Logaritmul zecimal: concentrații, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un spectrofotometru nu arată câtă substanță e într-o soluție, ci cât din lumină trece prin ea. De la procentul afișat până la concentrație, drumul trece printr-un logaritm, iar la clasa a IX-a tehnologic îl citești ca funcție: pe tabel, pe grafic și pe calculator. În programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), logaritmii sunt la clasa a X-a, dar numai în parte.

Situația de pornire

Laboratorul unei fabrici de profile metalice vopsite verifică fierul din apa de clătire a liniei de vopsire. Laborantul prepară cinci soluții etalon, cu fier în concentrații cunoscute, adaugă în fiecare reactivul care le colorează în portocaliu și le pune pe rând în spectrofotometru. Aparatul trimite o rază de lumină prin cuvetă și afișează transmitanța $T$ , adică procentul de lumină care o străbate. Soluția de comparație, fără fier, dă $T = 100$ %.

Concentrația $c$ (mg/L)	Transmitanța $T$ (%)
0,6	75,9
1,4	52,5
2,2	36,3
3,4	20,9
4,2	14,5

Proba de apă, tratată la fel, dă $T = 46, 3$ %. Fișa liniei cere cel mult 1,5 mg/L de fier (valoare din exemplu); peste această limită se schimbă filtrul de la clătire. Transmitanța scade când concentrația crește, dar nu cu același număr: între 0,6 și 1,4 mg/L pierde 23,4 puncte, între 3,4 și 4,2 mg/L numai 6,4, deși pasul e tot de 0,8 mg/L.

Întrebare: ce concentrație de fier are proba și trebuie schimbat filtrul?

De la situație la model

În situație	În matematică
transmitanța probei, $T$ în %	numărul $T$ , cu $0 < T \leq 100$
de câte ori slăbește lumina	raportul $q = 100 : T$ , mereu cel puțin 1
absorbanța $A$ a probei	$A = l g q$ , logaritmul zecimal al lui $q$
concentrația $c$ a probei, în mg/L	$c = A : 0, 20$ , fiindcă punctele $(c; A)$ stau pe o dreaptă prin origine
„peste $A = 1$ proba se diluează”	$q > 10$ , adică $T < 10$

Logaritmul zecimal al unui număr $x > 0$ este exponentul la care ridici 10 ca să obții $x$ : $l g x = y$ înseamnă $1 0^{y} = x$ . Pentru puterile lui 10 iese pe loc, de pildă $l g 1000 = 3$ . Pentru restul, valoarea o dă tasta log a calculatorului. Așa trece laborantul de la $T$ la absorbanță: $q = 100 : 46, 3 \approx 2, 160$ , iar $A = l g 2, 160 \approx 0, 334$ .

Același drum, pe cele cinci etaloane:

$c$ (mg/L)	$T$ (%)	$q = 100 : T$	$A = l g q$	$A : c$
0,6	75,9	1,318	0,12	0,20
1,4	52,5	1,905	0,28	0,20
2,2	36,3	2,755	0,44	0,20
3,4	20,9	4,785	0,68	0,20
4,2	14,5	6,897	0,84	0,20

Absorbanța crește cu același număr la fiecare pas egal de concentrație, deși transmitanța nu: de aceea logaritmul „îndreaptă” curba din figură într-o dreaptă, $A = 0, 20 c$ .

Cum arată graficul funcției $l g$ ?

Pe figură citești mai multe lucruri deodată:

Graficul există numai pentru $x > 0$ . Dacă $T$ ar fi 0, nicio rază nu ar trece, $q$ ar crește fără limită și aparatul nu ar putea arăta absorbanța. Domeniul este $(0; + \infty)$ .
Singurul punct de pe axa $O x$ este $(1; 0)$ : la $q = 1$ toată lumina trece și absorbanța e zero. Axa $O y$ nu e tăiată. Lângă ea curba coboară fără oprire, dar nu o atinge: dreapta $x = 0$ este asimptotă verticală.
Funcția este strict crescătoare, însă lent. De la $q = 1$ la $q = 10$ absorbanța urcă cu 1, de la 10 la 100 încă cu 1. La proba noastră, de fiecare dată când $T$ se împarte la 10, $A$ crește cu 1.
Mulțimea valorilor este toată axa numerelor reale: pentru $x < 1$ , $l g x$ este negativ.

