Subiect Bac matematică tehnologic, model 2019 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2019 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $N=(4+3i{)}^2+(3-4i{)}^2$ este natural, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$, știind că punctul $A(a,a)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2-x^2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x+5^{x+1}=30$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\left\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\dots ,\sqrt{49}\right\}$, acesta să fie număr natural.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$, $B(3,5)$ și $C(2,1)$. Determinați lungimea medianei din $B$ a triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Demonstrați că $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=2$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1,1))=2$.

b) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(n-1,0)+A(n+1,0)=A(2018,0)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că există un număr real $x$ pentru care $A(x,1)\cdot A(x,1)=A(a,-2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-7X^2+mX-8$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)+f(1)=-30$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la $X^2-3X+1$, știind că $f$ se divide cu $X-2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, $x\in (-2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(-2,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=0$.

b) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$ este egal cu $\frac{97\pi }{10}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul $m\in (1,+\infty )$, știind că ${\int }_1^m\left(f(x)-x^2\right)\ln xdx=\frac{1}{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Cerința 4 are trei rânduri (1 p + 2 p + 2 p); celelalte cinci cerințe de la Subiectul I au două rânduri. Cerințele 7–10 valorează câte 15 p, în subpuncte de 5 p cu câte două rânduri. Rândurile de punctaj urmează documentul oficial „Model” din 2019. Soluțiile, explicațiile și probele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — numere complexe.

Fiecare pătrat se desface cu formula pătratului unei sume, respectiv diferențe, iar termenii se păstrează așa cum ies: $$N=16+24i+9i^2+9-24i+16i^2\text{(2 p)}.$$ Cu $i^2=-1$, termenii $9i^2$ și $16i^2$ devin $-9$ și $-16$, iar termenii cu $i$ sunt opuși și se reduc: $$N=16-9+9-16=0\text{(3 p)}.$$ Numărul $0$ este natural.

(Altă cale: $3-4i=-i(4+3i)$, deci pătratul lui $3-4i$ este opusul pătratului lui $4+3i$, fiindcă $(-i{)}^2=-1$, și cei doi termeni se anulează. Capcană: se ia $i^2=1$; atunci $N=16+9+9+16=50$, nu $0$.)

Exercițiul 2. (5 p) — un punct pe graficul unei funcții.

Punctul $A(a,a)$ este pe grafic dacă ordonata lui, $a$, este valoarea funcției în abscisa $a$: $$f(a)=a⟺2-a^2=a⟺a^2+a-2=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul se descompune în $(a+2)(a-1)$, deci $\mathbf{a}=-2$ sau $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Probă: $f(1)=2-1=1$ și $f(-2)=2-4=-2$, iar punctele $A(1,1)$ și $A(-2,-2)$ sunt pe grafic. Capcană: se rezolvă $f(a)=0$, adică intersecția cu axa $Ox$, care dă $a^2=2$; dar atunci ordonata $0$ nu coincide cu abscisa $a$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cum $5^{x+1}=5\cdot 5^x$, puterea $5^x$ se dă factor comun: $$5^x+5\cdot 5^x=5^x(1+5)=30⟺5^x=5\text{(3 p)}.$$ Două puteri ale lui $5$ sunt egale numai dacă exponenții sunt egali, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: $5^1+5^2=5+25=30$. Capcană: suma a două puteri se scrie ca o putere cu exponenții adunați, $5^x+5^{x+1}=5^{2x+1}$; la $x=1$ suma este $30$, iar $5^{2x+1}=125$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $M$ are câte un element pentru fiecare număr de la $1$ la $49$ pus sub radical, în total $49$ de elemente, așa că există $49$ de rezultate posibile (1 p).

Un radical $\sqrt{k}$, cu $k$ natural, dă un număr natural numai dacă $k$ se scrie ca pătratul unui număr natural. Pătratele care nu depășesc $49$ sunt $1^2,2^2,\dots ,7^2$; așadar $7$ dintre elemente sunt naturale și ele formează rezultatele favorabile (2 p).

Probabilitatea este câtul dintre rezultatele favorabile și cele posibile: $$p=\frac{7}{49}=\frac{1}{7}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $8^2=64>49$, deci lista pătratelor se oprește la $7^2$. Capcană: se lasă deoparte pătratul $1^2=1$, ca și când $\sqrt{1}$ n-ar fi natural; ar rămâne $6$ rezultate favorabile, iar $p$ ar ieși $\frac{6}{49}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mediana din $B$.

