Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2017 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2017 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(1-2\sqrt{3}\right)}^2=20$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x$. Calculați $f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $8^x=4^{2x+1}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $25\%$, prețul unui obiect este $250$ de lei. Calculați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,5)$, $B(1,1)$ și $C(5,5)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 60^{\circ }+\mathrm{tg}45^{\circ }=\cos 30^{\circ }+\mathrm{ctg}45^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 2\\ x& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(3))=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(2017+x)+A(2017-x)=2A(2017)$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det (A(2)+mA(1))=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=2xy+6x+6y+15$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=2(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Arătați că $7\ast 98=2017$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, pentru care $x\ast (x+2)=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1+\frac{1}{x-2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=0$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(2,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=1+\ln x$ și $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x\ln x$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^e\left(f(x)-\ln x\right)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că $F$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{e}f(x)F(x)dx=\frac{e^2}{2}$.

Barem și răspunsuri

Cerințele însumează 90 p, iar oficiul adaugă 10 p: 100 p. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p; la cerințele 7–10, fiecare subpunct de 5 p se împarte în două rânduri. Fiecare „(2 p)” sau „(3 p)” de mai jos corespunde unui rând din documentul oficial al simulării din 2017. Calculele, verificările și observațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — pătrate de numere cu radical.

Formula pătratului unei sume dă $(2+\sqrt{3}{)}^2=4+4\sqrt{3}+3$, deci $${\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=7+4\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ La fel, $(1-2\sqrt{3}{)}^2=1-4\sqrt{3}+12=13-4\sqrt{3}$, iar suma celor două pătrate este $$7+4\sqrt{3}+13-4\sqrt{3}=20\text{(3 p)}.$$

(Verificare: termenii cu radical, $4\sqrt{3}$ și $-4\sqrt{3}$, se anulează, iar $7+13=20$. Greșeală posibilă: se ridică la pătrat fiecare termen separat, $2^2+(\sqrt{3}{)}^2=7$, și se uită dublul produsului, $2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — produs cu un factor nul.

Se înlocuiește $x=3$ în $x^2-3x$: $$f(3)=3^2-3\cdot 3=0\text{(3 p)}.$$ Un produs în care un factor este $0$ este egal cu $0$, deci $$f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)=0\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $f(1)=-2$, $f(2)=-2$ și $f(4)=4$. Greșeală posibilă: se uită factorul $f(3)$ și iese $(-2)(-2)\cdot 4=16$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Bazele se aduc la același număr: $8=2^3$ și $4=2^2$. Puterea $8^x$ ia forma $2^{3x}$, iar în $4^{2x+1}$ exponentul $2x+1$ se dublează, deci apare $2^{4x+2}$. Cele două puteri ale lui $2$ sunt egale, deci și exponenții lor: $$3x=4x+2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{x}=-2$ (2 p).

(Verificare: $8^{-2}=\frac{1}{64}$, iar $4^{2\cdot (-2)+1}=4^{-3}=\frac{1}{64}$. Greșeală posibilă: se scrie $4^{2x+1}=2^{2x+1}$, fără factorul $2$ al exponentului bazei; atunci $3x=2x+1$ dă $x=1$, dar $8^1=8$, iar $4^3=64$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Dacă $p$ este prețul de dinainte de scumpire, scumpirea adaugă $25\%$ din $p$: $$p+\frac{25}{100}\cdot p=250\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{5}{4}p$, deci $p=250\cdot \frac{4}{5}$, adică $\mathbf{p}=200$ de lei (3 p).

(Verificare: $25\%$ din $200$ este $50$, iar $200+50=250$. Greșeală posibilă: se scad $25\%$ din prețul nou; $25\%$ din $250$ este $62,5$, iar $250-62,5=187,5$ nu ajunge la $250$ prin scumpire cu $25\%$, fiindcă $\frac{5}{4}\cdot 187,5=234,375$.)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel în reper cartezian.

Punctele $A(1,5)$ și $B(1,1)$ au aceeași abscisă, deci distanța dintre ele se citește pe verticală: $$AB=\sqrt{(1-1{)}^2+(1-5{)}^2}=4\text{(2 p)}.$$ Punctele $A(1,5)$ și $C(5,5)$ au aceeași ordonată: $AC=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-5{)}^2}=4$. Cum $AB=AC$, triunghiul $ABC$ este isoscel (3 p).