Cum afli $q$ când cunoști $A$ ?

Ca să afli $x$ când $l g x = m$ , urci pe $O y$ până la $m$ , mergi spre dreapta până întâlnești curba și citești abscisa. Pentru precizie, ridici 10 la $m$ : $x = 1 0^{m}$ , pe tasta $1 0^{x}$ . Pentru $A = 0, 5$ obții $q = 1 0^{0, 5} \approx 3, 162$ , deci $T = 100 : 3, 162 \approx 31, 6$ %. Regulile de calcul cu logaritmi vin la clasa a X-a, în lecția despre calculele cu logaritmi; aici valorile le scoți numai cu tasta.

Ce face tasta ln?

Lângă log, calculatorul are tasta ln: logaritmul natural, $ln x = y$ înseamnă $e^{y} = x$ , cu numărul $e \approx 2, 718$ din lecția despre funcția exponențială. Graficul lui $ln$ arată ca al lui $l g$ , tot prin $(1; 0)$ , dar urcă mai repede. Pentru orice număr $x \neq = 1$ , cele două taste dau rezultate în același raport: $ln 1, 318 : l g 1, 318$ , $ln 2, 755 : l g 2, 755$ și $ln 6, 897 : l g 6, 897$ ies toate 2,3026. Absorbanța se definește cu logaritmul zecimal, deci cu log. O fișă care dă „absorbanța naturală” $D = ln q$ se împarte la 2,3026 ca să obții $A$ .

Metoda pas cu pas

Citește ce măsoară aparatul și în ce unități: $T$ în %, $c$ în mg/L, proba de comparație la 100 %, cuveta de 1 cm. La altă lungime de cuvetă, panta etaloanelor se schimbă, deci etaloanele și proba se măsoară în aceeași cuvetă. Dacă $T$ iese sub 10 %, proba este prea concentrată: o diluezi și măsori din nou, ca să rămâi în zona în care aparatul are încredere.
Calculează $q = 100 : T$ , adică de câte ori slăbește lumina la trecerea prin probă. Aici, $100 : 46, 3 \approx 2, 160$ . Dacă ai $T$ ca fracție, nu ca procent, înmulțești întâi cu 100.
Apasă tasta log, nu ln, și află $A = l g q$ ; aici, $l g 2, 160 \approx 0, 334$ . Controlează: pentru $T$ între 10 și 100, absorbanța iese între 0 și 1. Un rezultat negativ sau peste 1 arată că ai calculat $l g T$ sau ai folosit altă tastă. Păstrează trei zecimale: rotunjită la zecimi, absorbanța ar muta concentrația cu până la 0,25 mg/L.
Din etaloane află panta $k = A : c$ , adică raportul absorbanței la concentrație (rapoartele trebuie să fie aproape egale), apoi $c = A : k$ . Aici $k = 0, 20$ , deci $c = 0, 334 : 0, 20 \approx 1, 67$ mg/L. Dacă un etalon iese din rând, se prepară din nou, nu se ignoră.
Pentru problema inversă, cu $A$ dat și $T$ căutat, ridici 10 la $A$ pe tasta $1 0^{x}$ și obții $q$ , apoi $T = 100 : q$ . Pe același principiu, din $l g x = m$ afli $x = 1 0^{m}$ , de exemplu ce valoare trebuie să arate aparatul la limita fișei.
Verifică: refă drumul înapoi, $100 \cdot 1 0^{- 0, 334}$ trebuie să dea $T$ ; concentrația trebuie să cadă între cele ale etaloanelor vecine. Scrie răspunsul cu mg/L și spune ce înseamnă pentru linie: aici, filtrul se schimbă înainte de următoarea tură.

