Test tehnologic: studiul funcțiilor cu derivate

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 108 x + 5$ . Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „ $f$ este crescătoare pe $[- 6; 6]$ ”; b) „ $x = 6$ este punct de maxim local”; c) „ $f (- 6) = 437$ este un maxim local”; d) „ $f$ este descrescătoare pe $R$ ”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} + 5 x - 9$ . Calculează suma absciselor punctelor de inflexiune ale graficului funcției $f$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Funcția continuă $φ : R \to R$ are limita 3 la $- \infty$ , crește strict pe $(- \infty; 1]$ până la valoarea 7, scade strict pe $[1; 4]$ până la valoarea $- 2$ și crește strict pe $[4; + \infty)$ , cu limita 5 la $+ \infty$ . Care este mulțimea valorilor funcției $φ$ ?

Variantele: a) „ $(3; 5)$ ”; b) „ $[- 2; 7]$ ”; c) „ $(- 2; 7)$ ”; d) „ $[3; 7]$ ”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 45 x + 7$ . Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x + 1$ . Demonstrează că funcția $f$ este convexă pe intervalul $[2; + \infty)$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Pentru câte numere întregi $m$ ecuația $x^{3} - 24 x^{2} + 189 x = m$ are trei soluții reale distincte?

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un restaurant cu livrare primește comenzi între 10:00 și 19:00. Dacă $t$ este numărul de ore după 10:00, cu $0 \leq t \leq 9$ , numărul de comenzi pe oră este $Q (t) = t^{3} - 15 t^{2} + 72 t + 20$ .

a) (5 puncte) Calculează $Q^{'} (t)$ , scrie-l factorizat și alcătuiește tabelul de variație; spune între ce ore cresc comenzile și între ce ore scad.

b) (5 puncte) Află cea mai mică și cea mai mare valoare a lui $Q$ pe $[0; 9]$ , cu orele la care apar, și spune dacă maximul local din tabel este cel mai mare număr de comenzi pe oră.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Într-o titrare, un pH-metru măsoară pH-ul soluției în funcție de volumul $v$ de bază adăugat, în mL, pentru $15 \leq v \leq 35$ . Măsurătorile se potrivesc cu $pH (v) = - 0, 001 v^{3} + 0, 075 v^{2} - 1, 275 v + 7, 625$ .

a) (5 puncte) Calculează $pH^{'} (v)$ și $pH^{''} (v)$ , arată că graficul are un punct de inflexiune în $v = 25$ și calculează pH-ul în acel punct.

b) (5 puncte) Calculează panta curbei, în unități de pH pe mL, în $v = 15$ și în $v = 25$ și spune în ce punct al intervalului curba este cea mai abruptă.

Exercițiul 9 (10 puncte)

O sursă de 10 V, cu rezistența internă de 5 $Ω$ , alimentează o sarcină de $R$ ohmi, cu $R \geq 0$ . Puterea transferată sarcinii este $P (R) = \frac{100 R}{( R + 5 ) ^{2}}$ wați.

a) (5 puncte) Arată că $P^{'} (R) = \frac{100 ( 5 - R )}{( R + 5 ) ^{3}}$ și alcătuiește tabelul de variație pe $[0; + \infty)$ , cu valoarea din $R = 0$ , valoarea maximă și limita la $+ \infty$ .

b) (5 puncte) Află pentru ce rezistențe ale sarcinii puterea transferată este de cel puțin $\frac{25}{9}$ W.

Partea a III-a – Subiect de tip examen și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 5}{x ^{2} + 10}$ .

a) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$ .

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este concavă pe intervalul $[2; + \infty)$ .

c) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Se consideră funcția $f : (0; + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{2} - 10 x + 8 ln x$ .

a) (5 puncte) Arată că $f^{'} (x) = \frac{2 ( x - 1 ) ( x - 4 )}{x}$ , $x \in (0; + \infty)$ , și determină intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției $f$ .

b) (5 puncte) Calculează $f^{''} (x)$ , determină intervalele pe care $f$ este concavă și pe care este convexă și punctul de inflexiune al graficului.

c) (5 puncte) Calculează limita lui $f$ în 0, la dreapta, scrie asimptota verticală a graficului și determină mulțimea valorilor funcției $f$ pe intervalul $[1; + \infty)$ .

