Evaluare sumativă tehnologic — clasa a XII-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=4xy-8x-8y+18$. Care dintre numerele de mai jos este elementul neutru al legii?

Variantele: a) „$2$”; b) „$\frac{9}{4}$”; c) „$\frac{1}{4}$”; d) „$6$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{23}$ ecuația $\hat{5}x+\hat{7}=\hat{3}$. Apoi află cel mai mic număr natural $n$, mai mare decât $100$, a cărui clasă $\hat{n}$ este soluția ecuației.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Care este gradul polinomului $f=(2X^2-X+3)(X^2+4X-1)-2X^4$?

Variantele: a) „$4$”; b) „$3$”; c) „$7$”; d) „$14$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{(2x+3{)}^2}{x}$. Determină primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(1)=20$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Calculează ${\int }_1^{3}x(x^2-1{)}^{3}dx$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Graficul funcției $g:[1;2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{6x^2+2x}$, se rotește în jurul axei $Ox$. Calculează volumul corpului obținut.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O pompă de epuizment scoate apa dintr-o carieră de piatră. Debitul ei, în m³ pe oră, la $t$ ore de la pornire, este $q(t)=-t^3+5t^2+mt+24$, pentru $0\le t\le 6$, unde $m$ este un reglaj al pompei. La $t=6$ pompa se oprește, deci debitul ei este atunci zero.

a) (5 puncte) Află $m$ și scrie câtul împărțirii lui $q$ la $t-6$.

b) (5 puncte) Calculează câți m³ de apă scoate pompa în cele 6 ore.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Într-un atelier de mobilă, ușile de stejar trec printr-un carusel de lăcuire cu 24 de stații, numerotate de la 0 la 23. După fiecare ciclu, caruselul avansează ușa cu 18 stații, iar după stația 23 urmează iar stația 0.

a) (5 puncte) O ușă pornește de la stația 0. După câte cicluri $t$, cu $1\le t\le 24$, se află ea la stația 6? Rezolvă ecuația $\widehat{18}t=\hat{6}$ în ${\mathbb{Z}}_{24}$ și arată de ce ${\mathbb{Z}}_{24}$ nu este corp.

b) (5 puncte) O altă ușă pornește de la stația 5. La ce stație ajunge după 7 cicluri? Ce avans, între 0 și 23 de stații, anulează un ciclu de 18 stații?

Exercițiul 9 (10 puncte)

O pompă de dozare trimite într-o seră un îngrășământ lichid cu debitul $r(t)=8t+\frac{36}{3t+2}$ litri pe oră, la $t$ ore de la pornire, pentru $0\le t\le 10$.

a) (5 puncte) Află cantitatea $Q(t)$ de îngrășământ dozată de la pornire până la ora $t$, știind că $Q(0)=0$.

b) (5 puncte) Câți litri se dozează între $t=2$ și $t=10$? Rotunjește la unitate; se dă $\ln 2\approx 0,693$.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\circ y=2xy-16x-16y+136$ și se consideră polinomul $f=X^3-12X^2+mX-36$, cu $m$ număr real și rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=2(x-8)(y-8)+8$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu $X-3$.

c) (5 puncte) Calculați $(x_1\circ x_2)\circ x_3$, pentru $m$ găsit la b).

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-42x+135$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_5^{9}f(x)dx=-32$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2(f^{\prime }(x)+48)e^{x}dx=12e^2$.

c) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, de axa $Ox$ și de dreptele de ecuații $x=3$ și $x=11$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare este scrisă pe pași, cu punctele între paranteze; o altă rezolvare, corectă, ia aceleași puncte. La Partea a III-a se cere calculul întreg: rezultatul scris singur, fără pașii care duc la el, ia doar o parte din punctele subpunctului. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Elementul neutru $e$ cere $x\circ e=x$ pentru orice $x$, adică $4xe-8x-8e+18=x$ (2 p). Grupăm termenii cu $x$: $(4e-9)x=8e-18$; egalitatea ține pentru orice $x$ numai dacă $4e-9=0$, deci $e=\frac{9}{4}$, iar atunci și $8e-18=0$ (2 p). Răspunsul este $\mathbf{b})$ (1 p). Verificare: $x\circ \frac{9}{4}=9x-8x-18+18=x$. Pentru $e=2$ ar ieși $x\circ 2=8x-8x-16+18=2$, adică rezultatul nu depinde de $x$; pentru $e=\frac{1}{4}$ ar ieși $x\circ \frac{1}{4}=x-8x-2+18=16-7x$; varianta $6$ o obține cine adună la $2$ coeficientul $4$ al lui $xy$, în loc de inversul lui, $\frac{1}{4}$, iar pentru $e=6$ ar ieși $x\circ 6=24x-8x-48+18=16x-30$.

