Subiect Bac matematică tehnologic, model 2013 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2013 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(3x+2{)}^2=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care vârful parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+3mx+1$ are abscisa egală cu $\frac{3}{2}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x}=9$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați $5C_4^2-A_5^2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-6,3)$ și $B(2,5)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $(AB)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea diagonalei $BD$ a rombului $ABCD$ în care $AB=4$ și $m(\sphericalangle ABC)=120^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& x\\ 2& -1& x\\ x& x& 2\end{array}\right)$ și se notează determinantul ei cu $\Delta (x)$.

a) (5 puncte) Calculați $\Delta (1)$.

b) (5 puncte) Arătați că $\Delta (x)=6\left(x^2-1\right)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(0)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

În $\mathbb{R}[X]$ se consideră polinomul $f=X^3-X^2+aX+b$.

a) (5 puncte) Calculați $a+b$, știind că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $a=-1$ și $b=1$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $x_1=1$ și $x_2=2$ sunt rădăcini ale polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$.

a) (5 puncte) Verificați dacă $f^{\prime }(x)=1+\ln x$, oricare ar fi $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge -\frac{1}{e}$, oricare ar fi $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$.

a) (5 puncte) Verificați dacă funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x-\frac{1}{x}+\ln x$ este o primitivă a funcției $f$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^{e}x\cdot f\left(x^2\right)dx$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a>1$, pentru care ${\int }_1^a\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{3}{2}$.

Barem și răspunsuri

Se pot obține 100 p: 90 p la cerințe și 10 p din oficiu. Subiectele au câte 30 p, iar unitățile de 5 p sunt cerințele 1–6 și fiecare subpunct din subiectele al II-lea și al III-lea. Documentul oficial are 42 de rânduri punctate. Trei rânduri au cerințele 2 (2 p, 2 p, 1 p), 4 (2 p, 2 p, 1 p), 5 (1 p, 2 p, 2 p), 6 (2 p, 1 p, 2 p) și subpunctele 8.c) (1 p, 2 p, 2 p) și 10.c) (2 p, 2 p, 1 p); celelalte unități au două rânduri. Fiecare rând al documentului este marcat mai jos cu „(1 p)", „(2 p)" sau „(3 p)", în ordine; rezolvările sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — ecuație de gradul II.

Se desface pătratul, $(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$, iar ecuația devine $9x^2+12x+4=4$. Termenul $4$ se reduce: $$9x^2+12x=0\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul comun $3x$, adică $3x(3x+4)=0$; un produs este nul dacă un factor este nul: $$\mathbf{x}=0\text{sau}\mathbf{x}=-\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $x=0$, $(0+2{)}^2=4$; pentru $x=-\frac{4}{3}$, $3x+2=-2$, iar $(-2{)}^2=4$. Capcană: dacă se păstrează numai rădăcina pozitivă a lui $4$, $3x+2=2$, se pierde soluția $x=-\frac{4}{3}$, pentru care $3x+2=-2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — vârful unei parabole.

Funcția $f(x)=-x^2+3mx+1$ are $a=-1$ și $b=3m$. Abscisa vârfului este $-\frac{b}{2a}$: $$-\frac{b}{2a}=\frac{3m}{2}\text{(2 p)}.$$ Se egalează cu valoarea dată: $$\frac{3m}{2}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Rezultă $3m=3$, deci $$\mathbf{m}=1\text{(1 p)}.$$

(Probă: pentru $m=1$, $f(x)=-x^2+3x+1$ și $f^{\prime }(x)=-2x+3$ se anulează în $x=\frac{3}{2}$. Capcană: pentru $m=\frac{1}{2}$, abscisa vârfului ar fi $\frac{3m}{2}=\frac{3}{4}$, nu $\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $9$ se scrie ca putere a lui $3$, iar ecuația devine o egalitate între puteri cu aceeași bază: $$3^{2x}=3^2\text{(2 p)}.$$ Baza $3$ este pozitivă și diferită de $1$, deci exponenții sunt egali: $2x=2$, adică $$\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $3^{2\cdot 1}=3^2=9$. Capcană: dacă în dreapta s-ar pune $3^3$ în locul lui $9$, ar rezulta $2x=3$, adică $x=\frac{3}{2}$, dar $3^3=27$, nu $9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — combinări și aranjamente.