Fișa de buzunar

$l g x = y ⟺ 1 0^{y} = x (x > 0)$

$A = l g \frac{100}{T}, c = \frac{A}{k}$

Prima relație cere $x > 0$ . A doua se aplică numai pentru $0 < T \leq 100$ și când punctele $(c; A)$ stau pe o dreaptă prin origine, adică la $A \leq 1$ ; altfel diluezi proba. Tasta pentru $l g$ este log, iar ln dă altă valoare. Verificare rapidă: $100 \cdot 1 0^{- A}$ trebuie să dea înapoi $T$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Fierul din apa de clătire

Domeniu: chimie.

Enunț. Reia proba din situația de pornire: $T = 46, 3$ %, cu etaloane pentru care $A = 0, 20 c$ . a) Calculează absorbanța probei. b) Află concentrația de fier. c) Respectă proba limita de 1,5 mg/L? d) Ce transmitanță corespunde exact limitei, pentru ca laborantul să știe pe loc ce valori ale aparatului cer schimbarea filtrului?

Rezolvare. a) $q = 100 : 46, 3 \approx 2, 160$ și $A = l g 2, 160 \approx 0, 334$ . b) $c = 0, 334 : 0, 20 \approx 1, 67$ mg/L. c) Cum $1, 67 > 1, 5$ , proba nu respectă limita și filtrul se schimbă. d) La limită, $A = 0, 20 \cdot 1, 5 = 0, 30$ , deci $q = 1 0^{0, 30} \approx 1, 995$ și $T = 100 : 1, 995 \approx 50, 1$ %. Orice $T$ sub 50,1 % înseamnă peste 1,5 mg/L.

Capcană. Cine apasă ln în loc de log obține $A = ln 2, 160 \approx 0, 770$ și $c = 0, 770 : 0, 20 \approx 3, 85$ mg/L, de 2,3 ori mai mult. Ar raporta o încărcare cu fier pe care apa nu o are.

Verificare. Pe alt drum: $T = 46, 3$ cade între etaloanele de 52,5 % (1,4 mg/L) și 36,3 % (2,2 mg/L), deci $c$ trebuie să fie între 1,4 și 2,2 mg/L, iar 1,67 este. Și înapoi: $100 \cdot 1 0^{- 0, 334} \approx 46, 3$ %, sub 50,1 %, ca la d).

Exemplul 2 — Filtrul pentru sudură

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un sudor lucrează cu un arc care, după fișa postului, trebuie atenuat până la cel mult 0,0125 % din lumină. Filtrele din atelier au numere întregi, iar fișa lor leagă numărul $N$ de transmitanța $T$ , în %, printr-o relație nominală: $N = 1 + \frac{7}{3} l g \frac{100}{T}$ (valori din exemplu). Ce filtru alege și cât din lumină lasă el să treacă? Fișa dă filtrele în tabel, dar relația îți răspunde la orice limită.

Rezolvare. $100 : 0, 0125 = 8000$ și $l g 8000 \approx 3, 903$ , deci $N = 1 + \frac{7}{3} \cdot 3, 903 \approx 10, 11$ . Un număr mai mic lasă să treacă mai multă lumină decât limita, așa că rotunjești în sus: filtrul 11, prin care trece $100 \cdot 1 0^{- 10 \cdot 3 : 7} \approx 0, 0052$ % din lumină.

Capcană. Cine rotunjește la cel mai apropiat întreg alege filtrul 10. Din relația scrisă invers, $l g \frac{100}{T} = (N - 1) \cdot \frac{3}{7}$ , filtrul 10 lasă să treacă $T = 100 \cdot 1 0^{- 9 \cdot 3 : 7} \approx 0, 0139$ %, peste limita de 0,0125 %.

Verificare. Pe alt drum, de la $T$ înapoi la $N$ : pentru 0,0052 % rezultă $N = 1 + \frac{7}{3} l g (100 : 0, 0052) \approx 11, 0$ , iar pentru 0,0139 % rezultă $N \approx 10, 0$ . Dintre cele două, numai filtrul 11 are $T$ sub limita de 0,0125 %, deci 11 este cel mai mic număr bun.