(Verificare: $BC=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-1{)}^2}=4\sqrt{2}$ și $A{B}^2+A{C}^2=16+16=32=B{C}^2$, deci triunghiul este și dreptunghic în $A$. Greșeală posibilă: se compară $AB$ cu $BC$, două laturi diferite, $4\ne 4\sqrt{2}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Unghiurile de $60^{\circ }$ și $30^{\circ }$ sunt complementare, deci sinusul unuia este cosinusul celuilalt: $$\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$ Pentru $45^{\circ }$, tangenta și cotangenta sunt egale cu $1$, deci diferența $\mathrm{tg}45^{\circ }-\mathrm{ctg}45^{\circ }$ este $0$. Adunând termenii egali din cei doi membri, ambii membri valorează $\frac{\sqrt{3}}{2}+1$ și egalitatea este adevărată (3 p).

(Verificare: sinusul unui unghi este cosinusul complementului lui, iar $60^{\circ }+30^{\circ }=90^{\circ }$. Greșeală posibilă: se confundă $\sin 60^{\circ }$ cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, care este diferit de $\frac{\sqrt{3}}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $A(x)$.

a) (5 p) Pentru $x=3$ matricea este $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 3\end{array}\right)$, iar determinantul ei este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $$\det (A(3))=3\cdot 3-3\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$=9-6=3\text{(2 p)}.$$

(Greșeală posibilă: produsele se adună, $3\cdot 3+3\cdot 2=15$.)

b) (5 p) Matricele se scriu explicit și se adună pe poziții; în fiecare sumă, $x$ și $-x$ se reduc: $$A(2017+x)+A(2017-x)=\left(\begin{array}{cc}2017+x& 2\\ 2017+x& 2017+x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2017-x& 2\\ 2017-x& 2017-x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4034& 4\\ 4034& 4034\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scoțând factorul $2$ din toate elementele, matricea este $2\left(\begin{array}{cc}2017& 2\\ 2017& 2017\end{array}\right)=2A(2017)$ pentru orice $x$ real (2 p).

(Greșeală posibilă: se uită că $2$ din colțul din dreapta sus se adună cu el însuși; $2+2=4$, nu $2$.)

c) (5 p) Se calculează $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$ și $mA(1)=\left(\begin{array}{cc}m& 2m\\ m& m\end{array}\right)$, deci suma este $\left(\begin{array}{cc}2+m& 2+2m\\ 2+m& 2+m\end{array}\right)$ și $$\det (A(2)+mA(1))=(2+m)(2+m)-(2+2m)(2+m)=-m(m+2)\text{(3 p)}.$$ Produsul $m(m+2)$ este $0$ pentru $m=0$ sau $m+2=0$, adică $\mathbf{m}=-2$ și $\mathbf{m}=0$ (2 p).

(Verificare: pentru $m=0$ matricea este $\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $4-4=0$; pentru $m=-2$ este $\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 0& 0\end{array}\right)$, cu determinantul $0$. Greșeală posibilă: se uită că $m=0$ este soluție când se simplifică prin $m$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Constanta $15$ se scrie $18-3$, deci $$x\ast y=2xy+6x+6y+18-3\text{(2 p)}.$$ Primii patru termeni se grupează: $2xy+6x+6y+18=2(xy+3x+3y+9)=2(x+3)(y+3)$, de unde $$x\ast y=2(x+3)(y+3)-3,\text{pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $2(x+3)(y+3)-3=2xy+6x+6y+18-3$, adică exact $2xy+6x+6y+15$. Greșeală posibilă: la dezvoltarea produsului celor doi factori se uită termenul $9$.)

b) (5 p) Din forma de la punctul a), cu $x=7$ și $y=98$: $$7\ast 98=2(7+3)(98+3)-3=2\cdot 10\cdot 101-3\text{(3 p)}.$$ $$=2020-3=2017\text{(2 p)}.$$

(Verificare directă: $2\cdot 7\cdot 98+6\cdot 7+6\cdot 98+15=1372+42+588+15=2017$. Greșeală posibilă: se scrie $98-3$ în loc de $98+3$ în al doilea factor.)

c) (5 p) Cu $y=x+2$, forma factorizată dă $x\ast (x+2)=2(x+3)(x+5)-3$. Egalitatea cu $3$ este $$2(x+3)(x+5)-3=3,\text{adica˘}{x}^2+8x+12=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul are rădăcinile $\mathbf{x}=-6$ și $\mathbf{x}=-2$ (2 p).

