Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2018 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2018 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați rația progresiei geometrice ${\left(b_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=3$ și $b_4=24$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a,2)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x+1)+{\log }_3(x-1)={\log }_{3}8$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu $7$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(5,5)$ și $C(7,10)$. Arătați că $AC=2AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $MNP$, știind că $MN=4$ și $m(\sphericalangle N)=m(\sphericalangle P)=75^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 2& 5\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}5& -7\\ -2& 3\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $5A-3B=8\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ 2& 2\end{array}\right)$.

b) (5 puncte) Demonstrați că matricea $B$ este inversa matricei $A$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, știind că $xA\cdot A-8A=y{I}_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-2(x+y)+6$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $x\ast 3=2018$.

c) (5 puncte) Calculați ${\log }_{2}2\ast {\log }_{2}3\ast {\log }_{2}4\ast \dots \ast {\log }_{2}2018$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^6-6x+10$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-5}{x-1}=0$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(0,9)+f(1,1)\ge 10$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx=e(e-1)$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=0$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^{1}f(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{2}{e}^a$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La toți itemii, fiecare cerință sau subpunct are două rânduri punctate. Rândurile punctate sunt cele din documentul oficial al simulării 2018 pentru clasa a XII-a; redactarea rezolvărilor, probele și explicațiile ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Într-o progresie geometrică cu rația $q$, fiecare termen este precedentul înmulțit cu $q$; de la $b_1$ la $b_4$ sunt trei înmulțiri, deci $b_4=b_1{q}^3$: $$3q^3=24,\text{deci }{q}^3=8\text{(3 p)}.$$ Cum $2^3=8$, iar funcția cub este injectivă pe $\mathbb{R}$, $$q=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: termenii $3$, $6$, $12$, $24$ au rația $2$, iar al patrulea este $24$. Capcană: dacă se scrie $b_4=b_1{q}^4$, ecuația $q^4=8$ nu are soluția $2$, fiindcă $2^4=16\ne 8$.)

Exercițiul 2. (5 p) — un punct pe grafic.

Punctul $A(a,2)$ se află pe grafic dacă ordonata lui, $2$, coincide cu valoarea $f(a)$ a funcției în abscisa $a$: $$f(a)=2⟺a^2-2a+3=2⟺a^2-2a+1=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația este $(a-1{)}^2=0$, deci $$\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(1)=1-2+3=2$. Capcană: dacă $f(a)$ se egalează cu abscisa, nu cu ordonata, se obține $a^2-3a+3=0$, care are discriminantul $9-12<0$ și nu are soluții reale.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu logaritmi.

Logaritmii există dacă $x+1>0$ și $x-1>0$, adică $x>1$. Cei doi logaritmi au aceeași bază, deci se contopesc într-unul singur, al cărui argument este produsul $(x+1)(x-1)=x^2-1$: $${\log }_3\left((x+1)(x-1)\right)={\log }_{3}8⟹x^2-1=8\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x^2=9$, deci $x=-3$ sau $x=3$. Condiția $x>1$ exclude pe $-3$ (argumentele ar fi $-2$ și $-4$), iar $3$ o respectă: $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\log }_{3}4+{\log }_{3}2={\log }_{3}8$. Capcană: dacă suma logaritmilor s-ar transforma în logaritmul sumei, ${\log }_3(2x)={\log }_{3}8$ ar da $x=4$, pentru care ${\log }_{3}5+{\log }_{3}3={\log }_{3}15\ne {\log }_{3}8$.)

Exercițiul 4. (5 p) — numere de trei cifre.

Numărul $7$ este prim, deci divizorii lui sunt $1$ și $7$; nicio cifră nu poate fi $0$, fiindcă produsul ar fi $0$. Două cifre de $7$ ar da un produs de cel puțin $49$, așa că numărul are o singură cifră de $7$, iar celelalte două sunt $1$ (2 p).

Cifra $7$ poate sta la sute, la zeci sau la unități: $$711,171,117\text{(3 p)}.$$

(Probă: $7\cdot 1\cdot 1=7$ pentru fiecare. Capcană: dacă cele trei cifre ar fi distincte, ar fi $3!=6$ numere; aici două cifre sunt egale, deci sunt $\frac{3!}{2!}=3$.)

Exercițiul 5. (5 p) — lungimile $AB$ și $AC$.

