Citești graficul: agenda salonului, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un grafic bine citit îți arată în câteva secunde ce dintr-un tabel ai afla în zece minute: când e aglomerat și când se liniștește. Lecția de clasa a IX-a, scrisă pentru filiera tehnologică, te învață să citești graficul unei funcții ca pe o agendă de lucru: valorile, intersecțiile cu axele, monotonia, maximul și minimul. O parte din ce înveți aici apare și la Bacalaureatul M3, la Subiectul I.

Situația de pornire

Alina conduce un salon de coafură și manichiură cu patru posturi de lucru, deschis sâmbăta între 8:00 și 20:00. Aplicația de programări notează la fiecare oră câți clienți sunt în salon: cei aflați la tuns, la vopsit sau la manichiură, plus cei care așteaptă. Tabelul arată o sâmbătă obișnuită; aplicația numără orele de la deschidere: $x = 0$ înseamnă 8:00, $x = 1$ înseamnă 9:00 și tot așa până la $x = 12$ , adică 20:00.

Ore de la deschidere, $x$ (h)	Clienți în salon, $f (x)$
0	2
1	4
2	6
3	9
4	6
5	3
6	5
7	7
8	10
9	6
10	4
11	2
12	0

Alina plătește cu ora o coafoare în plus și o cheamă numai când sunt în salon cel puțin 6 clienți. Aplicația a unit punctele din tabel prin segmente și a desenat graficul de mai jos.

Întrebare: în ce intervale ale zilei sunt în salon cel puțin 6 clienți, adică atunci când are Alina nevoie de coafoarea în plus?

De la situație la model

În situație	În matematică
orele trecute de la deschidere	argumentul $x$ , pe axa orizontală $O x$
numărul de clienți din salon	valoarea funcției, $f (x)$ , pe axa verticală $O y$
clienții din salon la deschidere, la 8:00	intersecția cu $O y$ : punctul $(0; f (0))$
momentul în care salonul se golește	intersecția cu $O x$ : punctul $(x_{0}; 0)$ , cu $f (x_{0}) = 0$
„cel puțin 6 clienți”	punctele graficului de pe dreapta $y = 6$ sau de deasupra ei

Fiecărui moment $x$ îi corespunde un singur număr de clienți, $f (x)$ : avem o funcție $f$ , iar graficul ei este mulțimea punctelor $(x; f (x))$ desenate într-un reper, adică linia frântă din figură. Coordonatele se citesc ca în lecția despre reperul cartezian: întâi abscisa, apoi ordonata. Graficul există doar pentru $x \in [0; 12]$ .

Cum afli valoarea la o oră dată și ora la o valoare dată?

Pentru valoarea de la ora $a$ , pornești de pe $O x$ din punctul $a$ , mergi pe verticală până la grafic și apoi orizontal până la $O y$ . La 18:00, adică la $x = 10$ , graficul are înălțimea 4: $f (10) = 4$ clienți.

Pentru ora la care se atinge o valoare $m$ , faci invers: pornești de pe $O y$ din punctul $m$ și mergi pe orizontala $y = m$ , notând toate locurile în care ea taie graficul. Aceeași valoare poate reveni: 3 clienți sunt la $x = 0, 5$ , la $x = 5$ și la $x = 10, 5$ . Dacă două grafice sunt pe aceleași axe, în punctul lor comun avem $f (x) = g (x)$ : abscisa spune când sunt egale, ordonata spune cât sunt.

Unde taie graficul axele?

Axa $O y$ este verticala momentului de deschidere, $x = 0$ . Pe ea graficul are un singur punct, $(0; f (0))$ ; în salon $f (0) = 2$ : la 8:00 sunt deja 2 clienți. Axa $O x$ este orizontala „salon gol”, $y = 0$ . Aici cauți toate momentele $x_{0}$ cu $f (x_{0}) = 0$ ; un asemenea $x_{0}$ se numește zeroul funcției. Salonul are unul singur, $x_{0} = 12$ : se golește la 20:00. Altă funcție poate avea mai multe zerouri sau niciunul, iar când $0$ nu e în domeniu, graficul ei nu ajunge pe $O y$ .

