Test tehnologic: ecuația și funcția de gradul II

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $a$ , știind că punctul $A (a, a)$ aparține graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 19 x + 51$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2} - 7 x + 5 = 0$ . Arătați că $\frac{x _{1} + x _{2} - 3}{x _{1} x _{2}} = \frac{4}{5}$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Numerele reale $x$ și $y$ verifică $x + y = 21$ și $x y = 98$ . Calculați $∣ x - y ∣$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Care este mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $3 x^{2} - 8 x - 35 \geq 0$ ?

Variantele: a) „ $[- \frac{7}{3}; 5]$ ”; b) „ $(- \infty; - \frac{7}{3}] \cup [5; \infty)$ ”; c) „ $(- \infty; - 5] \cup [\frac{7}{3}; \infty)$ ”; d) „ $(- \frac{7}{3}; 5)$ ”.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 9 x - 36$ și $g (x) = 15 x + 19$ . Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Ce se poate spune despre soluțiile reale ale ecuației $81 x^{2} - 36 x + 4 = 0$ ?

Variantele: a) „are două soluții reale distincte”; b) „are o singură soluție reală, $\frac{2}{9}$ ”; c) „nu are nicio soluție reală”; d) „are două soluții reale, $\frac{2}{9}$ și $- \frac{2}{9}$ ”.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pe un șantier se betonează o alee de aceeași lățime, $x$ metri, pe toate cele patru laturi ale unui bazin dreptunghiular de 9 m pe 6 m. Bazinul și aleea ocupă împreună 154 m².

a) (5 puncte) Arătați că $x$ verifică ecuația $2 x^{2} + 15 x - 50 = 0$ și calculați discriminantul ei.

b) (5 puncte) Aflați lățimea aleii și costul betonării ei, dacă 1 m² de alee costă 90 de lei.

Exercițiul 8 (10 puncte)

O fermă îngrădește un țarc dreptunghiular lipit de zidul unui grajd, cu 56 m de plasă pe trei laturi; zidul nu primește plasă. Latura țarcului paralelă cu zidul are $x$ metri, iar aria țarcului este $A (x) = \frac{x ( 56 - x )}{2}$ , în m².

a) (5 puncte) Determinați valorile lui $x$ pentru care aria țarcului este de cel puțin 360 m².

b) (5 puncte) Pe latura paralelă cu zidul, stâlpii plasei se bat din 4 în 4 m, cu câte un stâlp în fiecare colț, deci $x$ este un multiplu de 4. Câte valori ale lui $x$ din intervalul găsit sunt posibile și care este aria maximă a țarcului, în m²?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Două rezistoare au rezistențele $R_{1}$ și $R_{2}$ , în Ω. Legate în serie într-un circuit, au rezistența echivalentă de 25 Ω; legate în paralel, au rezistența echivalentă de 4 Ω, dată de formula $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ .

a) (5 puncte) Calculați $R_{1} + R_{2}$ și $R_{1} R_{2}$ .

b) (5 puncte) Aflați rezistențele $R_{1}$ și $R_{2}$ , știind că $R_{1} < R_{2}$ .

Partea a III-a – Examen și sinteză (30 de puncte)

În această parte, un subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Subpunctele copiază structura cerinței 2 c) din Subiectul al II-lea al probelor oficiale. Legea de compoziție este definită prin formula din fiecare subpunct; din clasa a XII-a ai nevoie doar să înlocuiești în formulă.

a) (5 puncte) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y - 6 (x + y) + 43$ . Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n \circ n \leq 16$ .

b) (5 puncte) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y + x + y + 6$ . Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x \circ (- 2 x) \geq 0$ .

c) (5 puncte) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y - 4 (x + y) + 27$ . Arătați că $(x - 3) \circ (x + 3) \geq 2$ , pentru orice număr real $x$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Un aspersor stă în origine, la nivelul solului. Într-un plan vertical, jetul lui are forma graficului funcției $f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 2 x$ , iar sârma de ancorare a unui stâlp, întinsă oblic în același plan, are ecuația $y = g (x) = 0, 2 x + 3, 75$ , cu $x$ și $y$ în metri, pentru $x \in [0; 24]$ .

a) (5 puncte) Determinați abscisele punctelor în care jetul întâlnește sârma.

b) (5 puncte) Determinați intervalul de abscise pe care jetul trece deasupra sârmei și cea mai mare distanță pe verticală dintre jet și sârmă, în metri.

c) (5 puncte) Determinați cea mai mare înălțime la care ajunge jetul, în metri.