Distanțele se calculează cu formula dintre două puncte: $$AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5\text{(2 p)}.$$ $$AC=\sqrt{(7-1{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{36+64}=10=2\cdot 5=2AB\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\left(3,4,5\right)$ și $\left(6,8,10\right)$ sunt triplete pitagoreice, al doilea fiind dublul primului. Capcană: egalitatea cerută este între lungimi, nu între vectori; $\overrightarrow{AC}=(6,8)$, iar $2\overrightarrow{AB}=(8,6)$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi isoscel.

Unghiurile $N$ și $P$ sunt egale, deci laturile opuse lor sunt egale: $MP$ (opusă lui $N$) și $MN$ (opusă lui $P$). Astfel $$MP=MN=4\text{(2 p)}.$$ Unghiul din $M$ este $180^{\circ }-2\cdot 75^{\circ }=30^{\circ }$. Fie $H$ piciorul înălțimii din $N$ pe $MP$; în triunghiul $MHN$, drept în $H$, $NH=MN\cdot \sin 30^{\circ }=4\cdot \frac{1}{2}=2$: $${\mathcal{A}}_{MNP}=\frac{MP\cdot NH}{2}=\frac{4\cdot 2}{2}=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: cu formula cu sinus, $\frac{1}{2}\cdot MN\cdot MP\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=4$. Capcană: dacă în această formulă se pune unghiul de $75^{\circ }$ în loc de cel dintre $MN$ și $MP$, adică $30^{\circ }$, rezultă $8\sin 75^{\circ }$, mai mare decât $4$, fiindcă $\sin 75^{\circ }>\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A$ și $B$.

a) (5 p) Se înmulțește fiecare matrice cu scalarul ei: $$5A=\left(\begin{array}{cc}15& 35\\ 10& 25\end{array}\right),3B=\left(\begin{array}{cc}15& -21\\ -6& 9\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se scad elementele de pe aceleași poziții; toate rezultatele sunt multipli de $8$: $$5A-3B=\left(\begin{array}{cc}0& 56\\ 16& 16\end{array}\right)=8\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ 2& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Probă: $56:8=7$ și $16:8=2$. Capcană: dacă $35-(-21)$ se calculează ca $35-21=14$, elementul din dreapta sus ar fi $14$, nu $56$.)

b) (5 p) Se înmulțește $A\cdot B$ linie cu coloană: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 5+7\cdot (-2)& 3\cdot (-7)+7\cdot 3\\ 2\cdot 5+5\cdot (-2)& 2\cdot (-7)+5\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$ Și în ordinea inversă produsul este $I_2$: $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}5\cdot 3+(-7)\cdot 2& 5\cdot 7+(-7)\cdot 5\\ (-2)\cdot 3+3\cdot 2& (-2)\cdot 7+3\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$ Două matrice al căror produs este $I_2$ în ambele ordini sunt inverse una alteia, deci $B=A^{-1}$ (3 p).

(Probă: $\det A=3\cdot 5-7\cdot 2=1$, iar inversa unei matrice cu determinantul $1$ se obține schimbând elementele de pe diagonala principală și schimbând semnele celorlalte, adică $B$. Capcană: înmulțind poziție cu poziție se obține $\left(\begin{array}{cc}15& -49\\ -4& 15\end{array}\right)$, care nu este produsul de matrice și nu este $I_2$.)

c) (5 p) Se înmulțesc ambii membri ai egalității la dreapta cu $B$; din $A\cdot B=I_2$ rezultă $xA\cdot A\cdot B=xA$, $8A\cdot B=8I_2$ și $y{I}_2\cdot B=yB$, deci $$xA-8I_2=yB⟺\left(\begin{array}{cc}3x-8& 7x\\ 2x& 5x-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5y& -7y\\ -2y& 3y\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din $7x=-7y$ rezultă $y=-x$; apoi $3x-8=5y$ și $5y=-5x$ dau $8x=8$. Ultimul element se verifică: $5x-8=-3$, iar $3y=-3$: $$\mathbf{x}=1,\mathbf{y}=-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}23& 56\\ 16& 39\end{array}\right)$, iar $A\cdot A-8A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$. Capcană: matricele nu se împart; din $xA\cdot A-8A=y{I}_2$ nu se „simplifică prin $A$”, ci se înmulțește cu inversa $B$, în aceeași parte la ambii membri.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Se desface paranteza și se scrie $6=4+2$: $$x\ast y=xy-2x-2y+6=\left(xy-2x-2y+4\right)+2\text{(2 p)}.$$ Primii trei termeni și $4$ formează un produs: $xy-2x-2y+4=x(y-2)-2(y-2)=(x-2)(y-2)$, deci $$x\ast y=(\mathbf{x}-2)(\mathbf{y}-2)+2,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Probă: $5\ast 4=20-18+6=8$ și $(5-2)(4-2)+2=8$. Capcană: $(x-2)(y-2)$ se desface $xy-2x-2y+4$, cu $+4$; cu $-4$, forma ar diferi de $x\ast y$ prin $8$.)