Exemplul 3 — Granulația mălaiului

Domeniu: alimentar.

Enunț. La o moară de mălai, laboratorul cerne o probă prin site cu deschiderile de 250, 500, 1 000 și 2 000 µm și notează procentul cumulat care trece: 11 %, 38 %, 71 % și 94 %. Sitele sunt în șir, fiecare cu deschiderea dublă față de precedenta. Produsul cere ca jumătate din probă să treacă printr-o sită de cel mult 0,66 mm. Pe hârtia semilogaritmică, tocmai fiindcă se dublează, deschiderile sunt la distanțe egale, iar între două puncte vecine curba se trasează dreaptă. Prin ce deschidere trece 50 % din probă și se respectă cerința?

Rezolvare. Pe figură, orizontala de 50 % taie curba între 500 și 1000 µm, deci răspunsul trebuie să cadă acolo. Deschiderile se transformă în mm: 0,25; 0,5; 1 și 2 mm. Procentul de 50 % cade între 38 % și 71 %, la $(50 - 38) : (71 - 38) = 12 : 33 \approx 0, 364$ din drum. Pe axa logaritmică, același drum dă $l g d = l g 0, 5 + \frac{12}{33} (l g 1 - l g 0, 5) \approx - 0, 30103 + 0, 36364 \cdot 0, 30103 \approx - 0, 1916$ , iar tasta $1 0^{x}$ dă $d = 1 0^{- 0, 1916} \approx 0, 643$ mm, adică 643 µm. Cum $0, 643 < 0, 66$ , cerința este respectată.

Capcană. Cine interpolează liniar între 500 și 1000 µm obține $500 + 0, 364 \cdot 500 = 682$ µm și ar respinge un lot bun, fiindcă $0, 682 > 0, 66$ .

Verificare. Pe alt drum: $0, 5 \cdot 2^{0, 364} \approx 0, 643$ mm, același număr. Iar 643 µm cade între 500 și 1000 µm, cum cere procentul de 50 % aflat între 38 % și 71 %.

Exemplul 4 — Problema inversă: ziua decofrării

Domeniu: constructii.

Enunț. Aici pornești de la rezistența cerută și cauți ziua. Pe șantierul unei hale, laboratorul a ajustat pe cuburile de probă de la turnările anterioare, cu aceeași rețetă, rezistența betonului ca $R (t) = 5, 7 + 17, 6 l g t$ MPa, cu $t$ în zile, valabilă între 3 și 28 de zile (valori din exemplu). Cuburile au dat 14,1 MPa la 3 zile, 20,6 la 7 zile, 25,9 la 14 zile și 31,2 la 28 de zile. Placa se decofrează când rezistența ajunge la 70 % din cea de la 28 de zile. După câte zile se poate decofra?

Rezolvare. $R (28) = 5, 7 + 17, 6 l g 28 \approx 31, 17$ MPa, iar 70 % din ea este $0, 7 \cdot 31, 17 \approx 21, 82$ MPa. Din $5, 7 + 17, 6 l g t = 21, 82$ rezultă $l g t = (21, 82 - 5, 7) : 17, 6 \approx 0, 916$ , deci $t = 1 0^{0, 916} \approx 8, 24$ zile. Din tabel, 21,82 MPa cade între 20,6 MPa (la 7 zile) și 25,9 MPa (la 14 zile), deci ziua căutată e între 7 și 14, iar calculul o precizează. Decofrarea se face în prima zi întreagă care urmează, a 9-a.

Capcană. Cine uită să scadă 5,7 calculează $l g t = 21, 82 : 17, 6 \approx 1, 240$ și $t \approx 17, 4$ zile. Ar aștepta aproape de două ori mai mult decât trebuie.

