Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2015 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2015 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că media geometrică a numerelor $a=16$ și $b=9$ este egală cu $12$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2)=0$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x+1}=3^5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să fie multiplu de $2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,3)$ și $B(5,3)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin x=\frac{1}{2}$, știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}-4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $C(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-5$.

b) (5 puncte) Arătați că $\det \left(A+C(-1)\right)=\det B$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $C(x)\cdot A-A\cdot C(x)=B$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2-6X+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^2+3X-3$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x_1+x_2+x_3+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=0$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-x^3}{x}$.

c) (5 puncte) Arătați că $-1\le f(x)\le 3$, pentru orice $x\in [-1,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=5$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^2+\ln x+2015$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-2x$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). Rândurile punctate urmează documentul oficial al sesiunii august 2015, rezerva (Varianta 3): două rânduri la fiecare cerință sau subpunct, cu excepția itemului 4, care are trei (1 + 2 + 2). Redactarea rezolvărilor, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — media geometrică.

Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este rădăcina pătrată a produsului lor: $$m_g=\sqrt{16\cdot 9}\text{(3 p)}.$$ Radicalul unui produs de pătrate perfecte se desparte în factori: $$m_g=\sqrt{16}\cdot \sqrt{9}=4\cdot 3=12\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $12^2=144=16\cdot 9$. Capcană: se ia media aritmetică, $\frac{16+9}{2}=\frac{25}{2}$; sau numerele se adună sub radical, $\sqrt{16+9}=5$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție cu parametru.

Valoarea funcției în $x=2$ se obține înlocuind pe $x$ în formula $x+m$: $$f(2)=2+m\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(2)=0$ dă $2+m=0$, deci $$\mathbf{m}=-2\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $m=-2$, $f(x)=x-2$ și $f(2)=0$. Capcană: $f(2)$ se citește $2m$, iar din $2m=0$ ar ieși $m=0$, dar pentru $m=0$ valoarea $f(2)$ este $2$, nu $0$; sau se citește $m-2$, de unde $m=2$, dar pentru $m=2$ valoarea $f(2)$ este $4$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterile au aceeași bază, $3$, deci exponenții trebuie să coincidă: $$2x+1=5\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=4$: $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $3^{2\cdot 2+1}=3^5$. Capcană: se uită termenul $+1$ din exponent și se scrie $2x=5$, cu $x=\frac{5}{2}$, dar $3^6\ne 3^5$; sau coeficientul $2$ se pierde și se scrie $x+1=5$, cu $x=4$, dar $3^9\ne 3^5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ conține numerele de la $1$ la $9$, deci sunt $9$ cazuri posibile (1 p).

Numerele pare din $A$ sunt $2$, $4$, $6$ și $8$, adică $4$ cazuri favorabile (2 p).

Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: $$p=\frac{4}{9}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se calculează $\frac{5}{9}$, probabilitatea ca numărul să fie impar; sau se scrie $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$, cu numitorul $8$, deși mulțimea are $9$ elemente.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Abscisa mijlocului este media absciselor capetelor $A(-1,3)$ și $B(5,3)$: $$x_M=\frac{-1+5}{2}=2\text{(3 p)}.$$ Ordonata mijlocului $M$ al segmentului $AB$ este media ordonatelor: $$y_M=\frac{3+3}{2}=3,\text{ deci }M(2,3)\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se uită împărțirea la $2$ și iese $x_M=4$; sau se scade, $\frac{-1-5}{2}=-3$; sau se ia jumătatea diferenței, $\frac{5-(-1)}{2}=3$, care este jumătate din lungimea segmentului, nu abscisa mijlocului.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinus din cosinus.

Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ se scoate ${\sin }^{2}x$: $${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ Pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ sinusul este pozitiv, deci $$\sin x=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Cu $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, unghiul este $x=30^{\circ }$, iar $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Capcană: pătratul se aplică numai numărătorului, ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$, dar nu și numitorului, și se scrie $1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$, o valoare negativă pentru un pătrat; sau se adună în loc să se scadă, $1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}>1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Determinantul se scrie cu diagonala principală minus diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-3\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=1-6=-5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsele se adună, $1+6=7$; sau se înmulțesc elementele pe coloane, $1\cdot 2-3\cdot 1=-1$.)

b) (5 p) Pentru $x=-1$, $C(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$, iar suma cu $A$ este $$A+C(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 4& 4\end{array}\right),\det \left(A+C(-1)\right)=0\cdot 4-4\cdot 4=-16\text{(3 p)}.$$ Matricea $B$ este diagonală, cu determinantul produsul elementelor diagonale: $$\det B=(-4)\cdot 4=-16,\text{ deci }\det \left(A+C(-1)\right)=\det B\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se înlocuiește $x$ cu $1$, nu cu $-1$, și iese $A+C(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$, cu determinantul $-8$; sau se calculează produsul $A\cdot C(-1)$ în loc de sumă.)

c) (5 p) Cele două produse, făcute linie cu coloană: $$C(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}x+2& 3x+1\\ 8& 9\end{array}\right),A\cdot C(x)=\left(\begin{array}{cc}x+6& 10\\ 2x+2& 5\end{array}\right),$$ $$C(x)\cdot A-A\cdot C(x)=\left(\begin{array}{cc}-4& 3x-9\\ 6-2x& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $B=\left(\begin{array}{cc}-4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$ cere $3x-9=0$ și $6-2x=0$, amândouă adevărate pentru $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se scade în ordine inversă, $A\cdot C(x)-C(x)\cdot A$, cu elementele diagonale $4$ și $-4$; sau se adună produsele, ceea ce dă elementul $2x+8$ în colțul stânga sus.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3+2\cdot 1^2-6\cdot 1+3\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1+2-6+3=0\text{(2 p)}.$$

(Capcană: termenul liber se scrie cu minus, $1+2-6-3=-6$; sau $-6X$ se citește ca $+6X$, iar suma devine $12$.)

b) (5 p) Câtul are gradul $3-2=1$ și coeficientul dominant $1$, deci este de forma $X+k$; restul are gradul cel mult $1$, așa că nu schimbă coeficientul lui $X^2$. În produsul $(X+k)\left(X^2+3X-3\right)$ acest coeficient este $3+k$, iar în $f$ este $2$; din egalitatea lor, $k=-1$, deci câtul este $$q=X-1\text{(3 p)}.$$ Se verifică: $(X-1)\left(X^2+3X-3\right)=X^3+2X^2-6X+3=f$, deci restul este $$r=0\text{(2 p)}.$$

(Capcană: câtul $X+1$, dar $(X+1)\left(X^2+3X-3\right)=X^3+4X^2-3$; sau $X-3$, cu produsul $X^3-12X+9$.)

c) (5 p) Din coeficienții polinomului, relațiile lui Viète sunt $$x_1+x_2+x_3=-2,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-6,x_1{x}_2{x}_3=-3\text{(3 p)}.$$ Suma inverselor este $\frac{x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{-6}{-3}=2$, iar suma din enunț este $$-2+2=0\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul rădăcinilor se ia cu semn greșit, $x_1{x}_2{x}_3=3$, și suma inverselor devine $\frac{-6}{3}=-2$, adică suma totală ar fi $-4$; sau $s_1=2$, ceea ce ar da suma totală $4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, margini.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$, $(-3x{)}^{\prime }=-3$, iar derivata constantei este $0$: $$f^{\prime }(x)=3x^2-3\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul $3$, apoi se folosește diferența de pătrate: $$f^{\prime }(x)=3\left(x^2-1\right)=3(x-1)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $-3x$ se scrie $-3x$ și iese $3x^2-3x$; sau derivata lui $x^3$ se ia $x^2$.)

b) (5 p) Prin scăderea lui $x^3$ rămâne un polinom de gradul $1$ la numărător: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)-x^3}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x+1}{x}\text{(2 p)}.$$ Raportul coeficienților lui $x$ este $\frac{-3}{1}$: $$=-3\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se uită scăderea și se obține $x^3-3x+1$ la numărător, ceea ce ar da limita $+\infty$; sau semnul se schimbă și numărătorul devine $3x+1$, cu limita $3$.)