b) (5 p) Din forma de la a), cu $y=3$: $$x\ast 3=(x-2)(3-2)+2=2018\text{(2 p)}.$$ Cum $3-2=1$, ecuația devine $x-2+2=2018$, adică $$\mathbf{x}=2018\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2018\ast 3=2018\cdot 3-2\cdot 2021+6=2018$. Observație: $x\ast 3=x$ pentru orice $x$, deci $3$ este elementul neutru al legii; de aceea soluția este chiar valoarea din membrul drept.)

c) (5 p) Din forma de la a), pentru orice $x$ și $y$ reale: $$x\ast 2=(x-2)\cdot 0+2=2\text{și}2\ast y=0\cdot (y-2)+2=2\text{(2 p)}.$$ Așadar $2$ absoarbe orice element. Printre factorii produsului se află ${\log }_{2}4=2$; legea fiind asociativă, se grupează $${\log }_{2}2\ast {\log }_{2}3\ast {\log }_{2}4\ast \dots \ast {\log }_{2}2018=\left(\left({\log }_{2}2\ast {\log }_{2}3\right)\ast 2\right)\ast \left({\log }_{2}5\ast \dots \ast {\log }_{2}2018\right)=2\ast \left({\log }_{2}5\ast \dots \ast {\log }_{2}2018\right)=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: valoarea lui ${\log }_{2}3$ și a celorlalți logaritmi nu contează, fiindcă $x\ast 2=2$ pentru orice $x$. Capcană: factorii nu se calculează pe rând; ${\log }_{2}3$ nu este număr întreg, dar produsul întreg se scrie dintr-o singură privire.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $x^6-6x+10$.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=6x^5-6,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Cum $f(1)=1-6+10=5$, limita cerută este $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-5}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)=6-6=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: $x^6-6x+5=(x-1)\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x-5\right)$, iar al doilea factor este $0$ în $x=1$. Capcană: înlocuirea directă dă $0$ la numărător, fiindcă $f(1)-5=0$, și $0$ la numitor, fiindcă $1-1=0$: o nedeterminare de tipul „zero supra zero”; de aceea se folosește definiția derivatei.)

b) (5 p) Ecuația $f^{\prime }(x)=0$ înseamnă $6\left(x^5-1\right)=0$, adică $x^5=1$, deci unica soluție reală este $$f^{\prime }(x)=0⟺\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ Derivata are semnul lui $x^5-1$: negativ pentru $x<1$ și pozitiv pentru $x>1$. Așadar $f$ scade pe $(-\infty ,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$ (3 p).

(Probă: $f^{\prime }(0)=-6<0$ și $f^{\prime }(2)=6\cdot 31>0$. Capcană: $x^5=1$ nu are soluția $-1$, fiindcă $(-1{)}^5=-1$; la putere impară ecuația are o singură soluție reală.)

c) (5 p) Din b), $f(1)=5$ este valoarea cea mai mică a funcției, deci $f(x)\ge 5$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ (2 p). În particular $f(0,9)\ge 5$ și $f(1,1)\ge 5$; adunând: $$f(0,9)+f(1,1)\ge 5+5=10\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(0,9)=0,9^6-5,4+10=5,131441$ și $f(1,1)=1,1^6-6,6+10=5,171561$, iar suma lor este $10,303002$. Capcană: $0,9<1<1,1$, deci $f$ nu este monotonă pe $[0,9;1,1]$: scade până în $1$ și apoi crește; compararea valorilor nu se face prin monotonie, ci prin minim.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcția $x{e}^x$.

