Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2021 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2021 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\cdot \left(2-\frac{3}{4}:\frac{1}{2}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-4$. Arătați că $f(1)+g(1)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{4-x}=4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un produs costă $70$ de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu $30\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,4)$, $B(-3,0)$ și $C(0,4)$. Calculați perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, în care $AC=2$, $BC=4$ și unghiul $A$ are măsura egală cu $30^{\circ }$. Arătați că $\sin B=\frac{1}{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=7$.

b) (5 puncte) Arătați că $2B+I_2=3A$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A\cdot X-B\cdot X=I_2-X$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=3-(x-3)(y-3)$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 3=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x\ast (x+6)\ge 3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{x}+\ln x-5$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x-4}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că nu există asimptotă spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+3x^2+3$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-e^x-3\right)dx=7$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}x\left(f(x)-3x^2\right)dx=\frac{5}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (0,1)$, știind că ${\int }_0^a\frac{1}{f(x)-f^{\prime }(x)}dx=\frac{1}{6}$.

Barem și răspunsuri

Total: 90 p din cerințe și 10 p din oficiu, adică 100 p. Subiectul I: cerințele 1–6, câte 5 p. Subiectul al II-lea cuprinde itemii 7–8, iar al III-lea itemii 9–10; fiecare dintre ei valorează 15 p, în trei subpuncte de câte 5 p, iar fiecare subpunct are două rânduri. Rândurile punctate sunt cele ale variantei 2 din iunie-iulie 2021; demonstrațiile, probele și explicațiile ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții cu împărțire.

Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: $\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot 2=\frac{3}{2}$. Expresia devine $$2\cdot \left(2-\frac{3}{2}\right)\text{(3 p)}.$$ Paranteza este $2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$, iar $2\cdot \frac{1}{2}=1$ (2 p).

(Capcană: ordinea operațiilor. Dacă se scade mai întâi, $2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$, apoi $\frac{5}{4}:\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ și $2\cdot \frac{5}{2}=5$, rezultatul este $5$, nu $1$; în enunț împărțirea stă în interiorul parantezei și se face înaintea scăderii.)

Exercițiul 2. (5 p) — două funcții de gradul întâi.

Valoarea primei funcții în $1$ este $f(1)=1+2=3$ (2 p).

Valoarea celei de-a doua este $g(1)=1-4=-3$, deci $$f(1)+g(1)=3+(-3)=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)+g(x)=(x+2)+(x-4)=2x-2$, care se anulează în $x=1$. Capcană: se scade în loc să se adune; $f(1)-g(1)=6$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul drept se scrie $4=2^2$, deci ecuația este $2^{4-x}=2^2$. Funcția $t\mapsto 2^t$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $$4-x=2\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Probă: $2^{4-2}=2^2=4$. Capcană: numărul $4$ din membrul drept se confundă cu un exponent și se scrie $4-x=4$, deci $x=0$; dar $2^{4-0}=16$, nu $4$.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire cu procente.

Creșterea de preț este $30\%$ din $70$ de lei: $$\frac{30}{100}\cdot 70=21\text{ lei}\text{(3 p)}.$$ Produsul costă acum $70+21=91$ lei (2 p).

(Altă cale: prețul nou este $130\%$ din cel vechi, $1,3\cdot 70=91$. Capcană: procentul se confundă cu lei și se adaugă $30$ de lei, iar prețul ar fi $100$.)

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui triunghi.

Punctele $A(-3,4)$ și $B(-3,0)$ au aceeași abscisă, deci $AB$ este vertical și $AB=4-0=4$. Punctele $A(-3,4)$ și $C(0,4)$ au aceeași ordonată, deci $AC$ este orizontal și $AC=0-(-3)=3$ (2 p).

Latura rămasă, $BC$, se află cu formula distanței: $$BC=\sqrt{(0+3{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{25}=5.$$ Perimetrul este $AB+BC+AC=4+5+3=12$ (3 p).

(Probă: $AB\perp AC$, iar $3^2+4^2=5^2$, deci $BC$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Capcană: ipotenuza se ia egală cu suma catetelor, $BC=7$; atunci perimetrul ar ieși $14$.)

Exercițiul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor în triunghiul $ABC$ spune $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$. Cu $AC=2$, $BC=4$ și $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$\frac{2}{\sin B}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\sin B=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ (2 p).

