Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2015 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2015 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=1$ și $a_3=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x-2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2-x}=\frac{1}{9}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $15\%$, prețul unui obiect este $34$ de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$, $B(-3,2)$ și $C(5,2)$. Calculați lungimea medianei din vârful $A$ al triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\mathrm{tg}30^{\circ }\mathrm{ctg}60^{\circ }+\mathrm{tg}60^{\circ }\mathrm{ctg}30^{\circ }=\frac{10}{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $A\cdot A=xA$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (A+a{I}_2)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy+2x+2y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Calculați $(-2015)\ast (-2)\ast 0\ast 2\ast 2015$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$, știind că numărul $n\ast (-n)$ este natural.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-2}{x+2}$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in (-2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^2-x+1$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1(f(x)+1)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$, știind că ${\int }_0^{n}F(x)dx=\frac{n^3}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctele cerințelor se adună la 90, iar cu cele 10 din oficiu rezultă 100. În documentul oficial, fiecare dintre cerințele 1–6 valorează 5 p, iar fiecare subpunct al cerințelor 7–10 are tot 5 p, împărțite pe două rânduri. Marcajele „(2 p)” și „(3 p)” din rezolvări reproduc rândurile documentului simulării din 2015, în ordinea lor; tot restul textului aparține paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen este media aritmetică a vecinilor săi, deci termenul dintre $a_1$ și $a_3$ rezultă astfel: $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{1+5}{2}=3\text{(3 p)}.$$ Suma celor trei termeni este $1+3+5=9$ (2 p).

(Contraproba: rația este $a_2-a_1=2$, iar $a_3-a_2=2$; suma a trei termeni este de $3$ ori termenul din mijloc, $3\cdot 3=9$. O greșeală apare dacă termenul din mijloc se ia ca $\frac{5-1}{2}=2$: aceasta este rația, nu $a_2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția a două grafice.

Într-un punct comun, cele două funcții au aceeași valoare, deci $f(x)=g(x)$; după ce $2x-2$ trece în stânga, rămâne $x^2-x-2x+2=0$, adică $x^2-3x+2=0$ (3 p). Discriminantul este $9-8=1$, iar $x=\frac{3\pm 1}{2}$ dă abscisele $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Contraproba: $f(1)=0=g(1)$ și $f(2)=2=g(2)$. O greșeală apare dacă $2x$ se adună în loc să se scadă: din $x^2+x-2=0$ ar rezulta $1$ și $-2$, iar $f(-2)=6$, dar $g(-2)=-6$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie $\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2}$, iar două puteri ale lui $3$ sunt egale doar dacă exponenții coincid: $$3^{2-x}=3^{-2}⟺2-x=-2\text{(3 p)}.$$ Din $x=2+2$ rezultă $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Contraproba: $3^{2-4}=3^{-2}=\frac{1}{9}$. O greșeală apare dacă exponentul se ia pozitiv, $3^2$ în loc de $3^{-2}$: atunci $2-x=2$ ar da $x=0$, dar $3^{2-0}=9$, nu $\frac{1}{9}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire cu procent.

Fie $p$ prețul de dinainte de ieftinire. Ieftinirea scade $15\%$ din $p$: $$p-\frac{15}{100}p=34,\text{adica˘}\frac{85}{100}p=34\text{(2 p)}.$$ Rezultă $p=34\cdot \frac{100}{85}=40$ de lei (3 p).

(Contraproba: $15\%$ din $40$ este $6$, iar $40-6=34$. O greșeală apare dacă se adaugă $15\%$ la $34$: atunci s-ar calcula prețul după o scumpire, nu cel de dinainte de ieftinire, iar $34+5,1=39,1\ne 40$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mediana unui triunghi.

Mediana cerută este segmentul $AM$, unde $M$ este mijlocul laturii $BC$. Pentru $B(-3,2)$ și $C(5,2)$, coordonatele lui $M$ sunt semisumele coordonatelor capetelor: $$x_M=\frac{-3+5}{2}=1,y_M=\frac{2+2}{2}=2\text{(2 p)}.$$ Abscisa lui $A(1,4)$ este tot $1$, deci segmentul $AM$ este vertical, iar lungimea lui este diferența ordonatelor: $AM=4-2=2$ (3 p).

(Contraproba: formula distanței dă $\sqrt{0^2+2^2}=2$. O greșeală apare dacă se ia mijlocul altei laturi: mijlocul lui $AC$ este $(3,3)$, iar $A$ se află față de el la distanța $\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile cunoscute sunt $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$ și $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$; expresia devine $$\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Din primul produs rezultă $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, din al doilea $3$, iar adunate dau $\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$ (2 p).