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare rezolvare este împărțită în pași, iar punctele unui pas apar în paranteză; orice altă rezolvare corectă primește același număr de puncte. La Partea a III-a, răspunsul singur nu ajunge: se cer și calculul, și justificarea, altfel subpunctul nu ia toate punctele. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Punctul $A (a, a)$ aparține graficului dacă $f (a) = a$ , adică $a^{2} - 19 a + 51 = a$ , deci $a^{2} - 20 a + 51 = 0$ (3 p). Discriminantul este $Δ = 400 - 204 = 196$ , iar $a = \frac{20 \pm 14}{2}$ , adică $a = 3$ sau $a = 17$ (2 p). Verificare: $f (3) = 9 - 57 + 51 = 3$ și $f (17) = 289 - 323 + 51 = 17$ . Cine scrie $f (a) = 0$ în loc de $f (a) = a$ rezolvă altă problemă: ecuația $a^{2} - 19 a + 51 = 0$ are $Δ = 361 - 204 = 157$ , care nu este pătrat perfect, deci soluții cu totul diferite.

Exercițiul 2.

Ecuația are $Δ = 49 - 20 = 29 > 0$ , deci soluțiile sunt reale, iar relațiile lui Viète dau $x_{1} + x_{2} = 7$ și $x_{1} x_{2} = 5$ (2 p). Atunci $\frac{x _{1} + x _{2} - 3}{x _{1} x _{2}} = \frac{7 - 3}{5} = \frac{4}{5}$ (3 p). Verificare: $7 - 3 = 4$ , iar numitorul este $5$ . Cine ia suma ca $- 7$ , fără să schimbe semnul lui $b$ , obține $\frac{- 7 - 3}{5} = - 2$ .

Exercițiul 3.

Numerele $x$ și $y$ sunt soluțiile ecuației $t^{2} - 21 t + 98 = 0$ (1 p). Discriminantul este $Δ = 441 - 392 = 49$ (1 p), iar $t = \frac{21 \pm 7}{2}$ , adică $14$ și $7$ (2 p). Atunci $∣ x - y ∣ = ∣ 14 - 7 ∣ = 7$ (1 p). Verificare: $14 + 7 = 21$ și $14 \cdot 7 = 98$ ; pe altă cale, discriminantul $49$ este chiar pătratul diferenței $x - y$ . Ordinea soluțiilor nu schimbă modulul.

Exercițiul 4.

Trinomul $3 x^{2} - 8 x - 35$ are $Δ = 64 + 420 = 484$ și rădăcinile $x = \frac{8 \pm 22}{6}$ , adică $5$ și $- \frac{7}{3}$ (2 p). Coeficientul lui $x^{2}$ este pozitiv, deci trinomul este pozitiv în afara rădăcinilor și nul în ele (1 p). Mulțimea soluțiilor lui „ $\geq 0$ ” este $(- \infty; - \frac{7}{3}] \cup [5; \infty)$ (1 p), adică varianta $b)$ (1 p). Verificare: pentru $x = 0$ , $3 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 35 = - 35 < 0$ , iar $0$ este între rădăcini, deci nu e soluție; pentru $x = 6$ , $3 \cdot 36 - 48 - 35 = 25 \geq 0$ . Varianta c) vine din rădăcini cu semnele schimbate, $- 5$ și $\frac{7}{3}$ .

Exercițiul 5.

Punctele comune verifică $f (x) = g (x)$ , adică $x^{2} + 9 x - 36 = 15 x + 19$ , deci $x^{2} - 6 x - 55 = 0$ (3 p). Discriminantul este $Δ = 36 + 220 = 256$ , iar $x = \frac{6 \pm 16}{2}$ , adică $x = - 5$ sau $x = 11$ (2 p). Verificare: $f (11) = 121 + 99 - 36 = 184 = 15 \cdot 11 + 19$ și $f (- 5) = 25 - 45 - 36 = - 56 = 15 \cdot (- 5) + 19$ . Cine scade $15 x + 19$ fără paranteză uită să schimbe semnul lui $19$ și ajunge la alt termen liber.

