Ecuația diferențială de ordinul al doilea și ecuația caracteristică: formulă (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — toate formulele temei → ·

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Primitive și integrala nedefinită”.

y^{''} + a y^{'} + b y = 0 y = e^{r x} r^{2} + a r + b = 0 Δ > 0 : y = c_{1} e^{r_{1} x} + c_{2} e^{r_{2} x} Δ = 0 : y = (c_{1} + c_{2} x) e^{r x} Δ < 0 : y = e^{α x} (c_{1} cos β x + c_{2} sin β x)

Ecuația caracteristică are aceiași coeficienți, în aceeași ordine; ea apare scoțând exponențiala factor comun, iar condiția cade asupra parantezei fiindcă exponențiala nu se anulează nicăieri. La $Δ < 0$ se iau $α = - \frac{a}{2}$ și $β = \frac{- Δ}{2}$ . Fiind două constante, se cer două condiții, amândouă în același punct — valoarea funcției, apoi valoarea derivatei.

Exemplu: Oscilatorul armonic $x^{''} + ω^{2} x = 0$ are $r^{2} + ω^{2} = 0$ , deci $x = c_{1} cos ω t + c_{2} sin ω t$ , cu perioada $T = \frac{2 π}{ω}$ , aceeași oricât de mult ai deplasa corpul la pornire.

Ecuația diferențială de ordinul al doilea și ecuația caracteristică: formulă (M2, științe ale naturii)

Continuă cu