Puterea cu exponent natural — clasa a V-a

O putere este o înmulțire de factori egali scrisă pe scurt: baza spune ce număr se înmulțește, exponentul de câte ori. Din definiția asta ies toate cele patru reguli de calcul ale capitolului. La clasa a V-a sunt opt lecții și două teste.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Puterile vin imediat după operațiile cu numere naturale și schimbă felul în care scrii numerele mari: de aici încolo, orice exercițiu cu ordinea operațiilor poate să aibă și o putere în el. Mai jos ai cele opt lecții, regulile, exercițiile rezolvate și cele două teste.

Ce se evaluează din puteri în clasa a V-a

Capitolul cere trei lucruri: să scrii o înmulțire repetată ca putere, să aplici regulile de calcul și să compari două puteri. În lucrare ele sună așa (programa în vigoare: OMEN 3393/2017):

Cerințele care combină puterile cu parantezele apar până la finalul gimnaziului; cele date la examen se văd pe pagina de examen a ordinii operațiilor.

Teorie: cele opt lecții ale capitolului

Prima lecție dă definiția, a doua cazurile speciale, următoarele trei dau cele patru reguli, ultimele trei le pun la lucru.

• Puterea cu exponent natural: definiție, bază și exponent. Pătratul și cubul unui număr — lecția care fixează cine e baza și cine e exponentul. Confuzia dintre ele produce 2⁵ = 10, adică greșeala tipică a capitolului.
• Cazuri speciale de puteri și puterile lui 10 — exponentul 0, exponentul 1, baza 0 și baza 1, plus șirul puterilor lui 10, cel care se folosește la scrierea numerelor mari.
• Reguli de calcul: produsul puterilor cu aceeași bază — prima regulă, cea în care exponenții se adună. Se cere condiția „aceeași bază" la fiecare aplicare.
• Reguli de calcul: câtul puterilor cu aceeași bază — regula pereche, cu scăderea exponenților și cu grija ca exponentul de sus să fie mai mare sau egal cu cel de jos.
• Puterea unei puteri și puterea unui produs — cele două reguli care se încurcă între ele mai des decât toate celelalte, fiindcă la una exponenții se înmulțesc, iar la cealaltă se distribuie.
• Compararea puterilor — cazul cu aceeași bază, cazul cu același exponent și cazul general, care se rezolvă aducând puterile la o formă comună.
• Scrierea unui număr natural în baza 10 folosind puteri ale lui 10 — descompunerea unui număr după poziții, adică explicația scrisă a sistemului zecimal.
• Scrierea numerelor în baza 2 (fără operații) și pătrate perfecte — lecția care arată că se poate număra și altfel decât din zece în zece, plus recunoașterea numerelor care sunt pătrate perfecte.

Formule

Regulile capitolului se scriu în câteva rânduri, dar fiecare are o condiție care se uită repede:

• Definiția puterii și exponentul 0 — se deschid la primele două lecții și sunt cele pe care le desfaci ori de câte ori nu ești sigur de o regulă.
• Înmulțirea puterilor cu aceeași bază și împărțirea puterilor cu aceeași bază — regulile lecțiilor a treia și a patra; amândouă cer baze identice, altfel nu se aplică.
• Puterea unei puteri și puterea unui produs — perechea de la lecția a cincea, cea care cere atenție la ce se înmulțește și ce se distribuie.
• Compararea puterilor cu aceeași bază și ultima cifră a puterilor — prima e regula lecției a șasea; a doua nu are lecție proprie, dar apare în cerințele în care numărul e prea mare ca să fie calculat.
• Scrierea în baza 10 — formula din spatele lecției a șaptea, cea care leagă puterile de scrierea obișnuită a numerelor.

Familia întreagă de reguli stă la puteri; cuvintele folosite aici sunt definite în câteva rânduri la putere, exponent, pătrat perfect și număr natural.