c) (5 p) Pe $[-1,1]$, factorul $x-1$ este negativ sau nul, iar $x+1$ este pozitiv sau nul, deci $$f^{\prime }(x)\le 0\text{ pentru orice }x\in [-1,1]\text{(2 p)}.$$ Funcția este descrescătoare pe $[-1,1]$, așa că $f(1)\le f(x)\le f(-1)$, adică $$-1\le f(x)\le 3,\text{ cu }f(1)=-1\text{ și }f(-1)=3\text{(3 p)}.$$

(Valorile din capete: $f(1)=1-3+1=-1$ și $f(-1)=-1+3+1=3$. Capcană: funcția se declară crescătoare, iar dubla inegalitate ar spune că $f(x)$ este cel puțin $3$ și cel mult $-1$, ceea ce nu se poate; sau $(-1{)}^3$ se ia ca $+1$, iar $f(-1)$ ar ieși $5$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, primitivă, volum de rotație.

a) (5 p) Termenul $\frac{1}{x}$ se reduce, rămâne $f(x)-\frac{1}{x}=2x$: $${\int }_2^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx={\int }_2^{3}2xdx=x^2{|}_2^3\text{(3 p)}.$$ $$=9-4=5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $\frac{1}{x}$ se adună și iese $2x+\frac{2}{x}$; sau se integrează numai $\frac{1}{x}$, ceea ce dă $\ln \frac{3}{2}$, nu $5$.)

b) (5 p) Se derivează $F$ termen cu termen, cu ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $2015^{\prime }=0$: $$F^{\prime }(x)={\left(x^2+\ln x+2015\right)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ $$=2x+\frac{1}{x}=f(x),\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty ),\text{ deci }F\text{ este primitiva˘ a lui }f\text{(3 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $\ln x$ se scrie $\ln x$ și iese $2x+\ln x$; sau constanta $2015$ se păstrează la derivată.)

c) (5 p) Diferența $f(x)-2x$ este $\frac{1}{x}$, iar volumul se obține din formula corpului de rotație: $$V=\pi {\int }_1^2{\left(f(x)-2x\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx\text{(3 p)}.$$ $$V=\pi \left(-\frac{1}{x}\right){|}_1^2=\pi \left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{\pi }{2}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: factorul $\pi$ al volumului se uită și iese $\frac{1}{2}$; sau $g$ se integrează fără pătrat, ceea ce dă $\pi \ln 2$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este Varianta 3 a probei de matematică tehnologic (Matematică M_tehnologic în actele oficiale, „M3" în limbajul școlilor), de la Bacalaureatul din august 2015. Cuvântul „rezervă" vine din numele dosarului oficial în care a fost publicată; foaia de examen are numai mențiunea „Varianta 3". Antetul foii, pe două rânduri, poartă numele Ministerului Educației și Cercetării Științifice și pe cel al Centrului Național de Evaluare și Examinare, iar lucrarea este pentru filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic, toate calificările profesionale). Cerințele sunt transcrise exact. Soluțiile, probele și ghidajul sunt ale noastre, iar din barem am păstrat numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Câte rânduri are baremul. Aproape fiecare cerință și fiecare subpunct are două rânduri punctate. Singura excepție este cerința 4, cu trei rânduri (1 + 2 + 2: cazurile posibile, cele favorabile, raportul lor); de aceea lucrarea are 37 de rânduri, cu suma tot 90.

Clasa fiecărei cerințe în programa de examen (OMEN 4430/2014, anexa 2, coloana M_tehnologic).

