Descompunerea în factori peste C

Formulă din tema Polinoame, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Teorema fundamentală a algebrei spune că orice polinom de grad $n\ge 1$ cu coeficienți complecși are exact $n$ rădăcini în $\mathbb{C}$, numărate cu multiplicități; de aceea se descompune complet în factori de gradul întâi. Coeficientul dominant $a_n$ rămâne mereu în față și nu se uită. Peste $\mathbb{C}$, polinoamele ireductibile sunt exact cele de gradul întâi. Capcană: descompunerea depinde de mulțimea în care iei coeficienții — $X^2+4$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$, dar nu și peste $\mathbb{C}$.

Exemplu: $X^3-6X^2+11X-6=(X-1)(X-2)(X-3)$. • $X^2+4=(X-2i)(X+2i)$, pentru că $2i+(-2i)=0$ și $2i\cdot (-2i)=4$. • $2X^2-8=2(X-2)(X+2)$, cu coeficientul dominant $2$ păstrat în față.