale și protecția mediului, profilul tehnic, la toate calificările profesionale. În acte, disciplina se numește Matematică M_tehnologic, iar între elevi i se zice și „M3”. Fiecare dintre cele zece cerințe are mai jos o rezolvare completă. Enunțurile sunt aceleași ca pe foaie; rezolvările, contraprobele și comentariile aparțin acestei pagini; documentul oficial de evaluare a dat numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Cum arată lucrarea.

• Subiectul I: șase cerințe independente, câte 5 puncte (30 de puncte).
• Subiectul al II-lea: o problemă cu matrice și una cu lege de compoziție, câte 15 puncte (30 de puncte).
• Subiectul al III-lea: o problemă de analiză cu derivate și una cu integrale, câte 15 puncte (30 de puncte).
• Se adaugă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

În documentul oficial, cerința 4 are trei rânduri de puncte (2 p, 1 p, 2 p), iar subpunctul III.1.c) are patru (2 p, 1 p, 1 p, 1 p). Celelalte cerințe și subpuncte au câte două rânduri. Subiectul al III-lea are astfel 14 rânduri punctate, față de 12 la Subiectul al II-lea.

Cerințele modelului și clasele lor (după programa de examen M_tehnologic, Anexa 2 la OMEN 4430/2014):

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

La cerința 5, programa de examen numește în clasa a X-a reperul cartezian, coordonatele punctelor și distanța dintre două puncte, dar nu numește mijlocul unui segment; rândul din tabel urmează clasa reperului cartezian.

De remarcat. La cerința 4, mulțimea cifrelor este $\{0,1,\dots ,9\}$, deci cazurile posibile sunt zece, iar numărul $0$ este și el multiplu de $3$. La 8.c) forma din subpunctul b) ascunde ecuația: produsul $\left(3^x-1\right)\left(5^x-1\right)$ trebuie să fie nul. La 9.c) cele trei rânduri de câte 1 p descriu fiecare câte un interval de monotonie. La 10.c) funcția $g$ se simplifică la $x^2$, iar volumul se reduce la o integrală de putere.

Cifre pentru ritm. O lucrare cu 72 de puncte din cerințe ajunge, cu cele 10 din oficiu, la 82 de puncte, adică nota 8,2. Punctele din oficiu nu cer timp de lucru, așa că cele 180 de minute se împart la cele 90 de puncte ale cerințelor: fiecare punct primește 2 minute, deci o cerință de 5 puncte are 10 minute, iar o problemă de 15 puncte are 30 de minute.

Cum o parcurgi. Rezolvă o cerință pe ciornă, apoi pune rezolvarea alături de pagină și verifică separat rândul de 2 p și cel de 3 p. Dacă 6 ți se pare greu, caută în lista „Reguli folosite” formula pentru sinusul unei sume; dacă 8.c) pare neclar, rescrie mai întâi $3^x\circ 5^x$ cu ajutorul lui b).

Reguli folosite.

• Subiectul I. Media aritmetică a două numere este jumătate din suma lor. ${\log }_{5}u-{\log }_{5}v={\log }_5\frac{u}{v}$ și ${\log }_{5}w=0$ exact pentru $w=1$. În primul cadran cosinusul este pozitiv și se află din sinus prin identitatea fundamentală a trigonometriei. $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$.
• Subiectul al II-lea. La o matrice $2\times 2$, determinantul cere două înmulțiri, una pe fiecare diagonală, iar din rezultatul diagonalei care coboară spre dreapta se scade rezultatul celeilalte. Un produs de doi factori este nul dacă măcar un factor este nul; $3^x=1$ doar pentru $x=0$.
• Subiectul al III-lea. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt polinoame, iar numitorul nu se anulează în punctul $x_0$, limita fracției în $x_0$ este valoarea ei în $x_0$. Semnul derivatei dă monotonia. Graficul lui $g$, rotit în jurul axei $Ox$ deasupra intervalului $[\alpha ,\beta ]$, mătură un corp de volum $\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{g}^2(x)dx$.

Despre litere. Litera $f$ numește trei funcții: cea de gradul al doilea de la 2, fracția de la 9 și cea de gradul $5$ de la 10. Litera $A$ este un punct la 5 și o matrice la 7. Litera $B$ este un punct la 5 și o matrice la 7.c). Literele $a$ și $b$ sunt numere reale la 1 și unghiuri la 6, iar la 7.c) $b$ este un parametru real. Litera $p$ este probabilitatea la 4 și numărul real căutat la 7.b). Litera $M$ este mijlocul segmentului de la 5.