Gradul produsului de polinoame

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$K$ este un corp ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim), iar $f,g\ne 0$. Egalitatea gradelor la produs se sprijină pe faptul că, într-un corp, produsul coeficienților dominanți nu poate fi zero — peste ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus ea se strică. Nedeterminata se notează cu majusculă, $X$, gradul cu $\mathrm{grad}f$, iar polinomul nul nu are grad. Consecință directă: $K[X]$ este inel integru, iar $U(K[X])=K^{\ast }$ — singurele polinoame inversabile sunt constantele nenule.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_6[X]$: $(\hat{2}X+\hat{1})(\hat{3}X+\hat{1})=\hat{6}{X}^2+\hat{5}X+\hat{1}=\hat{5}X+\hat{1}$ — gradul scade, fiindcă ${\mathbb{Z}}_6$ nu e corp.