Lungimea graficului unei funcții: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Aplicații ale integralei definite, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Aplicații ale integralei definite”.

Radicalul iese din teorema lui Pitagora: o porțiune mică de grafic se apropie de ipotenuza unui triunghi ale cărui catete sunt pasul orizontal și creșterea funcției. De aici și marginea de jos — nicio curbă nu coboară sub umbra ei, iar egalitatea are loc numai pentru un grafic de dreaptă orizontală. Se cere $f$ derivabilă, cu derivata continuă pe $[a,b]$. Formula intră în probă abia la MAT_P2, din $2030$.

Exemplu: Pentru $f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$ se obține $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}$, deci sub radical rămâne $1+x$, iar integrala se calculează cu tabelul.