Când ai formula, nu mai citești din ochi, ci calculezi: pe $O y$ pui $x = 0$ și obții $f (0)$ , iar pe $O x$ rezolvi $f (x) = 0$ , cum vei face la funcția de gradul I. Răspunsul e un punct, cu două coordonate: $(0; 2)$ , nu doar 2.

Când crește, când scade și ce valori ia graficul?

Funcția este strict crescătoare pe un interval dacă, oricare ar fi două momente $x_{1} < x_{2}$ din el, $f (x_{1}) < f (x_{2})$ : graficul urcă de la stânga la dreapta. Dacă $f (x_{1}) > f (x_{2})$ , este strict descrescătoare. Când admiți și egalitatea, $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ , spui doar crescătoare; pe un segment orizontal funcția este constantă. Aici funcția crește pe $[0; 3]$ și pe $[5; 8]$ și scade pe $[3; 5]$ și pe $[8; 12]$ .

Valoarea maximă a unei funcții este cea mai mare valoare pe care o ia: aici 10 clienți, la 16:00. Vârful de la $x = 3$ , cu 9 clienți, e mai înalt decât vecinii lui, dar nu decât tot graficul: $x = 3$ e un punct de maxim local, iar $x = 5$ , cu 3 clienți, unul de minim local. Cea mai mică valoare este 0, la $x = 12$ . Maximul este o valoare; ora la care apare, $x = 8$ , este punctul de maxim.

Mulțimea valorilor funcției este mulțimea numerelor pe care le citești pe $O y$ în dreptul graficului. Linia nu se întrerupe, deci mulțimea valorilor este $[0; 10]$ , iar funcția este mărginită.

Programa mai cere să recunoști pe grafic trei lucruri: o curbă care se apropie de o dreaptă fără s-o atingă (comportament asimptotic, pe care îl vei întâlni la funcțiile-raport din lecția despre randament), creșterea exponențială, tot mai rapidă, cu același procent la fiecare pas, și scara logaritmică, pe care fiecare linie principală valorează de 10 ori cât cea de dedesubt.

Metoda pas cu pas

Citește axele. Află ce măsoară $O x$ și ce măsoară $O y$ , în ce unități, cât valorează o linie de caroiaj și între ce valori ale lui $x$ există graficul.
Tradu întrebarea. Hotărăște ce ți se cere: o valoare $f (a)$ , ora la care se atinge o valoare $m$ , intersecția cu o axă, creșterea sau scăderea, maximul sau minimul, mulțimea valorilor, punctul comun a două grafice.
Citește sau calculează. Pentru $f (a)$ folosești verticala $x = a$ ; pentru „când?”, orizontala $y = m$ , cu toate punctele ei comune cu graficul. Pentru axe citești punctul de pe grafic sau, dacă ai formula, calculezi $f (0)$ pe $O y$ și rezolvi $f (x) = 0$ pe $O x$ .
Scrie răspunsul complet. Alege ce ți se cere, argumentul (ora) sau valoarea (clienții), și pune unitatea de măsură. Un punct de pe o axă îl scrii ca pereche de coordonate.
Verifică. Înlocuiește în formulă sau în tabel și vezi dacă punctul citit chiar e pe grafic. Compară rezultatul cu ordinul de mărime al situației și cu unitatea.

Ce faci când valoarea căutată cade între două puncte din tabel, de pildă la 14:30? Între ele graficul este un segment, deci valoarea se află proporțional: la jumătatea intervalului, creșterea este jumătate din cea totală. Citirea e bună numai dacă mărimea se schimbă uniform între cele două măsurători, cum a presupus aplicația când a unit punctele. Ordinea pașilor contează: cine sare peste pasul 1 pune unitatea greșită, cine sare peste pasul 2 răspunde la altă întrebare decât cea pusă, iar cine sare peste pasul 5 nu mai prinde o citire alunecată cu o linie de caroiaj.