(Probă: latura mai mică, $AC=2$, este opusă lui $B$, deci $B<A$ și $\sin B<\sin A$; într-adevăr $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$. Capcană: raportul se așază invers, $\frac{AC}{\sin A}=\frac{BC}{\sin B}$; atunci $\sin B=1$, adică $B=90^{\circ }$, dar atunci $BC$, opusă lui $A$, ar fi $AC\sin 30^{\circ }=1$, nu $4$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul unei matrice $2\times 2$ se obține scăzând din produsul elementelor de pe diagonala principală produsul celor de pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right|=3\cdot 1-(-2)\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=3+4=7\text{(2 p)}.$$

(Capcană: elementul $-2$ își pierde semnul și iese $3-2\cdot 2=-1$, în loc de $3+4$.)

b) (5 p) Scalarul $2$ înmulțește toate elementele lui $B$, iar $I_2$ se adună pe poziții: $$2B+I_2=\left(\begin{array}{cc}8& -6\\ 6& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& -6\\ 6& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $$3A=\left(\begin{array}{cc}9& -6\\ 6& 3\end{array}\right)=2B+I_2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $3A-2B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Capcană: se adună $1$ pe toate pozițiile, nu doar pe diagonală; atunci $2B+1$ pe fiecare poziție ar fi $\left(\begin{array}{cc}9& -5\\ 7& 3\end{array}\right)$, diferită de $3A$.)

c) (5 p) Se mută $X$ în stânga și se scoate factor comun la dreapta, fiindcă $X$ e factorul din dreapta în $A\cdot X$ și $B\cdot X$: $$A\cdot X-B\cdot X+X=I_2⟺(A-B+I_2)\cdot X=I_2\text{(2 p)}.$$ Matricea $A-B+I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ are determinantul $0\cdot 1-1\cdot (-1)=1\ne 0$, deci este inversabilă. Cum determinantul este $1$, inversa se obține schimbând elementele diagonalei și semnele celor din afara ei: $$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: $(A-B)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$, iar $I_2-X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Capcană: o ecuație matriceală nu se rezolvă „împărțind la $X$"; se folosește inversa, iar produsul de matrice nu comută, deci factorul $X$ se scoate în partea în care stă.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=3$: $$1\ast 3=3-(1-3)(3-3)\text{(3 p)}.$$ $$1\ast 3=3-(-2)\cdot 0=3-0=3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: factorul $3-3$ este $0$ și anulează tot produsul; dacă se uită, iese $3-(-2)\cdot 3=9$.)

b) (5 p) Pentru orice număr real $x$, înlocuind $y=2$: $$x\ast 2=3-(x-3)(2-3)=3+(x-3)=x\text{(2 p)}.$$ Cu $x=2$ în prima poziție: $$2\ast x=3-(2-3)(x-3)=3+(x-3)=x,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Din $x\ast 2=2\ast x=x$ pentru orice $x$, numărul $\mathbf{e}=2$ este element neutru.

(Legea e comutativă, $x\ast y=y\ast x$, fiindcă produsul $(x-3)(y-3)$ nu depinde de ordine; de aceea cele două calcule dau același rezultat. La o lege necomutativă cele două verificări ar fi independente. Probă: $5\ast 2=3-2\cdot (-1)=5$ și $2\ast 5=3-(-1)\cdot 2=5$.)

c) (5 p) Pentru orice număr real $x$: $$x\ast (x+6)=3-(x-3)(x+6-3)=3-(x-3)(x+3)\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $3-(x-3)(x+3)\ge 3$ revine la $-(x-3)(x+3)\ge 0$, adică $(x-3)(x+3)\le 0$. Produsul a doi factori este negativ sau nul între rădăcinile $-3$ și $3$, deci $$x\in [-3,3]\text{(3 p)}.$$

(Probă: $0\ast 6=3-(-3)\cdot 3=12\ge 3$; $3\ast 9=3-0=3\ge 3$; $4\ast 10=3-1\cdot 7=-4<3$. Capcană: se reține doar $x\le 3$; atunci și $x=-5$ ar intra în mulțime, dar $(-5)\ast 1=3-(-8)(-2)=-13<3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie, asimptotă.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: ${\left(\frac{4}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{4}{x^2}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, iar constanta $-5$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ La numitorul comun $x^2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{-4+x}{x^2}=\frac{x-4}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $\frac{4}{x}$ are semn minus; scrisă cu plus, $+\frac{4}{x^2}$, ar da $\frac{x+4}{x^2}$, care nu se anulează niciodată pe $(0,+\infty )$. Derivata constantei $-5$ este $0$, nu $-5$.)

b) (5 p) Pe $(0,+\infty )$ ecuația $f^{\prime }(x)=0$ este $x-4=0$, adică $x=4$ (2 p).

