Limite fundamentale: definiție

Când se poate folosi o limită fundamentală într-o formă compusă?

Când în locul lui $x$ apare peste tot aceeași expresie $u(x)$, care tinde la 0 și este nenulă lângă punct; atunci, de exemplu, $\frac{\sin u(x)}{u(x)}\to 1$. Astfel, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+2x)}{2x}=1$, deci ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+2x)}{x}=2$.

Ce nedeterminări rezolvă limitele fundamentale?

Patru dintre ele rezolvă cazul $\frac{0}{0}$: cele cu $\sin x$, $a^x-1$, $\ln (1+x)$ și $(1+x{)}^r-1$, împărțite la $x$. Limita ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$ rezolvă nedeterminarea $1^{\infty }$, care apare când baza tinde la 1 și exponentul la infinit.

Cât este ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$?

Este $e$. Cu notația $t=\frac{1}{x}$, avem $t\to 0$ când $x\to \infty$, iar expresia devine $(1+t{)}^{\frac{1}{t}}$, adică exact limita fundamentală care definește numărul $e$.

Cât este ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$?

Este 1. Este cazul $a=e$ al limitei ${\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$, iar $\ln e=1$. La fel, pentru baza 2 obții ${\lim }_{x\to 0}\frac{2^x-1}{x}=\ln 2$.

Cât sunt limitele lui $\frac{\mathrm{tg}x}{x}$, $\frac{\arcsin x}{x}$ și $\frac{\mathrm{arctg}x}{x}$ în 0?

Toate trei sunt egale cu 1 când $x\to 0$. Prima se deduce din limita sinusului: $\frac{\mathrm{tg}x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1\cdot 1=1$; celelalte două se obțin cu substituțiile $t=\arcsin x$, respectiv $t=\mathrm{arctg}x$.