(Verificare: $(-6)\ast (-4)=2\cdot (-3)\cdot (-1)-3=3$ și $(-2)\ast 0=2\cdot 1\cdot 3-3=3$. Greșeală posibilă: se uită că al doilea factor este $x+5$, nu $x+3$; atunci ecuația ar avea forma unui pătrat egal cu o constantă, cu alte soluții.)

Exercițiul 9. (15 p) — limită, asimptotă, convexitate.

a) (5 p) Raportul de variație din enunț, cu $x\to 3$, este chiar definiția derivatei în punctul $3$, care aparține intervalului $(2,+\infty )$: $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f^{\prime }(3)\text{(2 p)}.$$ Termenul $x+1$ are derivata $1$, iar $\frac{1}{x-2}=(x-2{)}^{-1}$ are derivata $-(x-2{)}^{-2}$, deci pe $(2,+\infty )$ derivata este $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}$. În $3$, numitorul $(3-2{)}^2$ este $1$, deci $f^{\prime }(3)=1-1$, adică $$f^{\prime }(3)=0\text{(3 p)}.$$

(Verificare fără derivată: $f(3)=5$, iar diferența $f(x)-5$ este câtul dintre $(x-3{)}^2$ și $x-2$; raportul din enunț are atunci numărătorul $x-3$ și numitorul $x-2$, deci tinde la $0$ când $x\to 3$. Greșeală posibilă: derivata termenului cu fracție se ia fără semnul minus; atunci în $3$ s-ar obține $1+1=2$, nu $0$.)

b) (5 p) Panta asimptotei oblice se află din raportul dintre $f(x)$ și $x$: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-2)}\right)=1\text{(2 p)}.$$ Termenul liber este limita diferenței $f(x)-x$; aceasta se reduce la $1$ plus fracția $\frac{1}{x-2}$, care tinde la $0$, deci limita este $1$ și asimptota oblică spre $+\infty$ este dreapta $\mathbf{y}=\mathbf{x}+1$ (3 p).

(Verificare: $f(x)-(x+1)=\frac{1}{x-2}$, iar această diferență tinde la $0$ când $x\to +\infty$. Greșeală posibilă: se calculează $n$ ca $\lim f(x)$, care este $+\infty$, nu un număr real.)

c) (5 p) Din $f^{\prime }(x)=1-(x-2{)}^{-2}$, derivând încă o dată, exponentul $-2$ coboară ca factor, iar exponentul scade cu $1$: $$f^{\prime \prime }(x)=-(-2)(x-2{)}^{-3}=\frac{2}{(x-2{)}^3},x\in (2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pe $(2,+\infty )$ diferența $x-2$ este pozitivă, deci și cubul ei, iar $f^{\prime \prime }>0$; funcția $f$ este convexă pe $(2,+\infty )$ (2 p).

(Verificare: $f^{\prime \prime }(3)=\frac{2}{1}=2>0$ și $f^{\prime \prime }(4)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}>0$. Greșeală posibilă: la derivarea puterii cu exponent negativ se uită scăderea exponentului; atunci în $4$ s-ar obține $\frac{2}{(4-2{)}^2}=\frac{1}{2}$, nu $\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu logaritm.

a) (5 p) Diferența $f(x)-\ln x=1+\ln x-\ln x=1$, deci $${\int }_1^e\left(f(x)-\ln x\right)dx={\int }_1^{e}1dx=x{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Diferența valorilor primitivei $x$ în $e$ și în $1$ este $$\mathbf{e}-1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: integrala unei constante $1$ pe un interval este lungimea intervalului $[1,e]$, adică $e-1$. Greșeală posibilă: se calculează ${\int }_1^{e}1dx=e+1$, adunând capetele în loc să le scadă.)

b) (5 p) $F$ este derivabilă pe $(0,+\infty )$, iar derivata produsului $x\ln x$ este suma dintre derivata primului factor înmulțită cu al doilea factor, adică $1\cdot \ln x$, și primul factor înmulțit cu derivata celui de-al doilea, adică $x\cdot \frac{1}{x}$ (3 p). $$F^{\prime }(x)=\ln x+1=f(x),x\in (0,+\infty ),\text{deci }F\text{ este o primitiva˘ a lui }f\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $F(e)-F(1)=e-0=e$, iar ${\int }_1^{e}f(x)dx={\int }_1^e(1+\ln x)dx=(e-1)+(e\ln e-e+1)=e$. Greșeală posibilă: se derivează $x\ln x$ ca produs al derivatelor, $1\cdot \frac{1}{x}$.)