Mediana din $B$ pornește din $B$ și ajunge în mijlocul $N$ al laturii opuse, $AC$. Pentru $A(2,5)$ și $C(2,1)$: $$N\left(\frac{2+2}{2},\frac{5+1}{2}\right)=N(2,3)\text{(2 p)}.$$ Distanța dintre $B(3,5)$ și $N(2,3)$ este $$BN=\sqrt{(3-2{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$

(Probă: diferențele de coordonate sunt $1$ și $2$, iar $1^2+2^2=5$. Capcană: se măsoară latura $BC$ în loc de mediană; $BC=\sqrt{(3-2{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{17}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — o identitate trigonometrică.

Se desfac ambele pătrate: $${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\text{(2 p)}.$$ Termenii cu $\sin x\cos x$ au semne opuse și se reduc; rămân două perechi ${\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x$, iar fiecare pereche are suma $1$: $$\text{suma}=1+1=2,\text{ pentru orice }x\text{ real}\text{(3 p)}.$$

(Probă pentru $x=0$: $(0+1{)}^2+(0-1{)}^2=2$. Capcană: al doilea pătrat se scrie fără dublul produs, doar ca suma pătratelor; atunci suma ar depinde de $x$, prin termenul $2\sin x\cos x$ rămas necompensat, deci nu ar fi constantă.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $A(x,y)$.

a) (5 p) Pentru $x=y=1$ se obține $A(1,1)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar determinantul este produsul diagonalei principale minus produsul celeilalte diagonale: $$\det (A(1,1))=1\cdot 1-(-1)\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1,1))=1+1=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se ignoră semnul minus din colțul dreapta sus și se scrie $1\cdot 1-1\cdot 1=0$.)

b) (5 p) Pentru $y=0$, matricea are $-y=0$, deci $A(u,0)=\left(\begin{array}{cc}u& 0\\ 0& u\end{array}\right)$. Se adună poziție cu poziție: $$A(n-1,0)+A(n+1,0)=\left(\begin{array}{cc}2n& 0\\ 0& 2n\end{array}\right),A(2018,0)=\left(\begin{array}{cc}2018& 0\\ 0& 2018\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cere $2n=2018$, deci $\mathbf{n}=1009$, număr natural (2 p).

(Probă: $A(1008,0)+A(1010,0)=A(2018,0)$, căci $1008+1010=2018$. Capcană: ambii termeni se scriu cu $n-1$; atunci $2(n-1)=2018$ dă $n=1010$, iar suma $A(1009,0)+A(1009,0)$ nu este cea cerută de enunț.)

c) (5 p) Matricea $A(x,1)=\left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 1& x\end{array}\right)$ se înmulțește cu ea însăși, linie cu coloană, iar $A(a,-2)=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ -2& a\end{array}\right)$: $$A(x,1)\cdot A(x,1)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2-1& -2x\\ 2x& x^2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ -2& a\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din $-2x=2$ rezultă $x=-1$ (și $2x=-2$ dă la fel), iar $a=x^2-1=0$ (2 p).

(Probă pentru $x=-1$: $A(-1,1)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ și pătratul ei este $\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)=A(0,-2)$. Capcană: produsul se face ridicând fiecare element la pătrat, $\left(\begin{array}{cc}{x}^2& 1\\ 1& x^2\end{array}\right)$; atunci în dreapta sus s-ar compara $1$ cu $2$, imposibil.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinomul $f=X^3-7X^2+mX-8$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $-1$: $$f(-1)=(-1{)}^3-7\cdot (-1{)}^2+m\cdot (-1)-8=-m-16\text{(2 p)}.$$ Pentru $X=1$, $f(1)=1-7+m-8=m-14$, iar suma este $$f(-1)+f(1)=(-m-16)+(m-14)=-30,\text{ pentru orice }m\text{(3 p)}.$$

(Probă: termenii de grad impar, $X^3$ și $mX$, își schimbă semnul între $-1$ și $1$ și se reduc, iar cei de grad par se dublează: $2\cdot (-7-8)=-30$. Capcană: $(-1{)}^3$ se ia egal cu $1$; atunci $f(-1)$ ar ieși cu $2$ mai mare decât cel corect, iar suma ar fi $-28$.)