(Contraproba: cotangenta este inversa tangentei, deci $\mathrm{tg}30^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=1$. O greșeală apare dacă se înmulțesc valorile aceluiași unghi: $\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=1+1=2\ne \frac{10}{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Din produsul diagonalei principale, $3\cdot 2$, se scade produsul diagonalei secundare, $6\cdot 1$: $$\det A=3\cdot 2-6\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=6-6=0\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: liniile sunt proporționale, $(3,6)=3\cdot (1,2)$, iar o matrice cu două linii proporționale are determinantul zero. O greșeală apare dacă produsele se adună: $6+6=12$.)

b) (5 p) Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ a produsului se obține înmulțind linia $i$ din primul factor cu coloana $j$ din al doilea, termen cu termen, și adunând rezultatele: poziția $(1,1)$ dă $3\cdot 3+6\cdot 1=15$, poziția $(1,2)$ dă $3\cdot 6+6\cdot 2=30$, poziția $(2,1)$ dă $1\cdot 3+2\cdot 1=5$, iar poziția $(2,2)$ dă $1\cdot 6+2\cdot 2=10$. Rezultă matricea $\left(\begin{array}{cc}15& 30\\ 5& 10\end{array}\right)$, adică $A\cdot A$ (3 p). Matricea obținută are toate elementele de $5$ ori mai mari decât cele ale lui $A$: $A\cdot A=5A$, deci $\mathbf{x}=5$ (2 p).

(Contraproba: $5A=\left(\begin{array}{cc}15& 30\\ 5& 10\end{array}\right)$. O greșeală apare dacă fiecare element se ridică separat la pătrat: pe cele patru poziții ar apărea $9$, $36$, $1$ și $4$, iar acest tablou nu este multiplu de $A$.)

c) (5 p) Matricea $a{I}_2$ adaugă $a$ pe diagonala principală: $$\det (A+a{I}_2)=\left|\begin{array}{cc}3+a& 6\\ 1& 2+a\end{array}\right|=(3+a)(2+a)-6=a^2+5a\text{(3 p)}.$$ Din $a^2+5a=a(a+5)=0$ rezultă $\mathbf{a}=-5$ sau $\mathbf{a}=0$ (2 p).

(Contraproba: pentru $a=0$ se revine la $\det A=0$; pentru $a=-5$, determinantul este $(-2)(-3)-6=0$. O greșeală apare dacă se uită scăderea lui $6$: $(3+a)(2+a)=a^2+5a+6$, iar acest polinom nu se anulează în $0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Constanta $2$ din definiție se scrie ca $4-2$, ca să apară încă un termen care completează produsul: $$x\ast y=xy+2x+2y+4-2\text{(2 p)}.$$ Primii patru termeni se grupează: $xy+2x+2y+4=x(y+2)+2(y+2)=(x+2)(y+2)$, deci $$x\ast y=(x+2)(y+2)-2,\text{pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: dezvoltând $(x+2)(y+2)-2$ se obține $xy+2x+2y+4-2=xy+2x+2y+2$. O greșeală apare dacă se scrie doar $(x+2)(y+2)$: acesta are constanta $4$, nu $2$.)

b) (5 p) Din forma de la a), pentru $y=-2$ factorul $y+2$ este nul: $$x\ast (-2)=(x+2)\cdot 0-2=-2,$$ iar formula legii rămâne aceeași când $x$ și $y$ schimbă rolurile între ele, așa că legea este comutativă și $(-2)\ast y=-2$ pentru orice $y$; numărul $-2$ „absoarbe” orice se compune cu el (3 p). Fiind asociativă, legea permite gruparea termenilor de la stânga la dreapta: $(-2015)\ast (-2)=-2$, apoi $-2\ast 0=-2$, $-2\ast 2=-2$ și $-2\ast 2015=-2$. Rezultatul este $-2$ (2 p).

(Contraproba: $(-2)\ast 0=(-2)\cdot 0+2\cdot (-2)+2\cdot 0+2=-2$, calculat direct din definiție. O greșeală apare dacă $-2$ se crede element neutru: atunci $x\ast (-2)$ ar fi $x$, dar $1\ast (-2)=-2\ne 1$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x=n$ și $y=-n$ în forma de la a): $$n\ast (-n)=(n+2)(-n+2)-2=4-n^2-2=2-n^2\text{(2 p)}.$$ Numărul $2-n^2$ este natural dacă $n^2\le 2$; cum $n$ este natural, $n^2\in \{0,1\}$, adică $\mathbf{n}=0$ sau $\mathbf{n}=1$ (3 p).