Verificare. $R (8) \approx 21, 59$ MPa, sub 21,82, iar $R (9) \approx 22, 49$ MPa, peste: prima zi întreagă bună este a 9-a. Iar la dublarea zilelor, de la 7 la 14, tabelul dă $25, 9 - 20, 6 = 5, 3$ MPa, iar modelul $17, 6 \cdot l g 2 \approx 5, 30$ MPa, același număr.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează cu calculatorul, rotunjit la trei zecimale: $l g 0, 38$ , $l g 6, 5$ , $l g 250$ și $l g 4000$ . Care valoare este negativă și de ce?

2. Pot sta pe graficul funcției $f (x) = l g x$ punctele $A (1000; 3)$ , $B (0, 01; 2)$ , $C (- 10; 1)$ și $D (1; 0)$ ?

3. Află $x$ din $l g x = 2, 6$ , din $l g x = - 1, 3$ și din $l g x = 0$ . Rotunjește la trei zecimale.

4. a) Pe graficul funcției $l g$ din lecție, citește aproximativ $l g 3$ și $l g 6$ , apoi verifică-le cu tasta log. b) Fără calculator: care probă are absorbanța mai mare, cea cu $T = 31$ % sau cea cu $T = 30$ %?

Nivelul 2 — situații

5. Tabelul turațiilor unei mașini de frezat, în rot/min: 100, 125, 160, 200, 250, 315, 400. a) Calculează $l g$ pentru fiecare turație, cu trei zecimale. b) Ce observi la diferențele dintre logaritmii a două trepte vecine? Ce înseamnă asta pentru raportul turațiilor? c) Ce turație urmează după 400?

6. La analiza altei probe de apă, aparatul arată $T = 3, 7$ %. a) Ce absorbanță are proba și de ce rezultatul nu e de încredere? b) Laborantul diluează proba de 5 ori. Dacă citirea de la a) ar fi corectă, absorbanța ar scădea de 5 ori: ce $T$ ar arăta aparatul? c) Proba diluată dă de fapt $T = 50, 6$ %. Ce concentrație are proba inițială?

7. Pe graficul de frecvență al unei boxe, axa orizontală e logaritmică: un marcaj stă la $6 l g (f : 100)$ cm de cel de 100 Hz, deci 1 000 Hz e la 6,0 cm. a) La ce distanță de marcajul de 100 Hz se află 250 Hz și 400 Hz? b) Un vârf al curbei e la 4,2 cm de marcajul de 100 Hz. Ce frecvență are? c) De câte ori crește frecvența la 3,0 cm spre dreapta?

8. Rezistența $R$ a senzorului de temperatură al lichidului de răcire scade când motorul se încălzește. Tabelul: la 20 °C are 2 450 Ω, la 60 °C are 580 Ω, la 90 °C are 242 Ω. Constanta senzorului este $B = ln (R_{1} : R_{2}) : (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ , cu temperaturile în kelvin (adaugi 273 la grade). a) Calculează $B$ din rândurile de 20 °C și 90 °C. b) Calculează-l și din rândurile de 20 °C și 60 °C. c) Ce $B$ ar fi ieșit dacă apăsai log în loc de ln?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) O probă are absorbanța 0,30 în cuva de 1 cm, iar absorbanța crește proporțional cu lungimea cuvei. a) Calculează absorbanța și transmitanța în cuvele de 1, 2, 3 și 4 cm. b) Arată că absorbanțele formează o progresie aritmetică, iar transmitanțele una geometrică, și scrie rațiile. c) Care e cea mai lungă cuvă cu absorbanța de cel mult 1?

10. (Sinteză.) Fie $f, g : (0; + \infty) \to R$ , $f (x) = ln x$ și $g (x) = l g x + 1$ . a) Completează valorile lor pentru $x \in {1; 2; 4; 6; 8}$ . b) Între care două dintre aceste valori ale lui $x$ se află abscisa punctului comun al graficelor? c) Strânge intervalul din zecime în zecime.