Exercițiul 6.

Discriminantul este $Δ = (- 36)^{2} - 4 \cdot 81 \cdot 4 = 1296 - 1296 = 0$ (2 p). La $Δ = 0$ ecuația are o singură soluție reală, dublă: $x = \frac{36}{162} = \frac{2}{9}$ (2 p). Afirmația adevărată este $b)$ (1 p). Verificare: $81 x^{2} - 36 x + 4 = (9 x - 2)^{2}$ , care se anulează numai pentru $x = \frac{2}{9}$ . Soluția $- \frac{2}{9}$ din varianta d) ar da $81 \cdot \frac{4}{81} + 8 + 4 = 16 \neq = 0$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Dreptunghiul format din bazin și alee are laturile $9 + 2 x$ și $6 + 2 x$ , fiindcă aleea apare la ambele capete ale fiecărei laturi (1 p), deci $(9 + 2 x) (6 + 2 x) = 154$ (1 p). Desfaci parantezele: $4 x^{2} + 30 x + 54 = 154$ , adică $4 x^{2} + 30 x - 100 = 0$ , iar prin împărțire la 2 se obține $2 x^{2} + 15 x - 50 = 0$ (1 p). Discriminantul este $Δ = 1 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 50) = 225 + 400 = 625$ (2 p).

b) (5 p) Cum $625 = 25$ , avem $x = \frac{- 15 \pm 25}{4}$ , adică $x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ sau $x = - 10$ (2 p). Lățimea nu poate fi negativă, deci aleea are $x = 2, 5$ m (1 p). Aria aleii este $154 - 9 \cdot 6 = 100$ m² (1 p), iar costul este $100 \cdot 90 = 9000$ lei (1 p). Verificare: $(9 + 5) (6 + 5) = 14 \cdot 11 = 154$ . Cine scrie $(9 + x) (6 + x) = 154$ uită că aleea apare de două ori pe fiecare dimensiune și găsește $x = 5$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) Condiția $\frac{x ( 56 - x )}{2} \geq 360$ este echivalentă cu $x (56 - x) \geq 720$ , adică $x^{2} - 56 x + 720 \leq 0$ (2 p). Discriminantul este $Δ = 3136 - 2880 = 256$ , iar $x = \frac{56 \pm 16}{2}$ , adică $20$ și $36$ (2 p). Parabola are ramurile în sus, deci trinomul este negativ între rădăcini și nul în ele: $x \in [20; 36]$ (1 p).

b) (5 p) Multiplii lui 4 din $[20; 36]$ sunt $20, 24, 28, 32, 36$ , adică $5$ valori (2 p). Aria $A (x) = \frac{x ( 56 - x )}{2}$ este maximă la mijlocul rădăcinilor, $x = 28$ , valoare multiplu de 4: $A (28) = \frac{28 \cdot 28}{2} = 392$ m² (3 p). Verificare: $A (20) = \frac{20 \cdot 36}{2} = 360$ și $A (24) = \frac{24 \cdot 32}{2} = 384$ , ambele sub $392$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) În serie, rezistențele se adună: $R_{1} + R_{2} = 25$ Ω (1 p). În paralel, $\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 4$ (2 p), deci $R_{1} R_{2} = 4 \cdot 25 = 100$ (2 p).

b) (5 p) $R_{1}$ și $R_{2}$ sunt soluțiile ecuației $t^{2} - 25 t + 100 = 0$ (1 p). Discriminantul este $Δ = 625 - 400 = 225$ (1 p), iar $t = \frac{25 \pm 15}{2}$ , adică $5$ și $20$ . Cum $R_{1} < R_{2}$ , avem $R_{1} = 5$ Ω și $R_{2} = 20$ Ω (3 p). Verificare: $5 + 20 = 25$ , iar $\frac{5 \cdot 20}{25} = 4$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) Din definiție, $n \circ n = n^{2} - 6 \cdot 2 n + 43 = n^{2} - 12 n + 43$ , deci inecuația este $n^{2} - 12 n + 27 \leq 0$ (2 p). Discriminantul este $Δ = 144 - 108 = 36$ , iar rădăcinile sunt $3$ și $9$ ; trinomul este negativ între rădăcini și nul în ele, deci $n \in [3; 9]$ , iar numerele naturale sunt $3, 4, \dots, 9$ , adică $7$ numere (3 p). Verificare: $3 \circ 3 = 9 - 36 + 43 = 16$ și $10 \circ 10 = 100 - 120 + 43 = 23 > 16$ .