b) (5 p) Dacă $f$ se divide cu $X-2$, atunci $f(2)=0$: $$f(2)=8-28+2m-8=2m-28=0⟹m=14,\text{deci }f=X^3-7X^2+14X-8\text{(2 p)}.$$ Se împarte $f$ la $X^2-3X+1$: primul termen al câtului este $X$ (din $X^3:X^2$), apoi $-4$, iar restul este $X-4$: $$f=(X-4)\left(X^2-3X+1\right)+(X-4),\text{caˆtul }\mathbf{X}-4,\text{restul }\mathbf{X}-4\text{(3 p)}.$$

(Probă: $(X-4)\left(X^2-3X+1\right)=X^3-7X^2+13X-4$, la care se adaugă restul $X-4$ și se obține $f$. Capcană: se împarte la $X-2$ în loc de $X^2-3X+1$; câtul ar avea gradul $2$, iar restul ar fi $0$, ceea ce răspunde altei întrebări.)

c) (5 p) Dacă rădăcinile $x_1,x_2,x_3$ sunt în progresie geometrică, atunci $x_1{x}_3=x_2^2$, deci produsul lor este $x_1{x}_2{x}_3=x_2^3$. După relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este opusul termenului liber, adică $8$: $$x_2^3=8⟹x_2=2\text{(2 p)}.$$ Suma rădăcinilor este $7$, deci $x_1+x_3=5$, iar $x_1{x}_3=x_2^2=4$; numerele care au suma $5$ și produsul $4$ sunt $1$ și $4$. Rădăcinile sunt $1$, $2$, $4$, iar $m$ este suma produselor luate două câte două: $m=2+4+8=14$ (3 p).

(Probă: $(X-1)(X-2)(X-4)=X^3-7X^2+14X-8$. Capcană: rația se ia egală cu $2$ și rădăcinile $2,4,8$; produsul lor este $64$, nu $8$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x+2}$.

a) (5 p) Se aplică formula derivatei unui cât, cu $u=x^2+2x+1$ și $v=x+2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+2)(x+2)-\left(x^2+2x+1\right)\cdot 1}{(x+2{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $2x^2+6x+4-x^2-2x-1=x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2},x\in (-2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: împărțirea numărătorului la $x+2$ arată că $f(x)=x+\frac{1}{x+2}$, iar derivata lui $x+\frac{1}{x+2}$ este $1-\frac{1}{(x+2{)}^2}$, adică același rezultat. Capcană: la cât se adună în loc să se scadă, $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; numărătorul ar fi $3x^2+8x+5=(3x+5)(x+1)$.)

b) (5 p) Pentru asimptota oblică $y=mx+n$ spre $+\infty$, panta este $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x(x+2)}=1\text{(2 p)}.$$ Ordonata la origine este $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+2}=0,$$ deci asimptota are ecuația $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ (3 p).

(Probă numerică: $f(8)=\frac{81}{10}$, deci $f(8)-8=\frac{1}{10}$, adică exact $\frac{1}{8+2}$. Capcană: dreapta $x=-2$, care anulează numitorul, este asimptota verticală a graficului; cerința se referă la asimptota oblică spre $+\infty$.)

c) (5 p) Din $f(x)=x+\frac{1}{x+2}$ se obține $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+2{)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x+2{)}^3},x\in (-2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pe $(-2,+\infty )$ avem $x+2>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)>0$ și funcția $f$ este convexă pe tot intervalul (3 p).

(Probă: $1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+2{)}^2-1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, adică derivata de la a). Capcană: exponentul $-2$ nu se aduce ca factor la derivare, deci numărătorul lui $f^{\prime \prime }$ ar fi $1$ în loc de $2$; semnul ar rămâne pozitiv, dar $f^{\prime \prime }(-1)$ ar ieși $1$ în loc de $2$.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcția $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$.

a) (5 p) Primitivele lui $f$ pe $(0,+\infty )$ se află termen cu termen: pentru $x^2$ este $\frac{x^3}{3}$, iar pentru $\frac{1}{x}$ este $\ln x$: $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\ln x+c,c\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Condiția $F(1)=0$ dă $\frac{1}{3}+0+c=0$, adică $c=-\frac{1}{3}$: $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\ln x-\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $F^{\prime }(x)=x^2+\frac{1}{x}$ și $F(1)=\frac{1}{3}+0-\frac{1}{3}=0$. Capcană: se scrie $-\frac{1}{x^2}$ ca primitivă a lui $\frac{1}{x}$; dar $-\frac{1}{x^2}$ este derivata lui $\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Funcția $g=f$ are valori pozitive pe $[1,2]$, iar volumul este $V=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx$. Pătratul sumei $x^2+\frac{1}{x}$ are trei termeni, cel din mijloc fiind $2\cdot x^2\cdot \frac{1}{x}=2x$: $$V=\pi {\int }_1^2\left(x^4+2x+\frac{1}{x^2}\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}+x^2-\frac{1}{x}\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$V=\pi \left[\left(\frac{32}{5}+4-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{5}+1-1\right)\right]=\pi \cdot \frac{97}{10}=\frac{97\pi }{10}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{99}{10}-\frac{2}{10}=\frac{97}{10}$. Capcană: pătratul sumei se scrie fără dublul produs, $x^4+\frac{1}{x^2}$; atunci integrala ar fi $\frac{67}{10}$, nu $\frac{97}{10}$.)

