Divizibilitatea numerelor naturale — clasa a V-a

Un număr se divide cu altul dacă împărțirea lor dă restul zero. Din această singură propoziție ies divizorii, multiplii, criteriile care scurtează verificarea și numerele prime. La clasa a V-a capitolul are opt lecții și două teste.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Capitolul vine după puteri și metode aritmetice și chiar înaintea fracțiilor, iar poziția asta îi dă rostul: fără divizori nu se simplifică o fracție, iar fără multipli nu se aduce la numitor comun. Mai jos ai cele opt lecții, criteriile, exercițiile rezolvate și cele două teste.

Ce se evaluează din divizibilitate în clasa a V-a

Anul acesta trebuie să recunoști când un număr se divide cu altul, să folosești criteriile ca să verifici repede și să rezolvi probleme practice cu divizori și multipli. Iată tipurile de cerință și cum sună fiecare, formulate ca la clasă (programa în vigoare: OMEN 3393/2017):

Aceleași lucruri se cer din nou la sfârșitul gimnaziului; cerințele de divizibilitate date la examen, an cu an, sunt strânse pe divizibilitate la Evaluarea Națională.

Teorie: cele opt lecții ale capitolului

Ordinea merge de la definiție la criterii și de la criterii la aplicații.

• Divizor și multiplu al unui număr natural. Relația de divizibilitate — lecția care lămurește cine pe cine divide și de ce cele două cuvinte se rostesc în ordine inversă. Confuzia dintre ele face cerințele următoare imposibile.
• Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun (cmmdc) prin enumerare — se scriu divizorii fiecărui număr, se taie ce nu apare la amândouă și se ia ultimul rămas. Metoda e lentă, dar arată de unde vine rezultatul.
• Multipli comuni. Cel mai mic multiplu comun (cmmmc) prin enumerare — același procedeu, pe multipli, și instrumentul care deschide adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
• Criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, 100, 1000 — cele care se citesc din ultima cifră. Sunt primele fiindcă se verifică fără niciun calcul.
• Criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9 — cele care cer o adunare a cifrelor. Aici apare și primul tip de cerință cu cifră necunoscută.
• Criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 25 (extindere) — se citesc din ultimele două cifre. Nu sunt în programa clasei a V-a, care cere criteriile cu 2, 5, 10, 3 și 9; se predau ca extindere, la clasă și la concursuri, iar pe site sunt marcate ca extindere.
• Numere prime și numere compuse — aici înveți să împarți numerele în două tabere, după câți divizori au, și afli de ce 0 și 1 nu intră în niciuna.
• Probleme de divizibilitate din viața cotidiană — lecția în care se decide, din enunț, dacă se caută un divizor comun sau un multiplu comun.

Formule

Criteriile sunt formulate scurt și se învață pe grupe, după ce parte a numărului trebuie privită:

• Criteriul cu 2, criteriul cu 5 și criteriul cu 10 — se deschid la a patra lecție și se verifică dintr-o privire, fără să scrii nimic.
• Criteriul cu 3 și criteriul cu 9 — se folosesc de la a cincea lecție și sunt singurele care cer un calcul intermediar.
• Criteriul cu 4 și criteriul cu 25 — apar la lecție și la extindere.

Tema întreagă este la divizibilitate, iar termenii sunt definiți scurt la divizor, multiplu, număr prim, număr compus, rest și cât.

Ce nu se face la clasa a V-a, deși apare în multe culegeri. Descompunerea în factori primi și aflarea cmmdc și cmmmc din descompunere sunt materie de clasa a VI-a. În clasa a V-a amândouă se află prin enumerare, iar baremele punctează enumerarea. Tot de anul viitor este și relația dintre cmmdc și cmmmc, formula care le leagă înmulțit. „Numere prime între ele" se învață însă chiar în acest an, la lecția de divizori comuni: înseamnă că singurul divizor comun este 1. Restul le găsești, când le vine rândul, pe hub-ul clasei a VI-a.