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare exercițiu este rezolvat pe pași, iar punctele pașilor sunt între paranteze; o rezolvare corectă pe alt drum ia aceleași puncte. La Partea a III-a nu ajunge rezultatul fără calcul și fără argumentare. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 108$ (1 p), adică $3 (x - 6) (x + 6)$ . Semnele lui $f^{'}$ sunt $+$ pe $(- \infty; - 6)$ , $-$ pe $(- 6; 6)$ și $+$ pe $(6; + \infty)$ , deci $f$ crește pe $(- \infty; - 6]$ , scade pe $[- 6; 6]$ și crește pe $[6; + \infty)$ (2 p). Așadar în $- 6$ funcția are un maxim local, de valoare $f (- 6) = - 216 + 648 + 5 = 437$ , iar în 6 un minim local, de valoare $f (6) = 216 - 648 + 5 = - 427$ ; răspunsul este $c)$ . Celelalte variante sunt false: a) pe $[- 6; 6]$ funcția scade, b) în 6 este minim, d) funcția crește pe $(- \infty; - 6]$ (2 p). Verificare: $f (- 7) = - 343 + 756 + 5 = 418$ și $f (0) = 5$ sunt amândouă sub 437, de o parte și de alta a lui $- 6$ .

Exercițiul 2.

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + 5$ (1 p), deci $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 = 12 (x - 2) (x - 4)$ (2 p). Semnele lui $f^{''}$ sunt $+$ pe $(- \infty; 2)$ , $-$ pe $(2; 4)$ și $+$ pe $(4; + \infty)$ , deci $f^{''}$ își schimbă semnul în ambele rădăcini, iar 2 și 4 sunt abscise de inflexiune. Suma lor este $2 + 4 = 6$ (2 p). Verificare: suma rădăcinilor ecuației $f^{''} (x) = 0$ este, după Viète, $\frac{72}{12} = 6$ ; $f^{''} (1) = 12 - 72 + 96 = 36 > 0$ , $f^{''} (3) = 108 - 216 + 96 = - 12 < 0$ și $f^{''} (5) = 300 - 360 + 96 = 36 > 0$ .

Exercițiul 3.

Pe $(- \infty; 1]$ , $φ$ crește strict de la limita 3, neatinsă, la valoarea 7, atinsă, deci ia valorile din $(3; 7]$ (1 p). Pe $[1; 4]$ scade de la 7 la $- 2$ , ambele atinse, deci ia valorile din $[- 2; 7]$ (2 p). Pe $[4; + \infty)$ crește de la $- 2$ la limita 5, neatinsă, deci ia valorile din $[- 2; 5)$ . Reuniunea celor trei intervale este $[- 2; 7]$ , adică răspunsul este $b)$ (2 p). Verificare: limitele 3 și 5 sunt cuprinse între $- 2$ și 7, deci nu sunt capete ale mulțimii, iar valorile $- 2$ și 7 sunt atinse, deci capetele sunt incluse.

Exercițiul 4.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 45 = 3 (x^{2} + 2 x - 15) = 3 (x + 5) (x - 3)$ (2 p). Semnele lui $f^{'}$ sunt $+$ pe $(- \infty; - 5)$ , $-$ pe $(- 5; 3)$ și $+$ pe $(3; + \infty)$ , deci $f$ este crescătoare pe $(- \infty; - 5]$ și pe $[3; + \infty)$ și descrescătoare pe $[- 5; 3]$ (3 p). Verificare: $f (- 5) = - 125 + 75 + 225 + 7 = 182$ , $f (0) = 7$ și $f (3) = 27 + 27 - 135 + 7 = - 74$ scad în ordine, iar $f (4) = 64 + 48 - 180 + 7 = - 61$ este mai mare decât $- 74$ .

Exercițiul 5.