b) (5 p) $x \circ (- 2 x) = x \cdot (- 2 x) + x + (- 2 x) + 6 = - 2 x^{2} - x + 6$ , deci inecuația este $- 2 x^{2} - x + 6 \geq 0$ , adică $2 x^{2} + x - 6 \leq 0$ (2 p). Discriminantul este $Δ = 1 + 48 = 49$ , iar rădăcinile sunt $- 2$ și $\frac{3}{2}$ ; trinomul este negativ între rădăcini, deci mulțimea cerută este $[- 2; \frac{3}{2}]$ (3 p). Verificare: pentru $x = 0$ , $0 \circ 0 = 6 \geq 0$ , iar $0$ este în interval; pentru $x = 2$ , $2 \circ (- 4) = - 8 + 2 - 4 + 6 = - 4 < 0$ .

c) (5 p) $(x - 3) \circ (x + 3) = (x - 3) (x + 3) - 4 \cdot 2 x + 27 = x^{2} - 9 - 8 x + 27 = x^{2} - 8 x + 18$ (2 p). Inegalitatea cerută este $x^{2} - 8 x + 18 \geq 2$ , adică pătratul diferenței dintre $x$ și 4 este cel puțin zero, ceea ce se întâmplă pentru orice $x$ real; egalitatea are loc numai la $x = 4$ (3 p). Verificare: pentru $x = 4$ , $1 \circ 7 = 7 - 32 + 27 = 2$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) Punctele comune verifică $f (x) = g (x)$ : $- 0, 05 x^{2} + 1, 2 x = 0, 2 x + 3, 75$ , adică $- 0, 05 x^{2} + x - 3, 75 = 0$ ; înmulțind cu $- 20$ , se obține $x^{2} - 20 x + 75 = 0$ (3 p). Discriminantul este $Δ = 400 - 300 = 100$ , iar $x = \frac{20 \pm 10}{2}$ , adică $5$ și $15$ (2 p).

b) (5 p) Diferența $f (x) - g (x) = - 0, 05 (x^{2} - 20 x + 75) = - 0, 05 (x - 5) (x - 15)$ este pozitivă între rădăcini, deci jetul trece deasupra sârmei pe $(5; 15)$ (2 p). Distanța este maximă la mijlocul intervalului, $x = 10$ , iar valoarea ei este $- 0, 05 \cdot (10 - 5) (10 - 15) = 1, 25$ m (3 p).

c) (5 p) Jetul are ramurile în jos, iar vârful este la $x_{v} = \frac{- 1 , 2}{2 \cdot ( - 0 , 05 )} = 12$ (2 p). Înălțimea maximă este $f (12) = - 0, 05 \cdot 144 + 1, 2 \cdot 12 = 7, 2$ m (3 p). Verificare: $f (11) = - 6, 05 + 13, 2 = 7, 15$ și $f (13) = - 8, 45 + 15, 6 = 7, 15$ , ambele sub $7, 2$ ; vârful stă între ele, la $x = 12$ .

Pentru părinți și profesori

Testul reia suplimentul de gradul al doilea din clasa a IX-a, filiera tehnologică, și cele cinci lecții ale lui: „Ecuația de gradul II pentru tehnologic: Delta”, „Viète: suma și produsul rădăcinilor, tehnologic”, „Suma și produsul date: liceu tehnologic”, „Când trinomul e pozitiv: liceu tehnologic” și „Puncte comune dreaptă–parabolă: la tehnologic”. Numerele reale, mulțimile și șirurile au testul lor, „Test tehnologic: numere reale, mulțimi, șiruri”, la fel funcțiile, inecuațiile de gradul I și sistemele, în „Test tehnologic: funcții, inecuații și sisteme”.

