Divizibilitate: ce s-a dat la Evaluarea Națională, 2015–2023

Pagina strânge fiecare cerință dată la Evaluarea Națională pe tema Divizibilitate: divizori, multipli, numere prime, în 2015–2023: 31 de cerințe din 31 de documente oficiale ale ministerului, grupate pe ani, fiecare cu subiectul, baremul și rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Tema apare abia din 2015, iar în subiectele de după 2023 nu mai apare. Majoritatea cad la Subiectul I, unde răspunsul se alege dintre patru variante. Examenul se dă în clasa a VIII-a (clasa a 8-a, clasa 8), dar tema se predă din clasa a VI-a, iar aici o vezi în forma cerută la examen.

De unde vin cerințele astea. 31 de cerințe sunt din documente oficiale ale Ministerului Educației — modele CNPEE/CNEE, examenele din iunie, sesiunile de rezervă și cele speciale, simulările naționale și testele oficiale de pregătire, 2010–2026 —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai. Una e exercițiu scris de noi, după aceeași structură (6 + 6 + 6 cerințe, 90 de puncte plus 10 din oficiu), și e scoasă într-o secțiune separată, mai jos. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt, la toate, ale noastre. Numărătoarea publicată pe analiza subiectelor de Evaluare Națională folosește o fereastră mai îngustă — cele șapte variante de sesiune principală 2021–2026 — și e clasificată de mână; pagina asta numără altceva, pe alt corpus, iar diferența e spusă acolo unde apare.

Cât de des cade tema «Divizibilitate» la Evaluarea Națională

• 31 de cerințe din cele 2.412 ale corpusului (1,3 %), în 31 de probe din 134.
• A apărut în 6 ani din cei 17, între 2015 și 2023.
• Cade mai ales la Subiectul I (22 de cerințe la Subiectul I, 8 la al II-lea, 1 la al III-lea).
• Aduce 155 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
• Dificultatea medie: 1,32 din 3 — în general cerințe de deschidere, din cele care se rezolvă în câteva rânduri.

Din cele 31 de cerințe, 5 sunt din sesiuni de examen (iunie, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește divizibilitate ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din subiectul în care cade cerința (Subiectul I = 1, al II-lea = 2, al III-lea = 3). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele oficiale pe tema «Divizibilitate», an cu an

2023 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Numărul natural scris în baza zece, de forma $\overline{17x}$, divizibil cu $10$, este egal cu:

2022 — 4 cerințe

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al III-lea, cerința 1 · 5 p · dificultate 3/3 — Suma a două numere naturale $a$ și $b$ este egală cu… → Numerele $14$ și $28$ îndeplinesc condițiile din enunț?… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mic multiplu comun al numerelor $2$ și $5$ este egal cu: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mic multiplu comun al numerelor $20$ și $24$ este egal cu: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Un divizor al numărului $75$ este:

2021 — 11 cerințe

sesiunea de rezervă — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mare număr natural de două cifre, multiplu al numărului $20$, este egal cu: sesiunea iunie, varianta 3 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Dintre numerele $15$, $17$, $25$ și $30$, numărul divizibil cu $10$ este: modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Scrierea numărului $432$ ca produs de puteri de numere prime distincte este: modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mare divizor prim al numărului $154$ este numărul: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 4 · 5 p · dificultate 1/3 — Dintre următoarele secvențe de numere, cea care conține numai numere divizibile cu $5$ este: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Suma divizorilor naturali ai lui $10$ este numărul: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Dintre numerele $12$, $13$, $14$ și $15$, numărul divizibil cu $6$ este: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Dintre numerele $2020$, $2021$, $2022$ și $2023$, numărul divizibil cu $3$ este: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Produsul a două numere prime este egal cu $14$. Suma celor două numere prime este egală cu: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Suma tuturor numerelor naturale, care sunt divizori ai numărului $20$, este egală cu: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Numărul natural de forma $\overline{2x}$ divizibil cu $6$ este:

2020 — 12 cerințe

sesiunea iunie, varianta 1 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 2/3 — Se consideră din nou numărul real $x=3^{47}:3^{45}-2^{40}:2^{38}$ (care este egal cu $5$) și numărul real… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mare număr natural divizibil cu $3$ din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ este egal cu: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați cifrele $a$ și $b$, știind că numărul $\overline{1ab}$ are suma cifrelor egală cu $8$ și este divizibil cu… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mare număr natural, care este multiplu de $20$, din mulțimea $A=\{10,20,30,\dots ,90\}$ este: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 · 5 p · dificultate 2/3 — Arătați că, pentru orice număr natural $n$, numărul natural $N=5\cdot 7^n-3\cdot 7^{n+1}+7^{n+2}$ este divizibil cu $11$… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma $\overline{3bc}$, știind că sunt divizibile cu $5$ și cu $9$… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mare divizor comun al numerelor $12$ și $18$ este egal cu: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mare număr divizibil cu $5$ din mulțimea $A=\left\{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\right\}$ este: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mare număr natural de două cifre divizibil cu $10$ este: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 2/3 — Se consideră numerele reale $a={\left(-3\right)}^{25}:3^{22}+2^{40}:16^9+5$ și… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 2 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mic multiplu comun al numerelor $6$ și $9$ este egal cu: test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul I, cerința 3 · 5 p · dificultate 1/3 — Cel mai mic număr natural de două cifre, divizibil cu $3$, este egal cu:

2018 — 2 cerințe

sesiunea iunie, varianta 6 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 · 5 p · dificultate 2/3 — Se consideră numărul natural $N=2^{n+3}-2^{n+2}+7\cdot 2^{n+1}-2^n$, pentru orice număr natural $n$. Numărul $N$ este… sesiunea de rezervă — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
• Subiectul al II-lea, cerința 2 · 5 p · dificultate 2/3 — Produsul a două numere naturale este egal cu $108$. Știind că $6$ este cel mai mare divizor comun al lor, suma celor…

2015 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 2 · 5 p · dificultate 2/3 — Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma $\overline{abc}$, știind că sunt divizibile cu $5$ și au suma…

Exerciții Matepolis pe aceeași temă

1 exercițiu din simulările scrise de noi, după structura oficială (6 + 6 + 6 cerințe, 90 de puncte plus 10 din oficiu). Nu au fost date la examen — sunt de exersat după ce termini cerințele oficiale de mai sus.

Fără an (exerciții Matepolis) — 1 cerință

simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

• Subiectul al II-lea, cerința 3 · 5 p · dificultate 2/3 — Se consideră numărul $E=2^{2n+3}\cdot 25^n-4^n\cdot 5^{2n}$, unde $n\in \mathbb{N}$. Scris sub forma…

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

• Numere prime și numere compuse. Ciurul lui Eratostene — clasa a VI-a
• Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime — clasa a VI-a
• Numere prime între ele. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. — clasa a VI-a
• Numere prime și numere compuse — clasa a V-a
• Divizor și multiplu al unui număr natural. Relația de divizibilitate — clasa a V-a
• Relația de divizibilitate. Divizori și multipli — clasa a VI-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

• Test: criterii de divizibilitate și numere prime — Aventura pe Insula Comorii
• Test: divizori, multipli, cmmdc și cmmmc — Clasa a V-a
• Fișă de exersare: divizibilitate și probleme
• Test: factori primi, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Divizibilitate», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

• ce intră la Evaluarea Națională spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
• analiza subiectelor de Evaluare Națională arată cum au arătat subiectele oficiale 2021–2026, pe capitole, nu pe temă;
• Evaluarea Națională la matematică e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a VIII-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Numere reale, radicali, ordinea operațiilor mai are 3 teme cu pagină proprie:

• Ordinea operațiilor și puterile — 200 de cerințe
• Radicali și operații cu radicali — 192 de cerințe
• Numere naturale, întregi, raționale și reale — 177 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu divizibilitate s-au dat la Evaluarea Națională?

31 de cerințe în documentele oficiale ale ministerului pe care le avem transcrise, în 2015–2023, plus 1 exercițiu scris de noi, numărate separat.

Tema «Divizibilitate» cade la Subiectul I sau mai încolo?

La Subiectul I cad 22 din cele 31 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt cerințe cu variante de răspuns, unde contează viteza și grija la calcul.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 155 de puncte în 2015–2023. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,0 puncte din cele 90.

E o temă ușoară?

Tema stă în zona de început a probei, unde cerințele se rezolvă în câteva rânduri. Dificultatea medie iese 1,32 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a VI-a?

De la Numere prime și numere compuse. Ciurul lui Eratostene, lecția care o predă de la zero, apoi Test: criterii de divizibilitate și numere prime — Aventura pe Insula Comorii, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Toate exercițiile de aici au fost date la examen?

Cerințele din lista de sus, da: vin din 134 de documente oficiale ale ministerului. Cele 1 de la „Exerciții Matepolis” sunt scrise de noi și marcate ca atare — nu se amestecă niciodată în aceeași cifră.