Un exemplu propriu, cu cele două criterii care se încurcă între ele: numărul 4.518. Suma cifrelor este 4 + 5 + 1 + 8 = 18. Optsprezece se divide și cu 3, și cu 9, deci numărul se divide cu amândouă. Pentru 4.512, suma este 12: se divide cu 3, dar nu cu 9. Același număr, 4.512, se divide și cu 4, fiindcă ultimele două cifre formează 12, iar 12 se împarte exact la 4.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt douăsprezece, fiecare cu răspunsul bun, explicația lui și trimiterea la lecția de unde vine, ascunse sub butonul „Vezi rezolvarea". Acoperă relația de divizibilitate, scrierea divizorilor și a multiplilor, toate criteriile învățate și recunoașterea numerelor prime. Problema practică are aici o singură cerință, cea cu buchetele de flori împărțite egal. Cerințele cu cifră necunoscută nu apar deloc pe pagina asta. Pe ele lucrezi la cerința a opta din testul de criterii și numere prime, tot acolo unde stau și ultimele două probleme practice ale capitolului.

Exerciții cu verificare

Testul ghidat de criterii și numere prime este locul unde lucrezi tu, în pagină, iar aplicația te ajută numai când rămâi blocat. La divizibilitate ghidajul intervine mai ales la cerințele cu cifră necunoscută, unde se pleacă de la un criteriu și se ajunge la mai multe soluții — momentul în care se scrie una singură și se pierd puncte pe restul.

Teste cu barem

Testele capitolului se dau la distanță, unul mai devreme, celălalt la final; baremul stă deschis sub cerințe, în josul paginii.

• Test: divizori, multipli, cmmdc și cmmmc — pornește de la divizori, multipli, cmmdc și cmmmc prin enumerare, dar trece și prin criterii: cinci dintre cele paisprezece cerințe cer criteriul cu 3, potrivirea criteriilor, un divizor mascat și, la final, cele cu 4 și cu 25. Are și două probleme practice, cu alune de împărțit în grămezi egale și cu doi clopoței care sună la intervale diferite. 14 cerințe, 50 de minute și 100 de puncte, cu 10 din oficiu. Se dă primul.
• Test: criterii de divizibilitate și numere prime — duce greul pe cele șapte criterii, pe numerele prime și pe cerințele cu cifră necunoscută, dar ultimele cinci cerințe reiau divizorii comuni, multiplii comuni, cmmdc și cmmmc, cu două probleme practice. 16 cerințe, 45–50 de minute, 100 de puncte; aici nu se acordă puncte din oficiu, deci punctajul se împarte integral pe cerințe.

Divizibilitatea revine și în recapitularea de numere naturale, puteri și divizibilitate.

Cum îți verifici singur rezultatul

Capitolul are o verificare care se face în două secunde și pe care criteriile o fac ușor de uitat: după orice răspuns dat cu un criteriu, fă împărțirea și uită-te la rest. Criteriul este o scurtătură, definiția rămâne împărțirea cu rest zero; când cele două nu se potrivesc, criteriul a fost aplicat greșit. Locurile în care verificarea prinde greșeala:

1. Între criteriul cu 3 și cel cu 9 — suma cifrelor se calculează o dată, dar se compară cu două lucruri diferite. Împărțirea arată imediat care dintre cele două afirmații e adevărată.
2. La criteriul cu 4 — se privesc ultimele două cifre, nu ultima. Un număr care se termină în cifră pară nu se divide automat cu 4.
3. La numere prime — după ce ai spus „este prim", împarte-l pe rând la 2, la 3, la 5, la 7, la 11 și așa mai departe. Te oprești când câtul ajunge mai mic decât numărul cu care împarți: de acolo încolo n-ai ce să mai găsești. Dacă nicio împărțire n-a ieșit exact, numărul e într-adevăr prim.
4. La cmmdc și cmmmc — numărul găsit trebuie să împartă exact amândouă numerele, respectiv să se împartă exact la amândouă. Sunt două împărțiri, iar ele despart rezultatul corect de cel scris din grabă.