(Contraproba: pentru $n=0$ valoarea este $2$, pentru $n=1$ este $1$, ambele naturale; pentru $n=2$ este $-2$, care nu este natural. O greșeală apare dacă se uită că $0$ este număr natural: se păstrează doar $n=1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, asimptotă.

a) (5 p) Regula derivării unui raport este ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$. Pentru $u=x-2$ și $v=x+2$ avem $u^{\prime }=v^{\prime }=1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x+2)-(x-2)\cdot 1}{(x+2{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $(x+2)-(x-2)=4$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{4}{(\mathbf{x}+2{)}^2},x\in (-2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $f(x)=1-\frac{4}{x+2}$, a cărei derivată este $\frac{4}{(x+2{)}^2}$. O greșeală apare dacă diferența din numărător se scrie în ordine inversă: s-ar obține $-4$ în loc de $4$, iar derivata ar fi negativă, deși $f$ crește.)

b) (5 p) Valoarea funcției și panta tangentei în $x=0$: $$f(0)=\frac{0-2}{0+2}=-1,f^{\prime }(0)=\frac{4}{2^2}=1\text{(3 p)}.$$ Tangenta are ecuația $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y+1=x$: $$\mathbf{y}=\mathbf{x}-1\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: punctul de tangență $(0,-1)$ verifică ecuația, fiindcă $0-1=-1$. O greșeală apare dacă numitorul derivatei se scrie $x+2$ în loc de $(x+2{)}^2$: panta ar fi atunci $\frac{4}{2}=2$, nu $1$.)

c) (5 p) Se scoate $x$ factor comun la numărător și la numitor, apoi se simplifică; fracțiile cu $x$ la numitor tind la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-2}{x+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}=1\text{(3 p)}.$$ Graficul se apropie de orizontala $y=1$ când $x\to +\infty$, deci ecuația cerută este $\mathbf{y}=1$ (2 p).

(Contraproba: $f(x)=1-\frac{4}{x+2}$ este mai mică decât $1$ pe tot domeniul și se apropie de $1$. O greșeală apare dacă limita se confundă cu raportul termenilor liberi: $\frac{-2}{2}=-1$, dar $f(100)=\frac{98}{102}$, aproape de $1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitive și integrale.

a) (5 p) Se adună $1$ la $f(x)$: $f(x)+1=2x-1+1=2x$, iar o primitivă a lui $2x$ este $x^2$: $${\int }_0^1(f(x)+1)dx={\int }_0^{1}2xdx=x^2{|}_0^1\text{(2 p)}.$$ $$=1^2-0^2=1\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: sub dreapta $y=2x$, între $x=0$ și $x=1$, se află un triunghi dreptunghic cu catetele $1$ și $2$, de arie $\frac{1\cdot 2}{2}=1$. O greșeală apare dacă se ia primitiva $\frac{x^2}{2}$ și se pierde factorul $2$: s-ar obține $\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Derivata lui $F$ este suma derivatelor termenilor: $(x^2{)}^{\prime }=2x$, $(-x{)}^{\prime }=-1$, iar constanta $1$ are derivata $0$: $$F^{\prime }(x)=2x-1\text{(3 p)}.$$ Derivata lui $F$ coincide cu $f$ în orice punct $x\in \mathbb{R}$, așadar $F$ este o primitivă a lui $f$ (2 p).

(Contraproba: $F$ și $f$ nu sunt egale, fiindcă $F(0)=1$, iar $f(0)=-1$; relația cerută este între derivata lui $F$ și $f$. O greșeală apare dacă se derivează și constanta $1$ ca $1$: ar rezulta $2x$.)

c) (5 p) O primitivă a lui $F$ se obține integrând fiecare termen: $\frac{x^3}{3}$, $-\frac{x^2}{2}$ și $x$ (pentru constanta $1$). Atunci $${\int }_0^{n}F(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^n=\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+n\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $\frac{n^3}{3}$ se reduce la $-\frac{n^2}{2}+n=0$, adică $n^2-2n=0$ și $n(n-2)=0$. Cum $n$ este natural nenul, $\mathbf{n}=2$ (3 p).

(Contraproba: pentru $n=2$ integrala este $\frac{8}{3}-2+2=\frac{8}{3}$, iar $\frac{2^3}{3}=\frac{8}{3}$. O greșeală apare dacă integrala constantei $1$ se lasă $1$: egalitatea ar deveni $-\frac{n^2}{2}+1=0$, cu $n=\sqrt{2}$, care nu este natural.)