Fișa de buzunar

$f (a) = b ⟺ punctul (a; b) este pe grafic$

$pe O y : (0; f (0)) pe O x : (x_{0}; 0), cu f (x_{0}) = 0$

Se aplică numai valorilor lui $x$ din domeniul funcției: dacă $0$ nu e în domeniu, graficul nu taie $O y$ . Maximul este o valoare, pe $O y$ , iar punctul de maxim este un argument, pe $O x$ . Verificare rapidă: înlocuiește coordonatele citite în formulă sau în tabel; dacă egalitatea nu iese, ai citit greșit.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Orele de vârf din salon

Domeniu: infrumusetare.

Enunț. Folosește graficul din situația de pornire. a) Câți clienți sunt în salon la 11:00 și la 14:30? b) La ce ore sunt exact 6 clienți? c) În ce intervale sunt cel puțin 6 clienți și cât durează ele, în total? d) Care este valoarea maximă și când se atinge?

Rezolvare. a) Ora 11:00 înseamnă $x = 3$ , iar din tabel $f (3) = 9$ clienți. Ora 14:30 înseamnă $x = 6, 5$ , la jumătatea segmentului dintre $x = 6$ și $x = 7$ , unde graficul urcă de la 5 la 7 clienți: $f (6, 5) = 5 + 1 = 6$ clienți.

b) Orizontala $y = 6$ taie graficul în $(2; 6)$ , $(4; 6)$ și $(9; 6)$ , puncte din tabel, și în $(6, 5; 6)$ , între două puncte din tabel. Orele sunt 10:00, 12:00, 14:30 și 17:00.

c) Graficul stă pe orizontală sau deasupra ei pentru $x \in [2; 4]$ și pentru $x \in [6, 5; 9]$ , adică $(4 - 2) + (9 - 6, 5) = 2 + 2, 5 = 4, 5$ ore: de la 10:00 la 12:00 și de la 14:30 la 17:00.

d) Cel mai înalt punct este $(8; 10)$ : maximul este de 10 clienți, la 16:00.

Capcană. Dacă te oprești după primele două întâlniri cu orizontala, pierzi jumătate din răspuns: dreapta taie graficul de patru ori.

Verificare. Sub 6 clienți sunt intervalele $[0; 2)$ , $(4; 6, 5)$ și $(9; 12]$ , în total $2 + 2, 5 + 3 = 7, 5$ ore, iar $4, 5 + 7, 5 = 12$ ore, cât durează programul.

Exemplul 2 — Două soiuri de căpșuni

Domeniu: agricol.

Enunț. Un fermier culege căpșuni din două soiuri, A și B. Cantitatea culeasă pe zi, în kg, la $x$ zile după 1 iunie, are pentru A graficul prin punctele $(0; 34)$ , $(2; 30)$ , $(4; 22)$ , $(6; 10)$ și $(8; 4)$ , iar pentru B graficul prin punctele $(0; 2)$ , $(2; 6)$ , $(4; 12)$ , $(6; 20)$ și $(8; 22)$ . Culegătorii trec pe B când acesta dă cel puțin cât A. a) În ce zi dau soiurile aceeași cantitate și cât este ea? b) Pe ce interval dă A mai mult decât B?

Rezolvare. a) Graficele se taie o singură dată, între $x = 4$ și $x = 6$ : la $x = 4$ A dă cu 10 kg mai mult, la $x = 6$ B dă cu 10 kg mai mult, iar pe segmente diferența se schimbă uniform, deci se anulează la mijloc, la $x = 5$ . Punctul comun este $(5; 16)$ : pe 6 iunie fiecare soi dă 16 kg. b) Până la $x = 5$ graficul lui A stă deasupra, apoi trece dedesubt: A dă mai mult pe $[0; 5)$ , iar culegătorii trec pe B din ziua 5.

Capcană. La „în ce zi?” răspunsul este $x = 5$ , adică 6 iunie, abscisa punctului comun, nu 16 kg, ordonata lui.

Verificare. La mijlocul segmentelor, A dă $\frac{22 + 10}{2} = 16$ kg și B dă $\frac{12 + 20}{2} = 16$ kg: aceeași cantitate.

Exemplul 3 — Puterea consumată într-o hală

Domeniu: electric.