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Media geometrică stă în programa de examen la clasa a X-a, alături de celelalte medii. Noua programă școlară de la aceste clase nu o pomenește.
• Nota 2. Ecuațiile exponențiale se cer la clasa a X-a. În programa școlară nouă pentru aceleași clase, ecuațiile exponențiale nu apar printre teme.
• Nota 3. Pentru clasa a X-a, programa de examen enumeră coordonatele punctelor și distanța dintre ele; mijlocul unui segment nu e scris acolo. Formula lui se folosește totuși la examen, iar programa școlară nouă o predă în clasa a IX-a.
• Nota 4. Volumul unui corp de rotație este ultima temă din lista de conținuturi a clasei a XII-a. La 10.c) corpul se obține rotind în jurul axei $Ox$ graficul unei funcții pe un interval închis.

Ce se observă la varianta 3. La cerința 1, numerele $16$ și $9$ sunt pătrate perfecte, așa că media geometrică iese fără radicali. La cerința 5, punctele $A$ și $B$ au aceeași ordonată, $3$. La cerința 6, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ corespunde unghiului de $30^{\circ }$. Matricea $B$ are numai elemente diagonale, $-4$ și $4$; diferența $C(x)\cdot A-A\cdot C(x)$ are aceleași elemente diagonale, iar celelalte două depind de $x$ și se anulează amândouă pentru $x=3$. Polinomul $f$ se descompune în $(X-1)\left(X^2+3X-3\right)$, de aceea împărțirea de la 8.b) este exactă; relațiile lui Viète dau $-2$, $-6$ și $-3$, iar suma de la 8.c) devine $-2+\frac{-6}{-3}=0$. La Subiectul al III-lea, $f(x)=x^3-3x+1$ are în $-1$ valoarea $3$, iar în $1$ valoarea $-1$: dubla inegalitate de la 9.c) cere tocmai aceste două numere. La 10.b), derivata lui $F$ este $2x+\frac{1}{x}$, adică $f(x)$, iar la 10.c) diferența $f(x)-2x$ este $\frac{1}{x}$.

Un plan de lucru. Cele 180 de minute pot fi împărțite așa: 60 pentru Subiectul I și câte 30 pentru fiecare dintre cele patru probleme de 15 puncte. Dacă una dintre cerințele 1–6 se termină mai repede, minutele rămase pot merge la recitire.

Calculul notei. Nota este totalul împărțit la $10$. Nota $10$ cere toate cele $90$ de puncte ale cerințelor, la care se adaugă cele $10$ din oficiu.

Greșeli de redactare de evitat: la 1, media aritmetică $\frac{16+9}{2}$ în loc de media geometrică; la 3, exponenții egalați fără termenul $+1$; la 4, numărarea elementelor mulțimii $A$ ca $10$; la 7.b), determinantul lui $A+C(-1)$ calculat cu $C(1)$; la 8.b), câtul $X+1$ în loc de $X-1$; la 9.c), concluzia fără valorile $f(1)$ și $f(-1)$; la 10.c), factorul $\pi$ al volumului uitat.

Formulele folosite în varianta 3

• Subiectul I. media geometrică a numerelor $a,b\ge 0$ este $\sqrt{ab}$; $a^u=a^v$ cu $a>0$, $a\ne 1$ cere $u=v$; mijlocul segmentului $AB$ este $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este $1$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul $P\cdot Q$ se face linie cu coloană; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, $s_1=-b$, $s_2=c$, $s_3=-d$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe $[a,b]$, atunci $f(b)\le f(x)\le f(a)$ pentru $x\in [a,b]$; ${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; volumul corpului de rotație este $V=\pi {\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx$.

Despre litere. Fiecare problemă cu funcții are propriul $f$: $x+m$ la cerința 2, polinomul $X^3+2X^2-6X+3$ la 8, funcția $x^3-3x+1$ la 9 (subpunctele a–c) și funcția $2x+\frac{1}{x}$ la 10. $A$ este mulțimea $\{1,\dots ,9\}$ la cerința 4, punct la 5 și matrice la 7; $B$ este punct la 5 și matrice la 7. Litera $m$ este parametrul de la 2; $a$ și $b$ sunt cele două numere de la cerința 1, $M$ este mijlocul segmentului de la 5, $k$ este termenul liber al câtului căutat la 8.b), $F$ este primitiva de la 10.b), iar $g$, funcția de la 10.c).