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 6$ , deci $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x = 12 x (x - 2)$ (2 p). Pentru $x \geq 2$ avem $x > 0$ și $x - 2 \geq 0$ , deci $f^{''} (x) \geq 0$ , iar funcția $f$ este convexă pe $[2; + \infty)$ (3 p). Verificare: $f^{''} (3) = 12 \cdot 3 \cdot 1 = 36 > 0$ , iar pentru $x = 1$ , în afara intervalului, $f^{''} (1) = 12 \cdot 1 \cdot (- 1) = - 12 < 0$ .

Exercițiul 6.

Fie $g (x) = x^{3} - 24 x^{2} + 189 x$ . Atunci $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 48 x + 189$ , adică $3 (x - 7) (x - 9)$ (1 p). Funcția $g$ crește pe $(- \infty; 7]$ , scade pe $[7; 9]$ și crește pe $[9; + \infty)$ , cu maximul local $g (7) = 343 - 1176 + 1323 = 490$ , minimul local $g (9) = 729 - 1944 + 1701 = 486$ și limitele $- \infty$ la $- \infty$ și $+ \infty$ la $+ \infty$ (2 p). Ecuația $g (x) = m$ are trei soluții distincte exact când $486 < m < 490$ , adică pentru $m \in {487, 488, 489}$ , deci pentru $3$ valori întregi (2 p). Verificare: pentru $m = 490$ , $x^{3} - 24 x^{2} + 189 x - 490 = (x - 7)^{2} (x - 10)$ are doar două soluții distincte, 7 și 10; pentru $m = 486$ , $x^{3} - 24 x^{2} + 189 x - 486 = (x - 9)^{2} (x - 6)$ are tot două, 6 și 9.

Exercițiul 7.

a) (5 p) $Q^{'} (t) = 3 t^{2} - 30 t + 72$ (1 p) $= 3 (t^{2} - 10 t + 24) = 3 (t - 4) (t - 6)$ (1 p). Semnele sunt $+$ pe $[0; 4)$ , $-$ pe $(4; 6)$ și $+$ pe $(6; 9]$ (1 p). Comenzile cresc de la 10:00 la 14:00 (de la 20 la 132 pe oră), scad de la 14:00 la 16:00 (de la 132 la 128) și cresc de la 16:00 la 19:00 (de la 128 la 182) (2 p).

b) (5 p) Valorile sunt $Q (0) = 20$ , $Q (4) = 64 - 240 + 288 + 20 = 132$ , $Q (6) = 216 - 540 + 432 + 20 = 128$ și $Q (9) = 729 - 1215 + 648 + 20 = 182$ (2 p). Cea mai mică valoare este $20$ comenzi pe oră, la 10:00, iar cea mai mare este $182$ comenzi pe oră, la 19:00 (2 p). Maximul local din tabel, 132, nu este cel mai mare: $182 > 132$ , valoarea din capătul din dreapta îl depășește (1 p). Verificare: $Q (7) = 343 - 735 + 504 + 20 = 132$ stă între 128 și 182, în acord cu creșterea de după ora 16.

Exercițiul 8.

a) (5 p) $pH^{'} (v) = - 0, 003 v^{2} + 0, 15 v - 1, 275$ (1 p) și $pH^{''} (v) = - 0, 006 v + 0, 15 = - 0, 006 (v - 25)$ (1 p). Derivata a doua este pozitivă pe $[15; 25)$ și negativă pe $(25; 35]$ (1 p), deci își schimbă semnul în 25, iar graficul are punct de inflexiune în $v = 25$ (1 p). Valoarea este $pH (25) = - 15, 625 + 46, 875 - 31, 875 + 7, 625 = 7$ (1 p).

