Schema bilei revenite (Bernoulli)

Formulă din tema Probabilități, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Modelul: $n$ probe independente și identice, fiecare cu doar două rezultate — succes, cu probabilitatea $p$, și eșec, cu $q=1-p$; $k$ este numărul de succese cerut. Factorul $p^k{q}^{n-k}$ este probabilitatea unui scenariu anume, iar $C_n^k$ numără scenariile favorabile. Recunoaștere: „cu revenire”, „se aruncă de $n$ ori”, „fiecare aparat funcționează cu probabilitatea…”. Control: suma pe toate valorile lui $k$ este $(p+q{)}^n=1$. Util: $P(\text{cel puțin un succes})=1-q^n$.

Exemplu: Un zar se aruncă de $5$ ori, iar succes înseamnă „a ieșit $6$”, deci $p=\frac{1}{6}$. Probabilitatea de a obține exact două șase este $C_5^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=10\cdot \frac{125}{7776}=\frac{625}{3888}\approx 0,16$.