Ce nu intră la clasa a V-a. Puterile cu exponent negativ nu fac parte din programa acestui an: ele capătă sens abia după numerele raționale, deci se învață tot în clasa a VI-a, o dată cu acelea. La fel, radicalul, care este operația inversă a ridicării la pătrat, apare în clasa a VII-a; aici pătratele perfecte se recunosc, nu se extrag.

Un exemplu propriu, cu cele două reguli care se confundă: (2³)² și 2³ · 2². La prima, exponenții se înmulțesc: (2³)² = 2⁶ = 64. La a doua, exponenții se adună: 2³ · 2² = 2⁵ = 32. Aceleași cifre în enunț, două rezultate care diferă de două ori. Desfacerea în înmulțire arată de ce: (2·2·2)·(2·2·2) are șase factori, iar (2·2·2)·(2·2) are cinci.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt în număr de douăsprezece, cu câte patru răspunsuri de ales; sub „Vezi rezolvarea" găsești răspunsul bun, explicația lui și lecția de unde a venit cerința. Acoperă definiția, cazurile speciale, cele patru reguli de calcul, compararea puterilor și scrierea în baza 10. Baza 2 are aici o singură cerință, iar pătratele perfecte niciuna — pe ele lucrezi la cerința a douăsprezecea din testul de comparare și scriere cu puteri.

Exerciții cu verificare

În testul ghidat de definiția și regulile puterilor calculezi în pagină, iar aplicația intervine doar acolo unde te oprești. La puteri aplicația te oprește în momentul în care o regulă se aplică unor baze diferite: exercițiul arată corect, calculul e corect, dar condiția regulii nu era îndeplinită.

Teste cu barem

Cele două teste ating amândouă tot capitolul, dar apasă în locuri diferite; baremul și rezolvările se citesc deschis, în josul paginii de test.

• Test: definiția puterii și regulile de calcul — apasă pe definiție, pe cazurile speciale și pe cele patru reguli, iar ultimele trei cerințe sunt compararea, baza 10 și pătratele perfecte. 15 cerințe și 45–50 de minute; 10 dintre cele 100 de puncte se dau din oficiu.
• Test: compararea puterilor și scrierea numerelor cu puteri ale lui 10 — reia întâi definiția și cele patru reguli, apoi apasă pe comparare, pe baza 10, pe baza 2 și pe pătratele perfecte. 14 cerințe, 40–45 de minute, 100 de puncte, din care 6 din oficiu.

Cum îți verifici singur rezultatul

Capitolul are o verificare care se face pe marginea foii și care nu cere să știi regula: desfă puterea în înmulțire de factori egali și numără factorii. Regulile capitolului sunt prescurtări ale acestei numărători, deci orice regulă aplicată greșit se vede când o desfaci. Se folosește direct în două locuri; în al treilea ține loc de probă, iar în al patrulea arată dacă ai ales regula potrivită:

1. La produsul puterilor cu aceeași bază — 2³ · 2² desfăcut are trei factori plus doi, adică cinci. Exponentul rezultatului este 5, nu 6.
2. La puterea unei puteri — (2³)² înseamnă 2³ luat de două ori ca factor, deci șase factori. Aici exponenții se înmulțesc, iar desfacerea arată exact de ce.
3. La exponentul 0 — 2⁰ nu se poate desface, dar se citește din câtul 2³ : 2³, care este 1. Verificarea prin cât e singura care lămurește de ce rezultatul nu e zero.
4. La comparare — 2¹⁰ și 10² nu au nici bază, nici exponent comun, deci se calculează: 1.024 față de 100. Comparația „după bază", adică 10² socotit mai mare fiindcă are baza mai mare, ar da răspunsul invers.

Desfacerea nu se folosește la exponenți mari, unde ar dura prea mult; acolo o faci pe un caz mic, cu aceiași exponenți micșorați, și verifici doar dacă regula aleasă e cea potrivită.

Recapitulare și repetare înainte de test

Recapitularea din care face parte capitolul este recapitulare: numere naturale, puteri și divizibilitate. Pentru repetare scurtă sunt mini-lecțiile puterea cu exponent natural, scrierea unui număr în baza 10 și scrierea numerelor în baza 2 și pătrate perfecte.