b) (5 p) $pH^{'} (15) = - 0, 675 + 2, 25 - 1, 275 = 0, 3$ pH pe mL (1 p) și $pH^{'} (25) = - 1, 875 + 3, 75 - 1, 275 = 0, 6$ pH pe mL (1 p). Derivata a doua arată că $pH^{'}$ crește pe $[15; 25]$ și scade pe $[25; 35]$ , deci panta cea mai mare este $0, 6$ , în $v = 25$ (2 p). Lângă punctul de inflexiune pH-ul se schimbă cel mai repede: curba este cea mai abruptă acolo (1 p). Verificare: $pH (15) = 2$ și $pH (35) = 12$ , deci panta medie pe tot intervalul este $\frac{12 - 2}{20} = 0, 5$ , iar $0, 3 < 0, 5 < 0, 6$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) Cu regula câtului, $u = 100 R$ și $v = (R + 5)^{2} = (R + 5) (R + 5)$ , cu $u^{'} = 100$ și $v^{'} = 2 (R + 5)$ : $P^{'} (R) = \frac{100 ( R + 5 ) ^{2} - 100 R \cdot 2 ( R + 5 )}{( R + 5 ) ^{4}}$ (1 p). Simplificând cu $R + 5$ și scoțând 100, $P^{'} (R) = \frac{100 ( R + 5 - 2 R )}{( R + 5 ) ^{3}} = \frac{100 ( 5 - R )}{( R + 5 ) ^{3}}$ (1 p). Pe $[0; + \infty)$ numitorul este pozitiv, deci $P^{'} > 0$ pe $[0; 5)$ și $P^{'} < 0$ pe $(5; + \infty)$ (1 p). Tabelul: $P (0) = 0$ , $P$ crește la $P (5) = \frac{500}{100} = 5$ W și scade apoi spre limita $R \to + \infty lim \frac{100 R}{( R + 5 ) ^{2}} = 0$ (2 p).

b) (5 p) Din tabel, $P$ crește pe $[0; 5]$ și scade pe $[5; + \infty)$ , iar $\frac{25}{9} < 5$ , deci $P (R) \geq \frac{25}{9}$ exact între cele două soluții ale ecuației $P (R) = \frac{25}{9}$ , câte una pe fiecare porțiune (2 p). Din $\frac{100 R}{( R + 5 ) ^{2}} = \frac{25}{9}$ rezultă $900 R = 25 (R + 5)^{2}$ , adică $36 R = R^{2} + 10 R + 25$ , deci $R^{2} - 26 R + 25 = 0$ , cu soluțiile $R = 1$ și $R = 25$ (2 p). Puterea este de cel puțin $\frac{25}{9}$ W pentru $R \in [1; 25]$ ohmi (1 p). Verificare: $P (1) = \frac{100}{36} = \frac{25}{9}$ și $P (25) = \frac{2500}{900} = \frac{25}{9}$ , iar $P (35) = \frac{3500}{1600} = \frac{35}{16}$ este sub prag.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Cu regula câtului, $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} + 10 ) - ( x ^{2} - 5 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 10 ) ^{2}} = \frac{30 x}{( x ^{2} + 10 ) ^{2}}$ (2 p). Numitorul este pozitiv, deci semnul lui $f^{'}$ este al lui $x$ : $f^{'} < 0$ pe $(- \infty; 0)$ și $f^{'} > 0$ pe $(0; + \infty)$ . Funcția $f$ este descrescătoare pe $(- \infty; 0]$ și crescătoare pe $[0; + \infty)$ (3 p).

b) (5 p) Numitorul $(x^{2} + 10)^{2}$ este produsul $(x^{2} + 10) (x^{2} + 10)$ , cu derivata $2 (x^{2} + 10) \cdot 2 x$ ; derivăm $f^{'}$ : $f^{''} (x) = \frac{30 ( x ^{2} + 10 ) ^{2} - 30 x \cdot 4 x ( x ^{2} + 10 )}{( x ^{2} + 10 ) ^{4}} = \frac{30 ( x ^{2} + 10 ) - 120 x ^{2}}{( x ^{2} + 10 ) ^{3}} = \frac{30 ( 10 - 3 x ^{2} )}{( x ^{2} + 10 ) ^{3}}$ (2 p). Pentru $x \geq 2$ avem $3 x^{2} \geq 12 > 10$ , deci $10 - 3 x^{2} < 0$ , iar numitorul este pozitiv; atunci $f^{''} (x) < 0$ și funcția $f$ este concavă pe $[2; + \infty)$ (3 p).