a) (5 p) Pentru $x\in [1,2]$, $x\ne 0$, factorul $x$ se simplifică, iar o primitivă a lui $e^x$ este $e^x$: $${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx={\int }_1^2{e}^{x}dx=e^x{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=e^2-e=\mathbf{e}(\mathbf{e}-1)\text{(2 p)}.$$

(Probă: $e^2-e=e\cdot e-e\cdot 1=e(e-1)$. Capcană: dacă se integrează $f(x)$ în loc de $\frac{f(x)}{x}$, se obține $(x-1)e^x{|}_1^2=e^2$, nu $e^2-e$.)

b) (5 p) Primitivele lui $f$ sunt $F(x)=\int x{e}^{x}dx$; integrarea prin părți, cu $u=x$ și $v^{\prime }=e^x$, dă $x{e}^x-\int e^{x}dx$: $$F(x)=x{e}^x-e^x+c=(x-1)e^x+c,c\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Condiția $F(1)=0$ înseamnă $(1-1)e+c=0$, deci $c=0$ și $$F(x)=(\mathbf{x}-1){\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left((x-1)e^x\right)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x=f(x)$. Capcană: fără condiția $F(1)=0$ constanta rămâne liberă; de pildă $(x-1)e^x+5$ este tot o primitivă, dar valoarea ei în $1$ este $5$.)

c) (5 p) Produsul $f(x)f^{\prime }(x)$ este derivata funcției $\frac{f^2(x)}{2}$; cu $f(1)=1\cdot e=e$ și $f(0)=0$: $${\int }_0^{1}f(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{f^2(x)}{2}{|}_0^1=\frac{e^2-0}{2}=\frac{1}{2}{e}^2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\frac{1}{2}{e}^2=\frac{1}{2}{e}^a$ dă $e^a=e^2$, iar exponențiala este injectivă: $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, deci integrandul este $x(x+1)e^{2x}$, iar integrala lui pe $[0,1]$ este tot $\frac{e^2}{2}$. Capcană: dacă primitiva se ia $f^2$, fără $\frac{1}{2}$, ecuația $e^2=\frac{1}{2}{e}^a$ dă $e^a=2e^2$, adică $a=2+\ln 2$, un rezultat greșit, fiindcă derivata lui $f^2$ este $2f{f}^{\prime }$, nu $f{f}^{\prime }$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina de față conține simularea din 2018, pentru clasa a XII-a, a probei E.c) de matematică M_tehnologic: o lucrare dată elevilor din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic, toate calificările profesionale) ca repetiție înaintea examenului. Antetul poartă numele Ministerului Educației Naționale și pe cel al Centrului Național de Evaluare și Examinare. Cerințele sunt reproduse cu exactitate din foaia oficială; soluțiile, probele și ghidajul le-am scris noi, iar din documentul oficial de notare am ținut doar rândurile punctate.

Cum se deosebește de lucrările din sesiunile obișnuite. Foaia nu poartă un număr de variantă: în loc de „Varianta ...” scrie „Simulare”, iar sub titlu apare mențiunea „Clasa a XII-a”. Structura rămâne cea cunoscută: fiecare subiect are 30 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, iar timpul este de trei ore; fiecare cerință sau subpunct are două rânduri punctate, adică 36 de rânduri în total.

Cerințele și clasa lor din programa de examen

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. La clasa a X-a, capitolul de numărare din programa de examen cuprinde permutări, aranjamente și combinări. Cele trei numere de la cerința 4 se scriu direct, deci nicio formulă nu e necesară.
• Nota 2. Rezolvarea triunghiului dreptunghic și valorile trigonometrice ale unghiurilor remarcabile aparțin clasei a IX-a, iar geometria din programa clasei a X-a conține și calculul unor arii. Rezolvarea de mai jos duce înălțimea din $N$ și folosește $\sin 30^{\circ }$.
• Nota 3. Legea de compoziție internă se află în capitolul „Grupuri” al clasei a XII-a din programa de examen; enunțul o declară asociativă, iar asociativitatea îngăduie gruparea factorilor produsului de la 8.c).
• Nota 4. Limita de la 9.a) este chiar derivata în $1$, iar programa clasei a XI-a conține derivata într-un punct. Minimul de la 9.b) și 9.c) vine din studiul funcțiilor cu ajutorul derivatei.
• Nota 5. La 10.b), primitiva lui $x{e}^x$ se află prin părți; metoda figurează în clasa a XII-a a programei de examen, între procedeele de integrare.