Combinările de $4$ elemente luate câte $2$: $$C_4^2=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{4}=6\text{(2 p)}.$$ Aranjamentele de $5$ elemente luate câte $2$: $$A_5^2=\frac{5!}{3!}=5\cdot 4=20\text{(2 p)}.$$ Valoarea expresiei este $$5C_4^2-A_5^2=5\cdot 6-20=10\text{(1 p)}.$$

(Probă: dintr-o mulțime cu $4$ elemente se pot alege $6$ perechi neordonate; din $5$ elemente se pot forma $5\cdot 4=20$ perechi ordonate. Capcană: dacă $A_5^2$ se confundă cu $C_5^2=10$, expresia ar fi $30-10=20$, nu $10$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor: $$x_M=\frac{x_A+x_B}{2},y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\text{(1 p)}.$$ Pentru $A(-6,3)$ și $B(2,5)$, abscisa este $$x_M=\frac{-6+2}{2}=-2\text{(2 p)},$$ iar ordonata este $$y_M=\frac{3+5}{2}=4\text{(2 p)}.$$ Mijlocul este $M(-2,4)$.

(Probă: distanțele $MA=\sqrt{(-2+6{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{17}$ și $MB=\sqrt{(2+2{)}^2+(5-4{)}^2}=\sqrt{17}$ sunt egale. Capcană: dacă se împart diferențele, $\left(\frac{2-(-6)}{2},\frac{5-3}{2}\right)=(4,1)$, se obține jumătate din vectorul $AB$, nu mijlocul.)

Exercițiul 6. (5 p) — diagonala unui romb.

Într-un romb, unghiurile alăturate sunt suplementare, deci unghiul $BAD$, alăturat lui $ABC$, are $$m(\sphericalangle BAD)=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\text{(2 p)}.$$ Laturile rombului sunt egale, $AB=AD$, iar triunghiul $ABD$ are un unghi de $60^{\circ }$ între ele; un triunghi isoscel cu un unghi de $60^{\circ }$ este $$\text{echilateral}\text{(1 p)}.$$ Atunci diagonala $BD$ este egală cu latura: $$BD=AB=4\text{(2 p)}.$$

(Probă cu teorema cosinusului în $ABD$: $B{D}^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=32-16=16$. Capcană: la un pătrat, adică la un unghi de $90^{\circ }$, diagonala ar fi $4\sqrt{2}$; aici unghiul $ABC$ este de $120^{\circ }$, iar $BD$ este diagonala scurtă.)

Exercițiul 7. (15 p) — determinant de ordinul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ în matrice: $$\Delta (1)=\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Regula lui Sarrus: termenii cu plus sunt produsele pe diagonale, $(-1)(-1)\cdot 2=2$, $2\cdot 1\cdot 1=2$ și $1\cdot 2\cdot 1=2$; termenii scăzuți sunt $1\cdot (-1)\cdot 1=-1$, $(-1)\cdot 1\cdot 1=-1$ și $2\cdot 2\cdot 2=8$: $$\Delta (1)=2+2+2-(-1)-(-1)-8=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: suma primelor două rânduri, $(-1+2,2-1,1+1)=(1,1,2)$, este chiar al treilea rând, deci rândurile sunt dependente și determinantul este $0$. Capcană: dacă scăderea termenilor $-1$ se face ca $-1$ în loc de $+1$, adică $2+2+2-1-1-8$, se obține $-4$, nu $0$.)

b) (5 p) Cu $x$ în loc de $1$, termenii cu plus sunt $(-1)(-1)\cdot 2=2$, $2\cdot x\cdot x=2x^2$ și $x\cdot 2\cdot x=2x^2$, iar cei scăzuți sunt $x\cdot (-1)\cdot x=-x^2$, $(-1)\cdot x\cdot x=-x^2$ și $2\cdot 2\cdot 2=8$: $$\Delta (x)=2+2x^2+2x^2+x^2+x^2-8\text{(3 p)}.$$ Termenii asemenea se strâng, $6x^2-6$, apoi se scoate factorul $6$: $$\Delta (x)=6x^2-6=6\left({\mathbf{x}}^2-1\right)\text{(2 p)},$$ pentru orice număr real $x$.