11. (Sinteză.) Absorbanța depinde de transmitanță prin $A (T) = l g \frac{100}{T}$ și se folosește pentru $T \in [10; 80]$ . a) Calculează $A (10)$ , $A (40)$ și $A (80)$ . b) Crește sau scade $A$ când $T$ crește? c) Scrie mulțimea valorilor lui $A$ .

12. (Sinteză.) Graficul funcției $f (t) = a + b l g t$ trece prin punctele $M (10; 12)$ și $N (1000; 24)$ . a) Determină $a$ și $b$ . b) Calculează $f (100)$ . c) Pentru ce $t$ are $f$ valoarea 21?

Răspunsuri și verificări

1. $l g 0, 38 \approx - 0, 420$ ; $l g 6, 5 \approx 0, 813$ ; $l g 250 \approx 2, 398$ ; $l g 4000 \approx 3, 602$ . Negativă este prima, fiindcă $0, 38 < 1$ . Verificare: $1 0^{- 0, 420} \approx 0, 38$ .

2. $A$ și $D$ da, fiindcă $l g 1000 = 3$ și $l g 1 = 0$ . $B$ nu, fiindcă $l g 0, 01 = - 2$ . $C$ nu, fiindcă $- 10$ nu e în domeniul $(0; + \infty)$ . Verificare: $1 0^{3} = 1000$ .

3. $x = 1 0^{2, 6} \approx 398, 107$ ; $x = 1 0^{- 1, 3} \approx 0, 050$ ; $x = 1$ . Verificare: $l g 398, 107 \approx 2, 6$ .

4. a) Pe grafic, $l g 3 \approx 0, 48$ și $l g 6 \approx 0, 78$ ; tasta dă 0,477 și 0,778. b) Proba cu 30 %: $100 : 30 > 100 : 31$ , iar $l g$ e crescătoare, deci absorbanța ei e mai mare. Verificare: $l g (100 : 30) \approx 0, 523$ și $l g (100 : 31) \approx 0, 509$ .

5. a) 2,000; 2,097; 2,204; 2,301; 2,398; 2,498; 2,602. b) Diferențele sunt toate aproape 0,1: fiecare turație e cam $1 0^{0, 1} \approx 1, 26$ ori cea dinainte. c) Cu $l g \approx 2, 7$ , $1 0^{2, 7} \approx 501$ , deci 500 rot/min. Verificare: $400 \cdot 1, 26 \approx 504$ rot/min.

6. a) $q = 100 : 3, 7 \approx 27, 03$ și $A = l g 27, 03 \approx 1, 432$ . Peste 1, relația dintre $A$ și $c$ nu mai e sigură. b) $A$ ar fi $1, 432 : 5 \approx 0, 2864$ , iar $T = 100 \cdot 1 0^{- 0, 2864} \approx 51, 7$ %. c) Proba diluată are $A = l g (100 : 50, 6) \approx 0, 296$ și $c = 0, 296 : 0, 20 = 1, 48$ mg/L, deci cea inițială, $5 \cdot 1, 48 = 7, 40$ mg/L. Verificare: 1,48 mg/L e între etaloanele de 1,4 și 2,2 mg/L; citirea nesigură dădea 7,16 mg/L.

7. a) $6 l g 2, 5 \approx 2, 39$ cm și $6 l g 4 \approx 3, 61$ cm. b) $6 l g (f : 100) = 4, 2$ dă $l g (f : 100) = 0, 7$ , deci $f = 100 \cdot 1 0^{0, 7} \approx 501$ Hz. c) $3, 0 : 6 = 0, 5$ și $1 0^{0, 5} \approx 3, 16$ ori. Verificare: 501 Hz este între 400 Hz (3,61 cm) și 630 Hz (4,80 cm).