Enunț. Contorul unei hale notează puterea consumată, în kW, la $x$ ore după pornirea utilajelor, la 6:00. Graficul este linia frântă prin $(0; 34)$ , $(2; 58)$ , $(3; 82)$ , $(5; 46)$ , $(8; 67)$ și $(10; 35)$ . Puterea contractată cu furnizorul este de 70 kW; peste ea se plătește depășire. a) Care este puterea maximă, în kW și în W, și la ce oră a zilei apare? b) Între ce ore ale zilei depășește puterea consumată puterea contractată? Scrie orele în ore și minute. c) Ce putere consumă hala la 10:00 și la 12:00?

Rezolvare. a) Cel mai înalt punct este $(3; 82)$ : puterea maximă este de 82 kW, adică $82 \cdot 1000 = 82000$ W, la $x = 3$ , adică la ora 9:00.

b) Orizontala $y = 70$ taie graficul de două ori. De la $(2; 58)$ la $(3; 82)$ puterea urcă cu 24 kW pe oră, deci atinge 70 kW după o jumătate de oră, la $x = 2, 5$ , adică la 8:30. De la $(3; 82)$ la $(5; 46)$ scade cu 18 kW pe oră, iar de la 82 la 70 sunt 12 kW, deci trece $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ de oră: $x \approx 3, 67$ . Partea zecimală se transformă în minute: $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ , deci 3 h 40 min după 6:00, adică la 9:40. Consumul depășește 70 kW între 8:30 și 9:40, adică 1 h 10 min.

c) Ora 10:00 înseamnă $x = 4$ , iar $f (4) = 82 - 18 = 64$ kW. Ora 12:00 înseamnă $x = 6$ : de la $(5; 46)$ la $(8; 67)$ puterea urcă cu 7 kW pe oră, deci $f (6) = 46 + 7 = 53$ kW.

Capcană. Numărul $3, 67$ h nu înseamnă „3 h 67 min”: o oră are 60 de minute, deci partea zecimală se înmulțește cu 60.

Verificare. După-amiaza maximul este 67 kW, sub 70 kW, deci nu apare o a doua depășire; iar $1 kW = 1000 W$ .

Exemplul 4 — Cerința din probe, în stilul Bac M3

Domeniu: zootehnie.

Enunț. (În stilul Bac M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2400 - 80 x$ . Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axele de coordonate. Dacă $x$ este numărul de zile, iar $f (x)$ stocul de furaj din silozul unei ferme, în kg, spuneți ce înseamnă fiecare punct.

Rezolvare. Pe axa $O y$ avem $x = 0$ , deci $f (0) = 2400 - 80 \cdot 0 = 2400$ , iar punctul este $(0; 2400)$ . Pe axa $O x$ avem $f (x) = 0$ , adică $2400 - 80 x = 0$ , deci $x = 30$ , iar punctul este $(30; 0)$ . În meserie, $(0; 2400)$ spune că în ziua 0 silozul are 2400 kg, iar $(30; 0)$ spune că, la 80 kg pe zi, se golește după 30 de zile.

Capcană. Cerința cere coordonatele, deci fiecare punct are două numere. Dacă scrii doar $x = 30$ , lipsește $y = 0$ și răspunsul rămâne incomplet.

Verificare. $f (30) = 2400 - 80 \cdot 30 = 0$ , iar $80 \cdot 30 = 2400$ kg consumați în 30 de zile sunt chiar stocul de la început.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Graficul funcției $f : [0; 8] \to R$ unește, în ordine, punctele $(0; 7)$ , $(2; 3)$ , $(4; 5)$ , $(6; 9)$ și $(8; 7)$ . Citește $f (4)$ și $f (8)$ , apoi minimul și maximul funcției, cu valorile lui $x$ la care se ating.

2. Graficul funcției $g : [0; 8] \to R$ unește, în ordine, punctele $(0; 10)$ , $(3; 4)$ , $(6; 4)$ și $(8; 12)$ . Determină valorile lui $x$ pentru care $g (x) = 8$ și mulțimea valorilor lui $x$ pentru care $g (x) = 4$ .

3. Determină punctele de intersecție cu axele ale graficului fiecărei funcții: a) $f (x) = 13 x - 117$ ; b) $g (x) = - 0, 6 x + 4, 2$ ; c) $h (x) = (x - 6) (x + 11)$ .