(Probă: formula dă $\Delta (1)=0$, ca la a), și $\Delta (0)=-6$, ca la c). Capcană: dacă termenii $-x^2$ rămân cu minus după scădere, se obține $2+4x^2-2x^2-8=2x^2-6$, adică $\Delta (1)=-4$, în contradicție cu a).)

c) (5 p) Din formula de la b), $\Delta (0)=6\left(0^2-1\right)$: $$\Delta (0)=-6\text{(2 p)}.$$ Matricea $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 2& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ are determinant nenul, deci este inversabilă, iar inversa se calculează cu complemenții algebrici: ei sunt $-2$, $-4$, $0$ pe primul rând, $-4$, $-2$, $0$ pe al doilea și $0$, $0$, $-3$ pe al treilea. Matricea lor, simetrică, împărțită la $\Delta (0)=-6$, dă $$A(0{)}^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ 4& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: primul rând al lui $A(0)$ cu prima coloană a inversei dă $\frac{(-1)\cdot 2+2\cdot 4+0}{6}=1$; $A(0)\cdot A(0{)}^{-1}$ este matricea unitate $I_3$. Capcană: dacă adjuncta se împarte la $6$ în loc de $-6$, toate semnele inversei se schimbă, iar produsul cu $A(0)$ ar fi $-I_3$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3-1^2+a\cdot 1+b\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni se reduc, $1-1=0$, iar din $f(1)=0$ rămâne $$\mathbf{a}+\mathbf{b}=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $a=-1$ și $b=1$, valorile de la b), suma este $0$. Capcană: dacă se uită că $1^2=1$ și se scrie $1^3+1^2+a+b$, ar rezulta $a+b=-2$, valoare care nu mai dă rădăcina $1$.)

b) (5 p) Pentru $a=-1$ și $b=1$, polinomul este $f=X^3-X^2-X+1$. Se grupează $X^3-X^2=X^2(X-1)$ și $-X+1=-(X-1)$, apoi se scoate factorul $X-1$: $$f=(X-1)\left(X^2-1\right)=(X-1{)}^2(X+1)\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile sunt $1$ (dublă) și $-1$: $${\mathbf{x}}_1=1,{\mathbf{x}}_2=1,{\mathbf{x}}_3=-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(-1)=-1-1+1+1=0$, iar suma rădăcinilor, $1+1-1=1$, este opusul coeficientului lui $X^2$. Capcană: dacă $1$ se numără o singură dată, ar rămâne două rădăcini la un polinom de gradul $3$; factorul $(X-1{)}^2$ le dă lui $1$ multiplicitatea $2$.)

c) (5 p) Din $x_1=1$ rădăcină, $f(1)=0$, adică $$a+b=0\text{(1 p)}.$$ Din $x_2=2$ rădăcină, $f(2)=0$, adică $2^3-2^2+2a+b=0$: $$2a+b=-4\text{(2 p)}.$$ Scăzând prima ecuație din a doua rămâne $a=-4$, iar din $a+b=0$ rezultă $b=4$: $$\mathbf{a}=-4,\mathbf{b}=4\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f=X^3-X^2-4X+4=X^2(X-1)-4(X-1)=(X-1)(X-2)(X+2)$, cu rădăcinile $1$, $2$ și $-2$. Capcană: dacă $2^2$ se citește ca $2$, ecuația $f(2)=0$ devine $6+2a+b=0$, ar ieși $a=-6$, $b=6$, iar $f(2)=8-4-12+6=-2$, nu $0$.)

Exercițiul 9. (15 p) — $x\ln x$.

a) (5 p) Derivata produsului $x\cdot \ln x$: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }\ln x+x(\ln x{)}^{\prime }=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Produsul $x\cdot \frac{1}{x}$ este $1$: $$f^{\prime }(x)=1+\ln \mathbf{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=1+\ln 1=1$. Capcană: derivata produsului nu este produsul derivatelor: $1\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x}$, expresie diferită de $1+\ln x$.)

b) (5 p) Derivata se anulează când $\ln x=-1$, adică în $$f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{1}{e}\text{(2 p)}.$$ Funcția $\ln$ este crescătoare, deci pentru $x\ge \frac{1}{e}$ se are $\ln x\ge \ln \frac{1}{e}=-1$, de unde $f^{\prime }(x)=1+\ln x\ge 0$. Prin urmare $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$ (3 p).