Ce are special această simulare. La cerința 4, $7$ fiind număr prim, cifrele pot fi doar $1$ și $7$; rămâne de așezat cifra $7$ pe una din cele trei poziții. În Subiectul al II-lea, determinantul lui $A$ este $1$, de aceea inversa lui $A$ are elemente întregi, iar în legea de compoziție elementul $2$ „înghite” orice alt element: $x\ast 2=2\ast x=2$, iar $3$ este elementul neutru. Printre factorii lui $8$.c) se află ${\log }_{2}4=2$, tocmai elementul care absoarbe. Subiectul al III-lea are în prima problemă minimul $f(1)=5$ și numerele $0,9$ și $1,1$, așezate de o parte și de alta a lui $1$; în a doua problemă, $f(x)/x=e^x$ și $f(x)f^{\prime }(x)$ este derivata lui $\frac{f^2(x)}{2}$.

Un plan de timp. Din cele 180 de minute: 40 pentru Subiectul I, câte 55 pentru Subiectele II și III și 30 pentru recitire și completări. Cele 40 de minute alocate Subiectului I corespund celor 30 de puncte ale lui, iar cele 110 minute alocate Subiectelor II și III corespund celor 60 de puncte ale lor.

Nota. Nota este totalul punctelor împărțit la $10$. Nota $6$ cere $60$ de puncte, adică $50$ din cele $90$ ale cerințelor, cu cele $10$ din oficiu adăugate.

Greșeli de redactare de evitat: la 1, formula $b_4=b_1{q}^4$ în loc de $b_1{q}^3$; la 3, soluția $x=-3$ păstrată, deși argumentele logaritmilor ar fi negative; la 4, cele trei numere socotite ca șase permutări ale unor cifre distincte; la 5, egalitatea cerută citită ca egalitate de vectori; la 7.c), înmulțirea cu $B$ făcută la stânga într-un membru și la dreapta în celălalt; la 8.a), semnul termenului $+4$ din $(x-2)(y-2)$; la 9.a), înlocuirea directă, care dă $\frac{0}{0}$; la 9.c), încercarea de a argumenta prin monotonie pe $[0,9;1,1]$, unde funcția nu este monotonă; la 10.b), constanta lăsată nedeterminată.

Cum folosești pagina. Rezolvă lucrarea ca într-o simulare, cu ceasul pornit, apoi verifică fiecare rând punctat. La un rând ratat te întorci la tema din tabelul de la începutul paginii. Ghidajul fiecărei cerințe are câte un pas pentru fiecare rând punctat.

Formule folosite în această simulare

• Subiectul I. $b_n=b_1{q}^{n-1}$; ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, cu $u,v>0$; distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată a sumei pătratelor diferențelor coordonatelor lor; într-un triunghi, laturile opuse unghiurilor egale sunt egale; aria triunghiului este $\frac{b\cdot h}{2}$.
• Subiectul al II-lea. înmulțirea matricelor linie cu coloană; $P\cdot P^{-1}=P^{-1}\cdot P=I_2$; o lege asociativă permite scrierea unui produs lung fără paranteze.
• Subiectul al III-lea. derivata $f^{\prime }(1)$ este limita, când $x$ tinde la $1$, a raportului dintre variația funcției și variația argumentului; într-un punct în care derivata schimbă semnul din minus în plus, funcția are un minim; o primitivă a lui $u{u}^{\prime }$ este $\frac{u^2}{2}$.

Despre litere. $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5 (și $A$, punct de pe grafic, la 2) și matrice la 7; $M$, $N$ și $P$ sunt vârfurile triunghiului de la 6, iar $b_n$ este șirul de la 1, cu rația $q$. Litera $f$ denumește trei funcții: $x^2-2x+3$ la cerința 2, $x^6-6x+10$ la 9 și $x{e}^x$ la 10. Litera $a$ este abscisa din cerința 2 și parametrul de la 10.c); $x$ și $y$ sunt necunoscutele de la 7.c) și numerele oarecare ale legii de la 8.

Denumirea „itemul” din titlurile de mai jos vine din documentul oficial și înseamnă cerința.