8. a) $T_{1} = 293$ K și $T_{2} = 363$ K; $ln (2450 : 242) \approx 2, 315$ și $\frac{1}{293} - \frac{1}{363} \approx 0, 000658$ , deci $B \approx 3517$ K. b) Cu $T_{3} = 333$ K: $ln (2450 : 580) \approx 1, 441$ și $\frac{1}{293} - \frac{1}{333} \approx 0, 000410$ , deci $B \approx 3514$ K, aproape același. c) Cu log, $B \approx 3517 : 2, 3026 \approx 1527$ K. Verificare: valorile lui $B$ diferă cu sub 1 %.

9. a) Absorbanțele: 0,30; 0,60; 0,90; 1,20. Transmitanțele, cu $T = 100 \cdot 1 0^{- A}$ : 50,1; 25,1; 12,6; 6,3 %. b) Absorbanțele cresc cu câte 0,30 (progresie aritmetică, rația 0,30), iar transmitanțele se înmulțesc cu $1 0^{- 0, 3} \approx 0, 501$ (progresie geometrică, rația 0,501). c) Cuva de 3 cm ( $A = 0, 90$ ); la 4 cm, $A = 1, 20 > 1$ . Verificare: $50, 1 \cdot 0, 501 \approx 25, 1$ și $25, 1 \cdot 0, 501 \approx 12, 6$ .

10. a) Pentru $f$ : 0; 0,693; 1,386; 1,792; 2,079. Pentru $g$ : 1; 1,301; 1,602; 1,778; 1,903. b) La $x = 4$ , $f < g$ ; la $x = 6$ , $f > g$ : punctul comun e între 4 și 6. c) $f (5, 8) \approx 1, 758 < g (5, 8) \approx 1, 763$ , iar $f (5, 9) \approx 1, 775 > g (5, 9) \approx 1, 771$ : între 5,8 și 5,9. Verificare: $ln x$ e de 2,3026 ori $l g x$ , deci pentru $x > 1$ diferența $ln x - l g x$ crește și trece de 1 o singură dată.

11. a) $A (10) = l g 10 = 1$ ; $A (40) = l g 2, 5 \approx 0, 398$ ; $A (80) = l g 1, 25 \approx 0, 097$ . b) $A$ scade când $T$ crește, fiindcă $100 : T$ scade, iar $l g$ este crescătoare. c) Mulțimea valorilor este $[l g 1, 25; 1] \approx [0, 097; 1]$ . Verificare: valorile din a) cad aici.

12. a) Din $l g 10 = 1$ și $l g 1000 = 3$ obținem $a + b = 12$ și $a + 3 b = 24$ . Scăzând, $2 b = 12$ , deci $b = 6$ și $a = 6$ . b) $f (100) = 6 + 6 \cdot 2 = 18$ . c) $6 + 6 l g t = 21$ dă $l g t = 2, 5$ , deci $t = 1 0^{2, 5} \approx 316, 2$ . Verificare: $f (10) = 12$ și $f (1000) = 24$ , iar $f (316, 2) = 6 + 6 \cdot 2, 5 = 21$ .

Așa vine la Bac M3

Funcția logaritmică, citită pe grafic, face parte din programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026 ca temă a vreunei cerințe. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) trece la clasa a X-a «Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare», în blocul «Mulțimi de numere», și funcția logaritmică $lo g_{a} x$ , în blocul «Funcții și ecuații». Nici logaritmul zecimal, nici cel natural nu este numit în programa de examen. Indexul celor 83 de probe oficiale nu conține nicio cerință care să aibă drept temă, principală sau secundară, citirea graficului funcției logaritmice.

Logaritmii apar totuși în probe, în alte forme: ecuațiile cu logaritmi, la Subiectul I, cerința 3, și $ln x$ la Subiectul III, în exercițiile cu limite, derivate și integrale din clasele a XI-a și a XII-a. Ecuațiile sunt tema lecției ecuații exponențiale și logaritmice.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă logaritmul de progresii la cuve de lungimi diferite (absorbanțe în progresie aritmetică, transmitanțe în progresie geometrică), compară pe grafic $ln$ cu $l g$ , cer mulțimea valorilor absorbanței și două constante din două puncte ale graficului. Sunt scrise pentru lecție, nu luate din probe. Alte lecții ale clasei găsești în hubul clasei a IX-a, tehnologic.