4. Graficul unei funcții unește, în ordine, punctele $(- 4; 7)$ , $(- 1; 1)$ , $(2; 5)$ , $(6; 5)$ și $(8; - 3)$ . Scrie intervalele pe care funcția crește, scade sau este constantă.

Nivelul 2 — situații

5. Un service auto are panouri solare. Într-o zi senină de septembrie, la $x$ ore după ora 7, panourile produc puterea din graficul prin $(0; 0)$ , $(2; 6)$ , $(4; 12)$ , $(6; 15)$ , $(8; 12)$ , $(10; 6)$ și $(12; 0)$ , iar service-ul consumă puterea din graficul prin $(0; 5)$ , $(2; 6)$ , $(6; 7)$ , $(10; 6)$ și $(12; 8)$ , ambele în kW. a) La ce ore ale zilei produc panourile exact cât consumă service-ul? b) Între ce ore acoperă panourile tot consumul?

6. La o stație hidrometrică, nivelul apei unui râu, în cm, în ziua $x$ a unei viituri, este dat de graficul prin punctele $(0; 164)$ , $(1; 197)$ , $(2; 280)$ , $(3; 332)$ , $(4; 280)$ , $(5; 231)$ și $(6; 176)$ . Cota de atenție este 280 cm. a) Între ce zile este nivelul cel puțin la cota de atenție? b) Cât era în ziua 0, în punctul de pe axa $O y$ ? c) Cu câți cm și cu câți m a crescut între zilele 1 și 2?

7. Cheresteaua de stejar pentru o pergolă se usucă într-un uscător; umiditatea ei, în procente, la $x$ zile de la intrare, este dată de graficul prin punctele $(0; 34)$ , $(5; 27)$ , $(10; 22)$ , $(15; 18)$ și $(20; 16)$ . Se poate monta când umiditatea este cel mult 18 %. a) În ce zi ajunge la 18 %? b) Care este mulțimea valorilor umidității? c) În care interval de 5 zile scade cel mai repede și cu câte puncte procentuale?

8. Ocuparea unei pensiuni, în procente din camere, în luna $x$ (luna 1 este ianuarie), este dată de graficul prin punctele $(1; 22)$ , $(3; 28)$ , $(5; 37)$ , $(7; 79)$ , $(8; 96)$ , $(10; 58)$ și $(12; 41)$ . a) În ce lună este ocuparea maximă? b) Între ce luni este de cel puțin 58 %? c) Pe ce interval crește?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 9 x - 54$ . Aflați coordonatele punctului în care graficul funcției $f$ intersectează axa $O x$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{2} - 3 x - 48$ . Aflați coordonatele punctului în care graficul funcției $f$ intersectează axa $O y$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 21 x + 80$ . Calculați distanța dintre punctele în care graficul funcției $f$ intersectează axa $O x$ .

12. (Sinteză.) O brutărie începe ziua cu 180 kg de făină și o consumă în ritm constant, până se golește după 9 ore. Stocul $f (x)$ , în kg, după $x$ ore, este o funcție afină al cărei grafic taie axa $O y$ în $(0; 180)$ și axa $O x$ în $(9; 0)$ . a) Scrie formula lui $f (x)$ . b) Câte kg mai sunt după 5 ore? c) Pe ce interval sunt cel puțin 60 kg?

Răspunsuri și verificări

1. $f (4) = 5$ , $f (8) = 7$ ; minimul este 3, la $x = 2$ , maximul este 9, la $x = 6$ . Verificare: extremele unui grafic din segmente sunt în vârfuri, iar 3 și 9 sunt cea mai mică și cea mai mare ordonată dată.

2. $g (x) = 8$ pentru $x = 1$ și $x = 7$ ; $g (x) = 4$ pentru orice $x \in [3; 6]$ . Verificare: $10 - 2 \cdot 1 = 8$ și $4 + 4 \cdot 1 = 8$ , iar segmentul de la 3 la 6 este orizontal, la înălțimea 4.