Punctaj: în total 100 de puncte, adică 90 de puncte din rezolvarea exercițiilor și 10 puncte din oficiu.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: lucrarea se face fără ajutor, pe foaie, fără calculator; rezultatele sunt exacte, iar lungimile, ariile și rezistențele se scriu cu unitatea lor. La Partea a III-a contează drumul, nu doar răspunsul: un rezultat scris fără calcul și fără justificare rămâne fără punctele subpunctului. Pentru fiecare exercițiu, ghidajul oferă pași scurți, fiecare cu o întrebare cu patru variante ori cu un număr de aflat, iar o variantă greșită spune ce nu merge; îl deschizi când rămâi blocat.
La 90–100 de puncte: suplimentul este gata, treci mai departe.
La 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul pornit, exercițiile la care ai greșit.
La 60–74 de puncte: reiei lecția potrivită din tabel pentru fiecare exercițiu cu mai puțin de jumătate din puncte, iar testul se repetă după o săptămână.
Sub 60 de puncte: reiei cele cinci lecții în ordine și lucrezi testul cu ghidajul deschis de la capăt.
Formule de reținut: pentru $a x^{2} + b x + c = 0$ cu $a \neq = 0$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , cu două soluții reale dacă $Δ > 0$ , una dublă dacă $Δ = 0$ și niciuna reală dacă $Δ < 0$ ; pentru $Δ \geq 0$ , $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ și $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ; numerele $x$ și $y$ cu $x + y = s$ și $x y = p$ sunt soluțiile ecuației $t^{2} - s t + p = 0$ , care are soluții reale numai dacă $Δ = s^{2} - 4 p \geq 0$ ; pentru $Δ > 0$ , valoarea $a \cdot f (x)$ este negativă între rădăcini și pozitivă în afara lor, iar pentru $Δ \leq 0$ este mai mare sau egală cu zero pentru orice $x$ ; abscisele punctelor comune ale unei drepte și ale unei parabole sunt soluțiile ecuației $f (x) = g (x)$ , adică $f (x) - g (x) = 0$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 6, 7	ecuația de gradul II: forma generală, $Δ$ , numărul și valorile soluțiilor	Ecuația de gradul II pentru tehnologic: Delta
2	relațiile lui Viète și expresii scrise cu suma și produsul soluțiilor	Viète: suma și produsul rădăcinilor, tehnologic
3, 9	sistemul $x + y = s$ , $x y = p$	Suma și produsul date: liceu tehnologic
4, 8, 10	semnul trinomului, inecuația de gradul II	Când trinomul e pozitiv: liceu tehnologic
5, 11	punctele comune ale unei drepte și ale unei parabole	Puncte comune dreaptă–parabolă: la tehnologic

Exercițiile 1, 2, 5 și 10 sunt marcate „tip Bacalaureat M3”. Exercițiile 1, 2 și 5 reiau cerința 2 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026 (un punct pe graficul unei funcții, o expresie cu suma și produsul soluțiilor, abscisele punctelor de intersecție), iar exercițiul 10 are, în trei variante reale, forma cerinței 2 c) din Subiectul al II-lea (o inecuație de gradul al doilea scrisă cu o lege de compoziție). Valorile, funcțiile și legile sunt noi.

Programa și examenul. Prezentul test aparține suplimentului pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: ecuația de gradul al doilea, relațiile lui Viète, sistemele cu suma și produsul cunoscute, inecuațiile de gradul al doilea și poziția relativă a unei drepte față de o parabolă fac parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu le are sau le are doar în parte. Printre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026, ecuația de gradul al doilea a apărut în 36, la Subiectul I, Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, relațiile lui Viète în 6 probe, la Subiectul I, sistemele cu suma și produsul într-o singură probă, la Subiectul al II-lea, inecuațiile de gradul al doilea în 22 de probe, la Subiectul al II-lea, iar poziția relativă a dreptei față de parabolă în 3 probe, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6), ecuația de gradul al doilea reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la toate cele patru profiluri, inecuațiile de gradul al doilea, parțial, în aceeași unitate la profilurile MAT_P4 și MAT_P5, iar poziția relativă a dreptei față de parabolă, parțial, în unitatea IX.4 (funcții, lecturi grafice) la toate cele patru profiluri; relațiile lui Viète și sistemele cu suma și produsul nu sunt în programa de examen.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.