c) (5 p) Diferența $f(x)-x^2$ este $\frac{1}{x}$, iar $\frac{1}{x}$ este derivata lui $\ln x$: $${\int }_1^m\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x{|}_1^m=\frac{1}{2}{\ln }^{2}m\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\frac{1}{2}{\ln }^{2}m=\frac{1}{2}$ cere ${\ln }^{2}m=1$, adică $\ln m=-1$ sau $\ln m=1$; din $m>1$ rămâne $\ln m=1$, deci $\mathbf{m}=\mathbf{e}$, iar valoarea $\frac{1}{e}$ se elimină (2 p).

(Probă: $\frac{1}{2}{\ln }^{2}e=\frac{1}{2}$. Capcană: se păstrează și $m=\frac{1}{e}$, deși $\frac{1}{e}<1$ nu aparține intervalului $(1,+\infty )$.)

Pentru părinți și profesori

Documentul de aici este modelul de subiect pentru matematică M_tehnologic din 2019. În documentul oficial el se numește pur și simplu „Model”: nu poartă număr de variantă și nu aparține vreunei sesiuni, dar are antetul examenului (Ministerul Educației Naționale, Centrul Național de Evaluare și Examinare, proba E.c), filiera tehnologică) și aceeași alcătuire ca o lucrare de examen. Un detaliu de format îl deosebește de celelalte documente din 2019: titlul fiecărui subiect adaugă îndemnul „Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.” Cerințele sunt reproduse întocmai; soluțiile, probele și ghidajul sunt ale noastre, iar din document am păstrat doar felul în care sunt împărțite punctele pe rânduri.

Pe scurt, ce cuprinde modelul: șase cerințe scurte (30 de puncte), apoi două probleme cu câte trei subpuncte, una despre matricea $A(x,y)$ și una despre un polinom de gradul $3$ (30 de puncte), apoi două probleme tot cu trei subpuncte, una despre o funcție rațională și una despre o funcție cu $\frac{1}{x}$, de integrat (30 de puncte). Fiecare subpunct valorează 5 puncte, iar în afara celor 90 de puncte se adaugă 10 din oficiu; timpul de lucru este de 3 ore.

O abatere de la tiparul rândurilor. Cerința 4 are în document trei rânduri de punctaj, de 1, 2 și 2 puncte (față de 2 + 3 sau 3 + 2 la celelalte cerințe scurte). Pagina și ghidajul o urmează: soluția cerinței 4 are trei bucăți, iar ghidajul trei pași. Cu acest rând în plus, documentul are 37 de rânduri de punctaj, nu 36.

Ce se cere și unde se învață (programa de examen)

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Numerele complexe, cu forma algebrică și operațiile lor, sunt în clasa a X-a a programei de examen. Programa nouă pentru clasele IX–X, publicată ca Anexa 3 la OMEC 6930/2025, nu le cuprinde.
• Nota 2. Ecuația exponențială este materie de clasa a X-a în programa de examen. Anexa 3 aduce funcția exponențială mai devreme, în clasa a IX-a, dar fără rezolvarea de ecuații exponențiale.
• Nota 3. Probabilitatea evenimentelor egal probabile este tema clasei a X-a în programa de examen; scrierea numerelor $\sqrt{1}$, $\sqrt{2}$, …, $\sqrt{49}$ și recunoașterea celor naturale ține de radicali (tot clasa a X-a). Anexa 3 are probabilitatea unui eveniment, dar nu proprietățile radicalilor.
• Nota 4. Distanța dintre două puncte și „linii importante în triunghi” (mediana este una dintre ele) figurează în programa de examen la clasa a X-a; mijlocul unui segment nu e numit acolo. Anexa 3 are mijlocul segmentului la clasa a IX-a și nu are mediana.
• Nota 5. Împărțirea polinoamelor, împărțirea cu $X-a$ și relațiile lui Viète sunt în programa de examen la clasa a XII-a; condiția ca trei numere să fie în progresie geometrică este în clasa a IX-a. Anexa 3 are progresii aritmetice și geometrice (termenul general, suma), dar nu pomenește condiția pentru trei numere.
• Nota 6. Primitivele, integrala definită și aplicațiile ei, între care aria unei suprafețe plane și volumul unui corp de rotație, sunt în programa de examen la clasa a XII-a.