Greșeli care costă puncte

Citești concentrația direct din transmitanță, cu o interpolare între etaloanele extreme → pentru $T = 46, 3$ % ai obține 2,34 mg/L în loc de 1,67; cum o prinzi: rezultatul iese în afara intervalului 1,4–2,2 mg/L dat de etaloanele vecine.
Calculezi $l g T$ în loc de $l g (100 : T)$ → $l g 46, 3 \approx 1, 666$ , adică o absorbanță peste 1 și 8,3 mg/L; cum o prinzi: pentru $T$ între 10 și 100, $A$ trebuie să iasă între 0 și 1.
Apeși ln în loc de log → 3,85 mg/L, de 2,3 ori mai mult; cum o prinzi: raportul $A : c$ la etaloane trebuie să dea 0,20.
Interpolezi liniar între diviziunile unei axe logaritmice → 682 µm în loc de 643 µm și un lot bun respins; cum o prinzi: pe axa logaritmică mijlocul dintre 500 și 1000 µm este $500 \cdot 1000 \approx 707$ µm, nu 750 µm.
Rotunjești numărul filtrului la cel mai apropiat întreg → filtrul 10 în loc de 11, cu 0,0139 % lumină trecută; cum o prinzi: refaci $T$ pentru numărul ales și îl compari cu limita.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, funcția logaritmică face parte din programa de examen doar în parte: $lo g_{a} x$ la clasa a X-a, iar logaritmii zecimal și natural nu sunt numiți. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Cum calculez absorbanța, dacă aparatul îmi arată transmitanța 46,3 %?

Împarți 100 la 46,3 și obții $q \approx 2, 160$ , apoi apeși log: $A \approx 0, 334$ . Rezultatul cade între absorbanțele etaloanelor vecine, 0,28 și 0,44. Cât timp $T$ e între 10 și 100, absorbanța iese între 0 și 1; altfel ai greșit un pas.

De ce nu pot afla absorbanța dacă aparatul arată T = 0 %?

Pentru că $100 : 0$ nu are sens: prin cuvetă trece mereu puțină lumină, iar logaritmul există numai pentru numere strict pozitive. În practică, sub 10 % proba e prea concentrată: absorbanța trece de 1, deci o diluezi și măsori din nou.

Cum verific pe calculator că A = 0,334 corespunde lui T = 46,3 %?

Ridici 10 la 0,334 pe tasta $1 0^{x}$ și obții aproximativ 2,16, apoi împarți 100 la 2,16: ies 46,3 %. Dacă nu ți-a ieșit transmitanța de la care ai pornit, ai apăsat altă tastă sau ai pierdut o zecimală.

Cât fier ar avea o probă cu T = 25 %?

$q = 100 : 25 = 4$ , iar $A = l g 4 \approx 0, 602$ , deci $c = 0, 602 : 0, 20 \approx 3, 01$ mg/L, de două ori limita de 1,5 mg/L. Rezultatul cade între etaloanele de 2,2 mg/L (36,3 %) și 3,4 mg/L (20,9 %), cum cere transmitanța de 25 %, aflată între ele.

Ce filtru alege sudorul dacă limita e 0,05 % din lumină?

$100 : 0, 05 = 2000$ și $N = 1 + \frac{7}{3} l g 2000 \approx 8, 70$ , deci filtrul 9. El lasă să treacă 0,0373 %, sub limită, iar filtrul 8 ar lăsa 0,1 %, dublul limitei. Cu cât limita de lumină e mai mică, cu atât numărul filtrului e mai mare.

Intră logaritmii la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)?

Programa îi are la clasa a X-a, dar numai în parte: logaritmul zecimal și cel natural nu sunt numiți. Citirea graficului funcției logaritmice nu a apărut în probele din 2013–2026 ca temă a unei cerințe, după indexul celor 83 de probe; poate fi cerută. Ecuațiile cu logaritmi apar la Subiectul I.