Pentru lucrarea de la clasă intră în teze și lucrări scrise. De exersat pe hârtie sunt fișele de lucru ale anului.

De aici încolo

Puterile continuă operațiile cu numere naturale, de unde vine înmulțirea repetată, și rescriu ce s-a învățat la numere naturale despre poziția cifrelor. Mai departe, exponenții apar în cerințele de la divizibilitate, unde numerele se dau scrise ca puteri. Celelalte capitole le găsești pe hub-ul clasei a V-a, iar continuarea materiei, pe hub-ul clasei a VI-a.

Întrebări frecvente

Din câte lecții e alcătuit capitolul de puteri?

Opt. Prima dă definiția și numele părților, a doua cazurile speciale și puterile lui 10, următoarele trei regulile de calcul, iar ultimele trei compararea, scrierea în baza 10 și pătratele perfecte. Lângă ele stau douăsprezece exerciții rezolvate și două lucrări cu barem; fiecare atinge toate cele opt lecții, dar cere mai mult din alt loc.

De unde încep dacă am încurcat regulile între ele?

De la definiție, nu de la reguli. Cine poate scrie 2⁴ ca 2 · 2 · 2 · 2 poate reconstrui orice regulă în zece secunde, iar cine ține minte doar „se adună exponenții" nu are cum să afle care regulă i se potrivește exercițiului din față. După definiție, ia regulile una câte una, cu câte trei exerciții între ele.

Ce anume din capitolele dinainte îmi trebuie la puteri?

Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale, plus ordinea operațiilor. Puterile sunt înmulțiri scrise pe scurt, iar regula câtului este o împărțire; dacă înmulțirea nu e sigură, calculul lui 3⁵ devine mai greu decât regula pe care exercițiul o testează. Ordinea operațiilor apare imediat, la exercițiile cu paranteze și puteri.

Ce se leagă de ce, dacă vreau să reconstruiesc singur regulile?

Totul pornește de la o singură propoziție: puterea e o înmulțire de factori egali. Din ea ies cele patru reguli, prin numărarea factorilor. Din regula câtului ies cazurile speciale, cel cu exponentul zero inclusiv. Iar din puterile lui 10 iese scrierea numerelor mari. Lecțiile sunt așezate mai sus exact în ordinea asta, iar cazurile speciale explică fiecare situație cu exemplul ei.

Care lecție a capitolului dă de furcă și de ce?

Compararea puterilor, fiindcă e singura fără o regulă care merge de fiecare dată. Dacă bazele sunt la fel, câștigă exponentul mai mare. Dacă exponenții sunt la fel, câștigă baza mai mare. Dacă nu seamănă nimic, se caută o formă comună sau se calculează. Celelalte șapte lecții cer o singură mișcare, aceasta cere o alegere — și abia după ce ai ales știi ce ai de calculat. Greșeala care apare des este să te uiți doar la baze sau doar la exponenți, fără celălalt.

La ce folosesc puterile mai departe?

La scrierea numerelor mari, la divizibilitate, unde numerele se dau adesea ca produse de puteri, și la aria și volumul din capitolul de unități de măsură, care se scriu cu exponenții 2 și 3. În clasa a VI-a intră în descompunerea în factori primi, iar în clasa a VII-a se leagă de radicali.

De ce se termină capitolul cu baza 2 și cu pătratele perfecte?

Fiindcă sunt cele două ferestre pe care le deschide capitolul. Baza 2 arată că sistemul zecimal e o alegere, nu o lege — calculatoarele numără altfel —, iar pătratele perfecte pregătesc rădăcina pătrată din clasa a VII-a. Niciuna nu se cere pe larg aici. La baza 2 se scriu numere, fără să se calculeze cu ele. Iar pătratele perfecte se recunosc dintr-un șir învățat pe de rost: 1, 4, 9, 16, 25.