3. a) $(0; - 117)$ și $(9; 0)$ . b) $(0; 4, 2)$ și $(7; 0)$ . c) $(0; - 66)$ , $(6; 0)$ și $(- 11; 0)$ . Verificare: $f (9) = 0$ , $g (7) = 0$ , $h (6) = 0$ și $h (- 11) = 0$ , fiindcă un factor nul anulează produsul.

4. Scade pe $[- 4; - 1]$ și pe $[6; 8]$ , crește pe $[- 1; 2]$ , este constantă pe $[2; 6]$ . Verificare: valorile scad de la 7 la 1, cresc la 5, rămân 5, apoi scad la $- 3$ .

5. a) La 9:00 și la 17:00, adică la $x = 2$ și $x = 10$ : ambele grafice trec prin $(2; 6)$ și $(10; 6)$ . b) Între 9:00 și 17:00, pe $[2; 10]$ . Verificare: la $x = 6$ panourile dau 15 kW față de 7 kW consumați, iar la $x = 1$ , 3 kW față de $5, 5$ kW.

6. a) Pe $[2; 4]$ . b) 164 cm. c) $280 - 197 = 83$ cm, adică $0, 83$ m. Verificare: în zilele 2 și 4 nivelul este exact 280 cm, iar în ziua 3 este 332 cm.

7. a) În ziua 15. b) $[16; 34]$ , în procente. c) În primele 5 zile, cu 7 puncte procentuale, de la 34 % la 27 %. Verificare: apoi scade cu 5, cu 4 și cu 2 puncte procentuale, iar $7 > 5 > 4 > 2$ .

8. a) În luna 8, cu 96 %. b) Între lunile 6 și 10, adică pe $[6; 10]$ . c) Pe $[1; 8]$ . Verificare: între lunile 5 și 7 ocuparea urcă cu 21 de puncte pe lună, deci în luna 6 este $37 + 21 = 58$ %.

9. Punctele axei $O x$ au ordonata 0, deci rezolvăm $f (x) = 0$ . Din $9 x - 54 = 0$ obținem $x = 6$ , deci punctul este $(6; 0)$ . Verificare: $f (6) = 9 \cdot 6 - 54 = 0$ .

10. Punctele axei $O y$ au abscisa 0, deci calculăm $f (0)$ . $f (0) = 5 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 48 = - 48$ , deci punctul este $(0; - 48)$ . Verificare: termenul liber, $- 48$ , este chiar valoarea de la $x = 0$ .

11. Rezolvăm $f (x) = 0$ , adică $x^{2} - 21 x + 80 = 0$ . Descompunem: $x^{2} - 21 x + 80 = (x - 5) (x - 16)$ , deci $x = 5$ sau $x = 16$ , iar punctele sunt $(5; 0)$ și $(16; 0)$ . Distanța dintre ele este $16 - 5 = 11$ . Verificare: $f (5) = 25 - 105 + 80 = 0$ și $f (16) = 256 - 336 + 80 = 0$ .

12. a) Panta este $\frac{0 - 180}{9 - 0} = - 20$ , deci $f (x) = 180 - 20 x$ . b) $f (5) = 180 - 20 \cdot 5 = 80$ , adică 80 kg de făină. c) Din $180 - 20 x \geq 60$ obținem $x \leq 6$ , deci pe $[0; 6]$ . Verificare: $f (9) = 0$ și $f (6) = 180 - 120 = 60$ .

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3, ce citești pe grafic apare calculat. În probele oficiale 2013–2026, tema din această lecție a apărut în 8 probe, de fiecare dată la Subiectul I, cerința 2: pentru o funcție dată prin formulă se cer coordonatele punctului în care graficul taie o axă, abscisele punctelor de pe $O x$ sau distanța dintre ele.

Modelul 2017 cere punctul în care graficul unei funcții de gradul I taie axa $O y$ , iar baremul oficial dă 3 p pentru $f (0)$ și 2 p pentru coordonatele punctului: Modelul din 2017, Subiectul I, exercițiul 2. Ce se cere: calculezi $f (0)$ și scrii punctul ca pereche. Pasul din Metodă: pasul 3, cu $x = 0$ , apoi pasul 4.

