Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$k=0,1,\dots ,n-1$; notațiile sunt cele din clasa a X-a. $(U_n,\cdot )$ este grup ciclic cu $n$ elemente, generat de ${\epsilon }_1$, iar izomorfismul cu $({\mathbb{Z}}_n,+)$ se realizează prin ${\epsilon }_k\mapsto \hat{k}$ — înmulțirea rădăcinilor corespunde adunării exponenților modulo $n$. Geometric, elementele lui $U_n$ sunt vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate, iar grupul lor este izomorf și cu grupul rotațiilor acelui poligon.

Exemplu: $U_4=\{1,i,-1,-i\}$, generat de ${\epsilon }_1=i$: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. • $U_3=\left\{1,-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$.