Pentru părinți și profesori

Aici se rezolvă foaia de simulare din 2015 la matematică M_tehnologic, cu toate cele zece cerințe. Antetul ei poartă numele Ministerului Educației și Cercetării Științifice și pe cel al Centrului Național de Evaluare și Examinare; sub titlul probei scrie „Clasa a XII-a”, iar în subsol „Simulare pentru clasa a XII-a”. Foaia era pentru elevii filierei tehnologice: profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului, tehnic. În acte disciplina se numește Matematică M_tehnologic, iar în conversațiile din școli apare și ca „M3”. Cerințele sunt copiate din foaie, cu punctuația ei. Rezolvările, probele și comentariile aparțin paginii; documentul oficial de evaluare a dat numai felul în care cele 5 puncte ale fiecărui subpunct se împart pe rânduri.

Cum se împarte punctajul. Lucrarea totalizează 100 de puncte: 90 vin din cerințe, iar 10 sunt din oficiu. Subiectele sunt trei, de câte 30 de puncte fiecare. Primul adună șase cerințe scurte de câte 5 puncte; celelalte două sunt făcute din câte două probleme, fiecare cu trei subpuncte de 5 puncte. Durata este de 3 ore de lucru efectiv. Fiecare cerință din Subiectul I și fiecare subpunct din celelalte două are în documentul oficial câte două rânduri, iar mai jos ele se recunosc după marcajele „(2 p)” și „(3 p)”, puse în aceeași ordine ca în document.

Cerințele, cu clasa la care le așază programa de examen M_tehnologic (Anexa 2 la OMEN 4430/2014, reperul comun al acestei arhive):

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are în plus simularea aceasta. Foaia nu are niciun polinom: Subiectul al II-lea combină matricele cu o lege de compoziție. La 8.b) asociativitatea este dată chiar în enunț, așa că parantezele se pot pune oriunde printre cei cinci termeni; rămâne de găsit un număr care „înghite” tot ce se compune cu el. La 10.c) necunoscuta nu stă în integrand, ci în limita de sus a integralei, iar ecuația ajunge la un polinom în $n$. Cerința 4 are două rânduri, 2 p + 3 p; unele foi din arhivă o împart în trei rânduri.

Cifre pentru ritm. Cele 3 ore acoperă 90 de puncte, deci rezultă 2 minute pe punct: 10 minute pentru o cerință de 5 puncte și 30 de minute pentru o problemă de 15 puncte. Dacă un elev adună 63 de puncte din cerințe, cu cele 10 din oficiu ajunge la 73 de puncte, adică nota 7,3.

Cum o lucrezi. Încearcă fiecare cerință singur; abia apoi deschide rezolvarea și citește rândurile de sus în jos, până la contraproba din paranteză. Dacă rămâi blocat la 8.b), caută un număr $a$ cu proprietatea $x\ast a=a$ pentru orice $x$; dacă rămâi blocat la 10.c), verifică pe rând $n=1$, $n=2$ și $n=3$ în ecuația obținută.

Ce se folosește.

• Subiectul I. O progresie aritmetică are aceeași diferență între termenii vecini. Procentul se socotește din valoarea de dinainte de modificare. Mediana pornește dintr-un vârf și ajunge la mijlocul laturii din față. Tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt numere inverse.
• Subiectul al II-lea. La o matrice $2\times 2$, determinantul cere câte o înmulțire pe fiecare diagonală, apoi o scădere: rezultatul diagonalei care coboară spre dreapta minus rezultatul celeilalte; legea $x\ast y$ capătă o formă cu două paranteze dacă la ea se adaugă și se scade aceeași constantă.
• Subiectul al III-lea. Numărătorul derivatei unui raport este $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$, iar numitorul este $v^2$; panta tangentei într-un punct este derivata în punctul acela; $F$ este primitivă a lui $f$ atunci când derivata lui $F$ coincide cu $f$.

Despre litere. Cuvântul „itemul” din titlurile de mai jos numește pur și simplu o cerință. Litera $f$ revine cu trei sensuri: o funcție de gradul al doilea la 2 (cu graficul o parabolă), un raport la 9 și o funcție de gradul întâi la 10 (cu graficul o dreaptă). Litera $A$ este o matrice la 7, iar la 5 este un vârf de triunghi. Litera $F$ de la 10 este o a doua funcție, o primitivă a lui $f$ (o arată 10.b). Litera $x$ este variabila funcțiilor, dar la 7.b) numește un număr real necunoscut; alte necunoscute sunt $a$ (număr real) la 7.c) și $n$ (număr natural) la 8.c) și 10.c), iar $p$ de la 4 este prețul inițial.