Particularități ale modelului. Prima cerință are numere complexe, singura din toată lucrarea. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x,y)$ cu $-y$ în colțul dreapta sus se comportă ca numerele complexe $x+iy$ (de exemplu produsul de la 7.c)), dar pagina nu are nevoie de această legătură. Polinomul de la cerința 8 apare cu $m$ determinat de două ori, în b) și în c), cu aceeași valoare. Funcția de la 9 este un cât care se reduce, la împărțire, la $x+\frac{1}{x+2}$, ceea ce face ușoare toate cele trei subpuncte. La 10, volumul de rotație cere formula lui $\pi \int g^2$.

Cât timp rămâne. Din cele 180 de minute, 40 se pot păstra pentru recitire. Restul de 140 de minute, împărțit la 90 de puncte, dă mai puțin de 94 de secunde pentru fiecare punct. Cerințele scurte de la început pot fi rezolvate mai repede.

Calculul notei. Punctele din cerințe, adunate cu cele 10 din oficiu, se împart la zece. Cu 40 de puncte din cerințe, totalul este 50, iar nota este 5.

Greșeli de evitat: la 1, $i^2$ luat egal cu $1$; la 2, rezolvarea ecuației $f(a)=0$ în loc de $f(a)=a$; la 4, omiterea lui $\sqrt{1}$ dintre numerele naturale; la 7.c), produsul $A(x,1)\cdot A(x,1)$ făcut ridicând fiecare element la pătrat; la 8.b), împărțirea la $X-2$ în loc de $X^2-3X+1$; la 9.c), derivata a doua scrisă fără factorul $2$; la 10.b), dublul produs uitat la pătratul sumei $x^2+\frac{1}{x}$; la 10.c), reținerea valorii $\frac{1}{e}$, care nu aparține intervalului $(1,+\infty )$.

Cum lucrezi cu pagina. Încearcă fiecare cerință fără să te uiți, apoi confruntă rândurile de mai jos. Sub 40 de puncte, reia cerințele 1–6. Între 40 și 70 de puncte, lucrează în special b) și c). Peste 70 de puncte, mai poți câștiga la redactare și la verificarea domeniilor.

Formule care ajută la model

• Subiectul I. $i^2=-1$ și $(p+q{)}^2=p^2+2pq+q^2$; $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$; pentru $k$ natural, $\sqrt{k}\in \mathbb{N}$ numai când $k=j^2$, cu $j$ natural; mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse; distanța dintre două puncte este rădăcina sumei pătratelor diferențelor coordonatelor.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; matricele se adună și se înmulțesc pe poziții, respectiv linie cu coloană; $f=(X^2-3X+1)\cdot q+r$, cu gradul lui $r$ mai mic decât $2$; trei numere $x_1,x_2,x_3$ sunt în progresie geometrică dacă $x_1{x}_3=x_2^2$; pentru un polinom unitar de gradul $3$, produsul rădăcinilor este opusul termenului liber, iar suma lor este opusul coeficientului lui $X^2$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=mx+n$, cu $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ și $n=\lim \left(f(x)-mx\right)$; $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe un interval face funcția convexă acolo; volumul solidului generat când graficul unei funcții $g\ge 0$ se rotește în jurul lui $Ox$, pe $[a,b]$, este $\pi {\int }_a^b{g}^2$.

Notă de lectură: „itemul” din titluri înseamnă aici „cerința”. Litera $f$ nu are același sens peste tot (funcție de gradul al II-lea la 2, polinom la 8, fracție rațională la 9, o sumă cu $\frac{1}{x}$ la 10), iar $A$ are două sensuri, un punct la 5 și o matrice la 7; $M$ este mulțimea de la 4. Litera $N$ numește numărul complex de la 1 și, în rezolvarea cerinței 5, mijlocul laturii $AC$; $m$ este parametrul polinomului de la 8, panta asimptotei în rezolvarea lui 9.b) și numărul căutat la 10.c), iar $n$ este numărul natural de la 7.b) și ordonata la origine a asimptotei de la 9.b).