c) (5 p) Din a), $f$ scade pe $(- \infty; 0]$ de la limita 1 la $f (0) = - \frac{1}{2}$ și crește pe $[0; + \infty)$ de la $- \frac{1}{2}$ la aceeași limită, pentru că $x \to \pm \infty lim \frac{x ^{2} - 5}{x ^{2} + 10} = 1$ (3 p). Valoarea 1 nu este atinsă: ecuația $\frac{x ^{2} - 5}{x ^{2} + 10} = 1$ ar da $x^{2} - 5 = x^{2} + 10$ , iar prin reducerea lui $x^{2}$ rămân două numere diferite, $- 5$ și $10$ , deci ecuația nu are soluții. Mulțimea valorilor este $[- \frac{1}{2}; 1)$ (2 p). Verificare: $f (x) = 1 - \frac{15}{x ^{2} + 10}$ , iar $x^{2} + 10 \geq 10$ dă $\frac{15}{x ^{2} + 10} \leq \frac{3}{2}$ , deci $f (x) \geq - \frac{1}{2}$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) $f^{'} (x) = 2 x - 10 + \frac{8}{x} = \frac{2 x ^{2} - 10 x + 8}{x}$ , iar numărătorul este produsul dintre 2, $x - 1$ și $x - 4$ , fiindcă $1 + 4 = 5$ și $1 \cdot 4 = 4$ (2 p). Numitorul $x$ este pozitiv pe domeniu, deci $f^{'} > 0$ pe $(0; 1)$ , $f^{'} < 0$ pe $(1; 4)$ și $f^{'} > 0$ pe $(4; + \infty)$ : $f$ este crescătoare pe $(0; 1]$ și pe $[4; + \infty)$ și descrescătoare pe $[1; 4]$ (2 p). Punctul de maxim local este $x = 1$ , cu $f (1) = 1 - 10 + 0 = - 9$ , iar punctul de minim local este $x = 4$ , cu $f (4) = 16 - 40 + 8 ln 4 = 16 ln 2 - 24$ (1 p). Verificare: $16 ln 2 \approx 11, 09$ , deci $f (4) \approx - 12, 9$ , sub valoarea $- 9$ a maximului local.

b) (5 p) $f^{''} (x) = 2 - \frac{8}{x ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} - 4 )}{x ^{2}} = \frac{2 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ^{2}}$ (2 p). Pe $(0; + \infty)$ factorii $x + 2$ și $x^{2}$ sunt pozitivi, iar $- 2$ nu este în domeniu, deci semnul lui $f^{''}$ este al lui $x - 2$ : $f$ este concavă pe $(0; 2]$ și convexă pe $[2; + \infty)$ (2 p). Cum $f^{''}$ își schimbă semnul în 2, punctul de inflexiune este $(2; 8 ln 2 - 16)$ , fiindcă $f (2) = 4 - 20 + 8 ln 2$ (1 p). Verificare: $f^{''} (1) = 2 - 8 = - 6 < 0$ și $f^{''} (4) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0$ .

c) (5 p) Când $x \to 0$ , cu $x > 0$ , termenii $x^{2} - 10 x$ tind la 0, iar $8 ln x$ tinde la $- \infty$ , deci limita lui $f$ în 0, la dreapta, este $- \infty$ (1 p), iar asimptota verticală este dreapta de ecuație $x = 0$ , adică axa $O y$ (1 p). Pe $[1; + \infty)$ , $f$ scade de la $f (1) = - 9$ la $f (4) = 16 ln 2 - 24$ și crește apoi fără margine, fiindcă $f (x) = x^{2} (1 - \frac{10}{x} + \frac{8 ln x}{x ^{2}})$ , iar $\frac{ln x}{x ^{2}}$ tinde la 0 (regula lui l'Hôpital) (1 p). Funcția este continuă, deci mulțimea valorilor pe $[1; + \infty)$ este $[16 ln 2 - 24; + \infty)$ ; valoarea $- 9$ din capătul intervalului nu este cea mai mică (2 p). Verificare: $f (10) = 100 - 100 + 8 ln 10 \approx 18, 4$ , o valoare din mulțime.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor din clasa a XI-a, filiera tehnologică, pe cele trei lecții ale lui: „Unde crește și unde scade: derivata, tehnologic”, „Convexitate și inflexiune: liceu tehnologic” și „Bac tehnologic: graficul unei funcții pas cu pas”. Calculul derivatelor, tangenta și regula lui l'Hôpital sunt verificate de testul despre continuitate și derivate, iar calculul limitelor și cele trei feluri de asimptote, de testul despre limite; aici asimptota verticală apare doar ca pas al studiului unei funcții (exercițiul 11).