Numitorul $x^2$ este pozitiv, deci $f^{\prime }$ are semnul lui $x-4$: negativ pe $(0,4)$ și pozitiv pe $(4,+\infty )$. Rezultă că $f$ este $$\text{descresca˘toare pe }(0,4]\text{ și cresca˘toare pe }[4,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Probă: minimul funcției este $f(4)=1+\ln 4-5=\ln 4-4$. Capcană: semnul lui $x-4$ se studiază pe $\mathbb{R}$ și apar intervale ca $(-\infty ,4]$, dar funcția e definită doar pe $(0,+\infty )$.)

c) (5 p) O asimptotă oblică spre $+\infty$ ar avea panta $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{4}{x^2}+\frac{\ln x}{x}-\frac{5}{x}\right)=0+0-0=0\text{(3 p)}.$$ (Aici $\frac{\ln x}{x}\to 0$ prin regula lui l'Hôpital: $\frac{1/x}{1}\to 0$.) Cu $m=0$, o asimptotă ar fi orizontală și ar cere ca $f(x)$ să aibă limită finită. Dar $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{4}{x}+\ln x-5\right)=+\infty ,$$ deci graficul nu are asimptotă spre $+\infty$ (2 p).

(Capcană: panta $0$ nu înseamnă automat asimptotă orizontală, trebuie și limita funcției finită; $\ln x$ crește încet, dar fără margini: $f\left(e^{10}\right)=4e^{-10}+10-5>5$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Termenii $e^x$ și $3$ dispar: $f(x)-e^x-3=3x^2$. Atunci $${\int }_1^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=8-1=7\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $3x^2$ se scrie $3x^3$, înmulțind în loc să se mărească exponentul și să se împartă; atunci $3\cdot 8-3\cdot 1=21$.)

b) (5 p) Din $f(x)-3x^2=e^x+3$ rezultă integrandul $x\left(e^x+3\right)=x{e}^x+3x$. Termenul $x{e}^x$ se integrează prin părți, cu $e^x={\left(e^x\right)}^{\prime }$: $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x$. Atunci $${\int }_0^1\left(x{e}^x+3x\right)dx=\left(x{e}^x-e^x\right){|}_0^1+\frac{3x^2}{2}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=(e-e)-(0-1)+\frac{3}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. Capcană: primitiva lui $x{e}^x$ se ia $\frac{x^2}{2}{e}^x$; derivata acestei funcții are un termen în plus, $\frac{x^2}{2}{e}^x$, deci nu este $x{e}^x$.)

c) (5 p) Derivata este $f^{\prime }(x)=e^x+6x$, iar $e^x$ se reduce în diferență: $$f(x)-f^{\prime }(x)=3x^2+3-6x=3(x-1{)}^2.$$ Pentru $a\in (0,1)$ integrandul este definit pe $[0,a]$, fiindcă $x-1\ne 0$ acolo, iar o primitivă este $-\frac{1}{3(x-1)}$: $${\int }_0^a\frac{dx}{3(x-1{)}^2}=-\frac{1}{3(x-1)}{|}_0^a=-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a-1}+1\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $\frac{1}{6}$ dă $\frac{1}{a-1}+1=-\frac{1}{2}$, adică $\frac{1}{a-1}=-\frac{3}{2}$, de unde $a-1=-\frac{2}{3}$ și $\mathbf{a}=\frac{1}{3}$, care aparține lui $(0,1)$ (2 p).

(Probă: pentru $a=\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{-2/3}+1\right)=-\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}$. Capcană: primitiva lui $\frac{1}{(x-1{)}^2}$ se scrie $\ln |x-1|$; derivata ei este $\frac{1}{x-1}$, nu $\frac{1}{(x-1{)}^2}$.)

Pentru părinți și profesori

Despre această pagină. Conține lucrarea principală a sesiunii iunie-iulie 2021 la matematică M_tehnologic, Varianta 2, împreună cu baremul oficial și cu rezolvările noastre. Capul foii oficiale poartă titlul Examenul național de bacalaureat 2021, Proba E. c), Matematică M_tehnologic, apoi două nume de instituții: Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Candidații ei vin din filiera tehnologică, de la oricare dintre profilurile servicii, resurse sau tehnic; pe site lucrarea se numește și M3. Cerințele din „Itemi" sunt cele din PDF, fără nicio modificare; explicațiile, probele și ghidajul sunt ale noastre, iar baremul oficial a fost folosit numai pentru împărțirea punctelor.

Cum e împărțită lucrarea. Antetul impune trei ore de lucru efectiv, obligativitatea tuturor subiectelor și zece puncte din oficiu. Primul subiect adună șase cerințe scurte, iar subiectele II și III au fiecare câte două probleme cu trei subpuncte.

