Formule trigonometrice de adunare: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Trigonometrie, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a IX-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a IX-a; celelalte formule de la tehnologic ale temei sunt la finalul paginii „Trigonometrie”.

În primele două rânduri semnele de sus merg împreună, la fel cele de jos: pentru $a+b$ se iau $+$ la sinus și $-$ la cosinus. Unghiurile $a$ și $b$ se dau în aceeași unitate, grade sau radiani. Ultimele două rânduri sunt cazul $b=a$ al primelor două; $\cos 2a$ are trei forme egale, iar o alegi pe cea care se potrivește valorilor cunoscute. Capcană: în $\sin (a\pm b)$ fiecare produs amestecă un sinus cu un cosinus, iar în $\cos (a\pm b)$ produsele au două cosinusuri sau două sinusuri. Control: $\sin 2a$ nu depășește $1$, iar la $a=45^{\circ }$ dă exact $1$.

Exemplu: Un panou solar de pe acoperișul unei pensiuni e înclinat cu unghiul $a$, cu sinusul și cosinusul $\frac{48}{73}$ și $\frac{55}{73}$. Iarna, la ora 9, soarele e la elevația $b$, cu sinusul și cosinusul $\frac{52}{173}$ și $\frac{165}{173}$. Raza face cu planul panoului unghiul $a+b$: partea ei utilă este $\sin (a+b)=\frac{48}{73}\cdot \frac{165}{173}+\frac{55}{73}\cdot \frac{52}{173}=\frac{10780}{12629}\approx 0,85$, iar partea paralelă cu panoul, $\cos (a+b)=\frac{55}{73}\cdot \frac{165}{173}-\frac{48}{73}\cdot \frac{52}{173}=\frac{6579}{12629}\approx 0,52$. La o înclinare $2a$: $\sin 2a=\frac{5280}{5329}$ și $\cos 2a=\frac{721}{5329}$, deci partea utilă $\sin (2a+b)=\frac{5280}{5329}\cdot \frac{165}{173}+\frac{721}{5329}\cdot \frac{52}{173}=\frac{908692}{921917}\approx 0,99$: panoul mai înclinat prinde iarna mai mult. Verificare: ${\left(\frac{10780}{12629}\right)}^2+{\left(\frac{6579}{12629}\right)}^2=1$.