(Probă: $f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}<0=f(1)<e=f(e)$. Capcană: ecuația $\ln x=-1$ nu se rezolvă cu $x=-1$, număr care nu aparține domeniului $(0,+\infty )$.)

c) (5 p) Pe $\left(0,\frac{1}{e}\right]$, $\ln x\le -1$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$, iar $f$ este descrescătoare pe acest interval (3 p). Funcția coboară până în $\frac{1}{e}$ și apoi urcă, conform lui b); minimul este atins în $\frac{1}{e}$: $$f(x)\ge f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln \frac{1}{e}=-\frac{1}{\mathbf{e}},\text{pentru orice}x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f$ nu coboară sub $-\frac{1}{e}$; la capătul din stânga al domeniului, $x\ln x$ tinde la $0$, valoare mai mare decât $-\frac{1}{e}$. Capcană: dacă $\ln \frac{1}{e}$ se citește $1$, produsul $\frac{1}{e}\cdot 1=\frac{1}{e}$ ar fi pozitiv, deci mai mare decât $f(1)=0$, ceea ce contrazice creșterea lui $f$ de la $\frac{1}{e}$ în sus.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitivă și integrale.

a) (5 p) Se derivează $F$ termen cu termen, cu ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$: $$F^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Suma este expresia lui $f$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$; deci $F$ este derivabilă și $${\mathbf{F}}^{\prime }=\mathbf{f}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $F^{\prime }(1)=1+1+1=3=f(1)$. Capcană: dacă semnul lui ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }$ se pierde, rezultă $1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}$, a cărei valoare în $1$ este $1-1+1=1$, nu $3$.)

b) (5 p) Se face substituția $t=x^2$, deci $dt=2xdx$; pentru $x=1$ rezultă $t=1$, iar pentru $x=e$ rezultă $t=e^2$. Factorul $xdx$ este jumătate din $dt$: $${\int }_1^{e}x\cdot f\left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}{\int }_1^{e}f\left(x^2\right)\cdot 2xdx=\frac{1}{2}{\int }_1^{e^2}f(t)dt\text{(3 p)}.$$ Cu primitiva $F$ de la a), calculată între $1$ și $e^2$: $$\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}+\ln t\right){|}_1^{e^2}=\frac{1}{2}\left({\mathbf{e}}^2-\frac{1}{{\mathbf{e}}^2}+2\right)\text{(2 p)},$$ fiindcă $\ln e^2=2$, iar la limita de jos valoarea este $1-1+\ln 1=0$.

(Probă fără substituție: $x\cdot f\left(x^2\right)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}$, cu primitiva $\frac{x^2}{2}+\ln x-\frac{1}{2x^2}$, care între $1$ și $e$ dă $\frac{e^2}{2}+1-\frac{1}{2e^2}$, adică aceeași valoare. Capcană: dacă factorul $\frac{1}{2}$ se uită, rezultatul $e^2-\frac{1}{e^2}+2$ ar fi dublul celui corect.)

c) (5 p) Diferența $f(x)-\frac{1}{x}$ este $1+\frac{1}{x^2}$, cu primitiva $x-\frac{1}{x}$: $${\int }_1^a\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\left(x-\frac{1}{x}\right){|}_1^a=a-\frac{1}{a}\text{(2 p)},$$ fiindcă la limita de jos valoarea este $1-1=0$. Ecuația $a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$ se înmulțește cu $2a$ și devine $2a^2-3a-2=0$, cu discriminantul $9+16=25$ și rădăcinile $\frac{3\pm 5}{4}$: $$a=2\text{sau}a=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Condiția $a>1$ elimină a doua valoare: $$\mathbf{a}=2\text{(1 p)}.$$

(Probă: $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Capcană: dacă primitiva lui $\frac{1}{x^2}$ se ia $+\frac{1}{x}$, ecuația ar fi $a+\frac{1}{a}-2=\frac{3}{2}$, adică $2a^2-7a+2=0$, cu alte rădăcini.)

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă modelul de lucrare pentru Bacalaureatul din 2013 la matematică M_tehnologic (în vorbirea elevilor, „M3"). Foaia are în antet Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului și Centrul Național de Evaluare și Examinare, titlul „Examenul de bacalaureat național 2013, Proba E. c)" și, în dreapta, cuvântul „Model" în locul numărului de variantă. Se adresa filierei tehnologice, cu cele trei profiluri ale ei — servicii, resurse și tehnic — și cu toate calificările profesionale. Enunțurile sunt copiate exact. Rezolvările, probele și ghidajul sunt ale noastre; din documentul oficial de evaluare păstrăm punctele de pe rânduri.