Unde se află fiecare cerință în programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Împărțirea fracțiilor intră, la examen, în operațiile cu numere reale din clasa a IX-a. Unitățile școlare noi ale clasei a IX-a nu cuprind numerele reale; la noi, tema se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuațiile exponențiale sunt, la examen, din clasa a X-a. În programa școlară nouă ecuațiile se rezolvă doar pe grafic, așa că egalarea exponenților de la cerința 3 apare în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Procentele se cer la examen în clasa a X-a, în blocul de calcul financiar. Programa școlară nouă pomenește procentele numai ca exemplu la progresii; tehnica de la cerința 4 e tratată în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Coordonatele punctelor și distanța dintre ele sunt la examen în clasa a X-a, iar în programa școlară nouă se învață în clasa a IX-a. Cele două programe așază materia diferit; pagina urmează clasa din programa de examen.
• Nota 5. Teorema sinusurilor e la examen în clasa a IX-a, dar programa școlară nouă o introduce în clasa a X-a, fără demonstrație. Nu e o eroare a lucrării, ci o decalare între programe.

Ce are special varianta 2. Cerința 4 vorbește despre o scumpire, deci rezultatul e mai mare decât prețul de pornire. La cerința 5 două laturi sunt paralele cu axele (una pe dreapta $x=-3$, cealaltă pe dreapta $y=4$), iar a treia, ipotenuza, completează tripletul pitagoreic $3,4,5$. La cerința 6 unghiul de $30^{\circ }$ are sinusul $\frac{1}{2}$, iar împărțirea la acest număr dublează valoarea. La Subiectul al II-lea, ecuația matriceală de la 7.c) se rezolvă cu o inversă, iar elementul neutru de la 8.b) cere două verificări, nu una. La Subiectul al III-lea, studiul semnului lui $f^{\prime }$ de la 9.b) se sprijină pe faptul că numitorul $x^2$ e pozitiv, iar la 10.c) exponențiala dispare din diferența $f(x)-f^{\prime }(x)$.

Pașii unei lucrări de probă:

• Cronometru. Trei ore în total. Cu 25 de minute rezervate pentru recitire, rămân 155 de minute pentru 90 de puncte, adică mai puțin de două minute pe punct. Subiectul I se rezolvă cel mai repede, iar minutele câștigate se folosesc la cele patru probleme de 15 puncte.
• Scris. Rezolvarea completă, cu justificări. Subpunctele valorează câte 5 puncte, în două rânduri; cerințele din Subiectul I la fel.
• Ce se tipărește pe foaia de barem: o soluție corectă ia punctajul întreg chiar dacă alege altă cale; punctele nu se fracționează; totalul împărțit la zece dă nota.
• Alunecări posibile: la 1, ordinea operațiilor (împărțirea înainte de scădere); la 4, scumpirea tratată ca ieftinire; la 6, raportul din teorema sinusurilor așezat invers; la 7.c), $X$ scos factor în partea greșită; la 8.b), o singură verificare a elementului neutru; la 9.c), pantă zero luată drept asimptotă orizontală.
• După corectare: pentru fiecare subpunct ratat, notează ce a lipsit — o formulă, un calcul sau o justificare.

Cum citești totalul. Nota 6 cere 50 de puncte din cele 90 (cu oficiul, 60), nota 8 cere 70 de puncte, iar nota 10 cere 90. Un total sub 50 trimite înapoi la Subiectul I și la subpunctele a) și b); între 50 și 70, de verificat sunt subpunctele c), cu o idee în plus; peste 70 contează viteza.

Formule folosite, pe subiecte:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$; $a^u=a^v⟺u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$; un procent $p\%$ dintr-o sumă $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; distanța dintre două puncte se obține adunând pătratele diferențelor de abscise și de ordonate și extrăgând rădăcina pătrată din sumă; teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; ${\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ps-qr}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$ când $ps-qr\ne 0$; un element $e$ este neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$.
• Subiectul al III-lea. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; $f^{\prime }\le 0$ pe un interval înseamnă $f$ descrescătoare pe el; $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$; $\int \frac{dx}{(x-1{)}^2}=-\frac{1}{x-1}$.

Despre notații. În această variantă $f$ are trei sensuri: $f(x)=x+2$ la cerința 2 (alături de $g(x)=x-4$), $f(x)=\frac{4}{x}+\ln x-5$ la cerința 9 și $f(x)=e^x+3x^2+3$ la cerința 10. Literele $A$, $B$, $C$ sunt puncte la cerința 5, vârfuri de triunghi la cerința 6, iar $A$ și $B$ sunt matrice la cerința 7. Litera $X$ de la 7.c) e o matrice necunoscută; $x$ și $y$ din celelalte cerințe sunt numere reale. La 8.b) litera $e$ notează elementul neutru al legii (aici $e=2$), iar la cerința 10 $e$ din $e^x$ este baza logaritmului natural; cele două nu au legătură. Titlurile „Itemul n" de mai jos sunt cele din barem; în clasă le spunem „cerința n".