Rezerva din august 2014 cere punctul în care graficul unei funcții de gradul I taie axa $O x$ , iar baremul dă 3 p pentru ecuația $f (x) = 0$ și 2 p pentru coordonatele punctului: August 2014, rezervă, Subiectul I, exercițiul 2. Ce se cere: rezolvi ecuația și scrii punctul cu ordonata 0. Pasul din Metodă: pasul 3, cu $f (x) = 0$ .

Simularea 2019 cere distanța dintre punctele în care graficul unei funcții de gradul al doilea taie axa $O x$ , iar baremul dă 3 p pentru rezolvarea ecuației $f (x) = 0$ și 2 p pentru distanța cerută: Simularea din 2019, Subiectul I, exercițiul 2. Ce se cere: rezolvi ecuația, cu două soluții, și scazi abscisele. Pasul din Metodă: pasul 3 pentru zerouri, pasul 4 pentru răspunsul cerut; la ecuație te ajută descompunerea în factori sau lecția despre funcția de gradul al doilea.

Programa de examen așază asimptotele abia în clasa a XI-a; lectura pe scări logaritmice nu este în programa de examen.

Greșeli care costă puncte

Răspunzi cu ordonata când se cere abscisa, sau invers. → Cum o prinzi: pune unitatea; la „când?” răspunsul e o oră sau o zi, nu clienți sau kilograme.
Te oprești la prima întâlnire cu orizontala $y = m$ . → Cum o prinzi: urmărește dreapta până la capătul graficului.
Scrii un singur număr când se cer coordonatele unui punct de pe o axă. → Cum o prinzi: răspunsul e o pereche $(a; b)$ cu un număr 0; la cerințele cu coordonate de mai sus, ultimele două puncte se dau pentru perechea scrisă complet.
Încurci valoarea maximă cu punctul de maxim: „maximul este 16:00”. → Cum o prinzi: valoarea se citește pe $O y$ , ora pe $O x$ .
La ecuația de gradul al doilea $f (x) = 0$ iei o singură soluție. → Cum o prinzi: numără soluțiile și verifică în $f$ fiecare soluție.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, lectura grafică face parte din programa de examen doar în parte: intersecția cu axele, monotonia, mărginirea și ecuațiile $f (x) = g (x)$ se cer, asimptotele la clasa a XI-a, scările logaritmice deloc. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 8 probe.

Întrebări frecvente

Ce răspund când graficul atinge aceeași valoare de mai multe ori?

Scrii toate valorile lui $x$ în care orizontala $y = m$ taie graficul. În salon, valoarea 6 apare la 10:00, 12:00, 14:30 și 17:00. Dacă orizontala coincide cu un segment, răspunsul este un interval întreg, ca la $g (x) = 4$ din exercițiul 2.

La întrebarea „cât e maximul?” răspund cu ora sau cu numărul de clienți?

Cu numărul de clienți: maximul este o valoare, pe axa $O y$ . Ora la care apare este punctul de maxim și răspunde la „când?”. Dacă ți se cer amândouă, scrie ambele cu unitățile lor: 10 clienți, la 16:00.

Ce fac când punctul căutat cade între două linii ale caroiajului?

Citești aproximativ și scrii ca estimare, apoi verifici: între două puncte din tabel graficul este un segment, deci poți calcula proporțional. La 14:30, jumătatea creșterii de la 5 la 7 clienți dă exact 6 clienți.

Se cere citirea unui grafic la Bacalaureatul M3?

În forma ei calculată, da: în 8 din cele 83 de probe oficiale, cerința 2 de la Subiectul I cere intersecția graficului cu o axă, pentru o funcție dată prin formulă. Metoda din lecție, cu $f (0)$ pe $O y$ și $f (x) = 0$ pe $O x$ , le acoperă pe toate.

Ce fac dacă graficul nu taie una dintre axe?

Atunci nu există punct de intersecție cu acea axă și o spui direct, cu motivul: $0$ nu face parte din domeniu sau ecuația $f (x) = 0$ nu are soluții. Un răspuns „nu există”, cu motiv, este complet. Traseul clasei îl găsești pe pagina clasei a IX-a pentru tehnologic.