Cum e împărțită lucrarea.

Timpul de lucru efectiv este de 3 ore, adică 180 de minute.

Harta pe clase a cerințelor, după anexa 2 la OMEN 4430/2014, adică programa de examen M_tehnologic:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Ecuația exponențială (cerința 3). La examen, ea ține de clasa a X-a. Programa școlară nouă, începută în 2026–2027 la clasa a IX-a, face ecuațiile pe grafic sau cu mijloace digitale; algebra lor stă pe site în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Combinările (cerința 4). Permutările, aranjamentele și combinările sunt la clasa a X-a în programa de examen; ele figurează la clasa a X-a și în programa școlară nouă, la unitatea „Metode de numărare".

Ce au special aceste subiecte. În documentul oficial sunt 42 de rânduri punctate, nu 36: șase unități au trei rânduri — cerințele 2, 4, 5 și 6, apoi subpunctele 8.c) și 10.c) —, iar în rest sunt câte două. Rândul „Finalizare" apare în document la 7.b), 8.b), 8.c), 9.a) și 10.c); la 7.b) și 9.a) el nu scrie nimic în plus, iar pagina dezvoltă acolo trecerea de la calculul dinainte la rezultat. Cerința 4 folosește notațiile $C_4^2$ și $A_5^2$ ale combinărilor și aranjamentelor. La 7.b) determinantul de ordinul $3$ se calculează cu regula lui Sarrus, iar rezultatul $6\left(x^2-1\right)$ rezolvă și subpunctele a) și c): $\Delta (1)=0$, $\Delta (0)=-6$. La 9.c) minimul lui $f$ rezultă din descreșterea pe $\left(0,\frac{1}{e}\right]$ și din creșterea pe $\left[\frac{1}{e},+\infty \right)$ de la b). La 10.b) substituția $t=x^2$ reduce integrala la primitiva $F$ verificată în a).

Cum lucrezi cu pagina. Întâi încearcă pe ciornă; apoi citește rândurile punctate, nu doar rezultatul. La subpunctele cu rând „Finalizare" compară-ți concluzia cu cea scrisă aici, pentru că acolo documentul oficial nu dă calculul.

Reguli pe subiect.

• Subiectul I. $(u{)}^2=k$ dă $u=\pm \sqrt{k}$ sau, desfăcut, o ecuație de gradul II; abscisa vârfului parabolei $a{x}^2+bx+c$ este $-\frac{b}{2a}$; $a^u=a^v$ cu $a>0$, $a\ne 1$ înseamnă $u=v$; $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ și $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$; în romb, unghiurile alăturate sunt suplementare și laturile sunt egale.
• Subiectul al II-lea. Regula lui Sarrus pentru determinantul de ordinul $3$; $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$; $f(a)=0$ spune că $a$ este rădăcină; un polinom de gradul $3$ cu două rădăcini date duce la un sistem în $a$ și $b$.
• Subiectul al III-lea. $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; $f^{\prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă $f$ crescătoare pe el; dacă $F^{\prime }=f$, atunci $F$ este primitivă; ${\int }_1^{e}g\left(x^2\right)2xdx={\int }_1^{e^2}g(t)dt$.

Despre litere. Patru obiecte poartă litera $f$, câte unul în cerințele 2, 8, 9 și 10: funcția de gradul al II-lea $-x^2+3mx+1$ (graficul ei este parabola din enunț), polinomul $X^3-X^2+aX+b$, funcția $x\ln x$ și funcția $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$. La cerința 4, $C$ și $A$ nu sunt puncte, ci fac parte din notațiile $C_4^2$ (combinări) și $A_5^2$ (aranjamente). Literele $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5, iar $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt vârfurile rombului de la cerința 6; la cerința 7, $A(x)$ este o matrice. Litera $m$ este un parametru real la cerința 2, unde rezolvarea notează cu $a=-1$ și $b=3m$ coeficienții lui $x^2$ și $x$ din formula vârfului; altfel, litera $a$ este un coeficient la cerința 8 și limita de sus a integralei la 10.c), iar litera $b$ este coeficientul liber de la cerința 8. Litera $M$ este mijlocul segmentului $AB$ la cerința 5. Litera $F$ este primitiva de la cerința 10.

Titlurile de mai jos spun „itemul", ca în documentul oficial; în explicații folosim „cerința".