c) (5 p) Din $F^{\prime }=f$ rezultă $f\cdot F=F^{\prime }\cdot F={\left(\frac{1}{2}{F}^2\right)}^{\prime }$, deci o primitivă a produsului este $\frac{1}{2}{F}^2$: $${\int }_1^{e}f(x)F(x)dx=\frac{1}{2}{F}^2(x){|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Valorile sunt $F(e)=e\ln e=e$ și $F(1)=1\cdot \ln 1=0$, deci $$\frac{1}{2}{F}^2(e)-\frac{1}{2}{F}^2(1)=\frac{e^2}{2}-0=\frac{{\mathbf{e}}^2}{2}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: ${\left(\frac{1}{2}{F}^2\right)}^{\prime }=F\cdot F^{\prime }=F\cdot f$. Greșeală posibilă: se uită factorul $\frac{1}{2}$ al primitivei și iese $e^2$, dublul valorii cerute.)

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă simularea de matematică M_tehnologic din anul 2017, toate cele zece cerințe. Foaia poartă titlul „Examenul de bacalaureat național 2017, Proba E. c)”, iar sub numele disciplinei apare „Clasa a XII-a”; în locul unui număr de variantă stă cuvântul „Simulare”. Subiectele se adresează filierei tehnologice, cu toate calificările din profilurile servicii, resurse și tehnic. Sus, antetul numește Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile sunt aduse aici cu semnele foii. Rezolvările, verificările și observațiile sunt ale noastre; din documentul oficial de evaluare am luat doar împărțirea punctelor pe rânduri.

Foaia cere ca toate subiectele să fie rezolvate, trece 10 puncte din oficiu și fixează timpul efectiv de lucru la 3 ore. Fiecare subiect are 30 de puncte. În primul sunt șase cerințe independente, de câte 5 puncte. În al doilea și în al treilea sunt câte două probleme, iar o problemă are trei subpuncte de câte 5 puncte. Fiecare subpunct apare în documentul oficial pe două rânduri; mai jos, un rând se încheie cu „(2 p)” sau cu „(3 p)”.

Harta simulării

Programa de examen M_tehnologic din OMEN 4430/2014, Anexa 2, cuprinde la clasa a XI-a asimptotele graficului și rolul derivatei a doua în convexitate, iar la clasa a XII-a calculul integralelor definite și primitivele uzuale.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are simularea. La cerința 2 un factor al produsului este $0$, deci nu trebuie calculate toate valorile. La cerința 7 literele $x$ și $m$ au roluri diferite: $x$ apare în numele matricei, iar $m$ este parametrul din ecuație. La 8.a) rezultatul nu se află prin calcul cu numere, ci prin gruparea termenilor unei expresii. La 9.a) limita are aspectul unei fracții cu numitor $x-3$ care tinde la $0$ și se identifică drept o derivată. La 10.c) funcția $F$ are derivata $f$, iar produsul $f\cdot F$ devine derivata unui pătrat.

Cifre pentru ritm. Cele zece cerințe valorează 90 de puncte, iar cu oficiul ajung la 100. Primul subiect rezolvat complet, împreună cu cele 10 puncte din oficiu, înseamnă 40 de puncte, adică nota 4.

Cum parcurgi pagina. Încearcă fiecare cerință pe ciornă, apoi compară ce ai scris cu cele două rânduri ale rezolvării. Dacă te blochezi la 8.c), revino la forma factorizată din 8.a); dacă te blochezi la 10.c), caută o funcție a cărei derivată să fie produsul cerut.

Formulele simulării

• Subiectul I. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$; $8=2^3$ și $4=2^2$, iar $2^u=2^v$ implică $u=v$; un obiect scumpit cu $25\%$ costă $p+\frac{25}{100}p$; distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată din suma pătratelor diferențelor coordonatelor corespunzătoare; $\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; produsul $uv$ este $0$ când $u=0$ sau $v=0$; $x\ast y=2(x+3)(y+3)-3$ se obține prin gruparea termenilor.
• Subiectul al III-lea. $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ dacă $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-mx\right)$; $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval înseamnă funcție convexă pe el; ${\left(F^2\right)}^{\prime }=2F{F}^{\prime }$.

Despre litere. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: cea din cerința 2, cea cu fracție din 9 și funcția $1+\ln x$ din 10. Litera $A$ este un punct la 5 și dă numele matricei $A(x)$ la 7, care nu este o funcție numerică. Simbolul $\ast$ este legea de compoziție de la 8; litera $F$ este primitiva de la 10.