Recapitulare și repetare înainte de test

Capitolul se reia, împreună cu numerele naturale și puterile, în recapitulare: numere naturale, puteri și divizibilitate. Pentru repetat scurt sunt mini-lecțiile divizori comuni și cmmdc, multipli comuni și cmmmc, numere prime și numere compuse și probleme de divizibilitate.

Cum arată o lucrare pe acest capitol vezi la teze și lucrări scrise de clasa a V-a. De tipărit și rezolvat acasă ai fișe de lucru.

De aici încolo

Divizibilitatea se folosește imediat la fracții ordinare, la simplificare și la numitorul comun, și se sprijină pe operații cu numere naturale, de unde vine împărțirea cu rest. Scrierea numerelor mari cu care lucrează criteriile e la puteri. Restul capitolelor sunt strânse pe hub-ul clasei a V-a.

Întrebări frecvente

Din câte lecții e format capitolul de divizibilitate?

Opt. Primele trei sunt despre relația de divizibilitate, divizori comuni și multipli comuni, următoarele trei despre criterii, apoi vine lecția de numere prime și, la final, cea de probleme practice. Pe lângă ele ai douăsprezece exerciții rezolvate și două lucrări cu barem, fiecare cu cerințe din tot capitolul, dar cu accent diferit.

De unde încep dacă nu înțeleg cerințele cu divizori?

De la prima lecție, cea care lămurește ordinea cuvintelor. Aproape toate blocajele de la acest capitol vin de acolo, nu din calcul. După ce ordinea e clară, mergi pe lecții în ordinea din pagină și oprește-te la exercițiile rezolvate după lecția a treia.

Ce îmi trebuie învățat dinainte ca să pot începe?

Împărțirea cu rest și tabla înmulțirii. Divizibilitatea este definită prin restul împărțirii, deci dacă împărțirea cu rest nu e sigură, criteriile rămân niște reguli memorate care nu se pot verifica. Tabla înmulțirii scurtează enumerarea divizorilor: fără ea, scrierea divizorilor lui 36 durează cât tot exercițiul.

În ce ordine se învață criteriile și de ce contează ordinea?

Întâi cele cu 2, 5 și 10: se citesc din ultima cifră și nu cer niciun calcul. Apoi cele cu 3 și 9, care cer suma cifrelor. La final, cele cu 4 și 25, care se uită la ultimele două cifre. Ordinea crește după efortul de verificare, iar dacă se sare peste prima grupă, criteriul cu 4 se confundă imediat cu cel cu 2.

Trebuie învățate criteriile pe de rost?

Criteriile se rețin prin folosire, nu prin recitare, iar în lucrare oricum se aplică, nu se enunță. La început ajută să le ții minte pe grupe: unele se citesc din ultima cifră, unele din ultimele două, iar cele cu 3 și cu 9 din suma cifrelor. Cine ține minte grupa nu greșește criteriul, chiar dacă nu-l poate rosti cuvânt cu cuvânt.

Ce capitole nu se pot începe fără divizibilitate?

La fracții, imediat: divizorii comuni servesc la simplificare, iar multiplii comuni la aducerea la același numitor. Cerințele de la fracții presupun capitolul acesta știut, nu îl mai explică. Mai departe, în clasa a VI-a, tot de aici pornesc descompunerea în factori primi și metoda rapidă de aflare a cmmdc.

Care sunt capcanele pe care le caută cerințele de la acest capitol?

Trei, și se repetă an de an. Prima: ordinea cuvintelor — 3 este divizor al lui 12, iar 12 este multiplu al lui 3, nu invers. A doua: numerele 0 și 1, care nu sunt nici prime, nici compuse, fiindcă definiția cere ca numărul să fie mai mare decât 1. A treia: criteriul cu 4 se citește din ultimele două cifre, nu din ultima. Toate trei se lămuresc la prima lecție, la numere prime și numere compuse și la criteriile cu 4 și cu 25.