Ecuația cu variabile separabile și modelul exponențial: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Primitive și integrala nedefinită”.

O ecuație diferențială este separabilă dacă necunoscuta și derivata ei pot fi strânse de o parte, iar variabila independentă de cealaltă; la $y^{\prime }=x+y$ despărțirea nu se poate face. Constanta apare o singură dată, la rândul integrării, iar împărțirea prin $y$ cere o justificare scurtă, de vreme ce o soluție nenulă nu se anulează în niciun punct. Semnul lui $k$ arată dacă mărimea urcă sau coboară spre zero.

Exemplu: Dezintegrarea radioactivă: $N^{\prime }=-\lambda N$ dă $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$, cu timpul de înjumătățire $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$.