Punctaj: 90 de puncte vin din exerciții, 10 puncte din oficiu; totalul este 100.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: individual, pe foaie, fără calculator; nu sunt rotunjiri. La Partea a III-a se cer calculul și argumentarea, nu doar rezultatul. Ghidajul dă, la fiecare exercițiu, o întrebare cu variante și apoi numere de calculat; fiecare variantă greșită explică de ce nu convine. Îl pornești numai la exercițiile care nu ies.
La 90–100 de puncte: treci la testul următor.
La 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, doar exercițiile cu puncte pierdute.
La 60–74 de puncte: te întorci la lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru exercițiile sub jumătate din puncte și refaci testul după o săptămână.
Sub 60 de puncte: parcurgi cele trei lecții în ordine și lucrezi testul cu ghidajul de la început.
Formule de reținut: dacă $f^{'} > 0$ pe un interval, $f$ este strict crescătoare pe el, iar dacă $f^{'} < 0$ , strict descrescătoare; un punct în care $f^{'} (x_{0}) = 0$ este extrem numai dacă $f^{'}$ își schimbă semnul în el; pe un interval închis, cea mai mare și cea mai mică valoare se aleg dintre valorile din punctele critice și din capete; dacă $f^{''} \geq 0$ pe un interval, $f$ este convexă pe el, iar dacă $f^{''} \leq 0$ , concavă; un punct de inflexiune cere ca $f^{''}$ să își schimbe semnul în el; pe un interval pe care $f$ este continuă și strict monotonă, $f$ ia o singură dată fiecare valoare dintre capete, iar o limită neatinsă nu intră în mulțimea valorilor; dacă $f$ tinde la $\pm \infty$ când $x$ se apropie de un capăt finit $a$ al domeniului, dreapta $x = a$ este asimptotă verticală, iar dacă $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ , dreapta $y = L$ este asimptotă orizontală.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 4, 7, 11 a)	semnul lui $f^{'}$ , monotonia, extremele, valoarea maximă pe un interval	Unde crește și unde scade: derivata, tehnologic
2, 5, 8, 11 b)	semnul lui $f^{''}$ , convexitatea, concavitatea, punctul de inflexiune	Convexitate și inflexiune: liceu tehnologic
3, 6, 9, 10, 11 c)	tabelul de variație cu limite și asimptote, mulțimea valorilor, inecuația $f (x) \geq m$ , numărul de soluții ale ecuației $f (x) = m$ (pentru 10, și lecțiile despre monotonie și convexitate)	Bac tehnologic: graficul unei funcții pas cu pas

Exercițiile 4 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: exercițiul 4 copiază cerința despre intervalele de monotonie din Subiectul al III-lea, problema 1, iar exercițiul 10 copiază structura întregii probleme 1 (monotonia, concavitatea și mulțimea valorilor), cu alte funcții și alte numere decât în probele oficiale.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). La Subiectul al III-lea, problema 1, apar monotonia și extremele, convexitatea și concavitatea, precum și reprezentarea grafică, cu mulțimea valorilor; în probele oficiale 2013–2026, monotonia și extremele au apărut în 60 de probe, convexitatea și concavitatea în 18, iar studiul funcției până la mulțimea valorilor în 3. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.