Exercițiul 2.

Din $\hat{5}x+\hat{7}=\hat{3}$ rezultă $\hat{5}x=\hat{3}-\hat{7}=\widehat{-4}=\widehat{19}$ (2 p). Numărul 23 este prim, deci $\hat{5}$ are invers: $5\cdot 14=70=3\cdot 23+1$, adică ${\hat{5}}^{-1}=\widehat{14}$ (1 p). Atunci $x=\widehat{14}\cdot \widehat{19}=\widehat{266}=\widehat{13}$ (1 p). Numerele naturale $n$ cu $\hat{n}=\widehat{13}$ sunt cele care dau restul $13$ la împărțirea cu $23$: $13$, $36$, $59$, $82$, $105$, …; cel mai mic mai mare decât $100$ este $n=105$ (1 p). Verificare: $5\cdot 13+7=72=3\cdot 23+3$ și $5\cdot 105+7=532=23\cdot 23+3$. Cine scrie $\hat{3}-\hat{7}=\hat{4}$, fără să țină seama de modulul 23, obține $x=\widehat{14}\cdot \hat{4}=\widehat{56}=\widehat{10}$, dar $5\cdot 10+7=57=2\cdot 23+11$, nu $3$ modulo 23.

Exercițiul 3.

Termenul de gradul 4 al produsului este $2X^2\cdot X^2=2X^4$, care se reduce cu $-2X^4$ (2 p). Termenul următor este $2X^2\cdot 4X+(-X)\cdot X^2=8X^3-X^3=7X^3$, diferit de zero, deci $f=7X^3-3X^2+13X-3$ și gradul este $3$ (3 p), adică varianta $\mathbf{b})$. Verificare: $f(1)=7-3+13-3=14$ și $(2-1+3)(1+4-1)-2=14$. Varianta a) uită reducerea lui $2X^4$, varianta c) ia coeficientul lui $X^3$ drept grad, iar varianta d) ia suma coeficienților.

Exercițiul 4.

Se desface pătratul și se împarte fiecare termen la $x$: $f(x)=\frac{4x^2+12x+9}{x}=4x+12+\frac{9}{x}$ (2 p). Din tabel, primitivele lui $f$ sunt $F(x)=2x^2+12x+9\ln x+C$ (2 p). Din $F(1)=2+12+0+C=20$ rezultă $C=6$, deci $\mathbf{F}(\mathbf{x})=2{\mathbf{x}}^2+12x+9\ln \mathbf{x}+6$ (1 p). Verificare: derivata lui $2x^2+12x+9\ln x+6$ este $4x+12+\frac{9}{x}$, adică $f(x)$. Cine ia primitiva numărătorului și o împarte la primitiva numitorului greșește: primitiva unui cât nu este câtul primitivelor, iar fracția se desface întâi.

Exercițiul 5.

Se alege $t=x^2-1$, cu $dt=2xdx$, deci $xdx=\frac{dt}{2}$ (1 p). Capătul $x=1$ dă $t=0$, iar capătul $x=3$ dă $t=8$ (1 p). În variabila $t$, integrala este $\frac{1}{2}{\int }_0^8{t}^{3}dt=\frac{1}{2}[\frac{t^4}{4}{]}_0^8$ (1 p), adică $\frac{4096}{8}=512$ (2 p). Verificare: derivata lui $\frac{(x^2-1{)}^4}{8}$ este $x(x^2-1{)}^3$. Dacă limitele rămân 1 și 3, ar ieși $\frac{1}{2}\cdot \frac{3^4-1^4}{4}=10$.

Exercițiul 6.

Volumul este $V=\pi {\int }_1^{2}g(x{)}^{2}dx$ (1 p), iar pătratul scoate radicalul: $g(x{)}^2=6x^2+2x$ (1 p). Funcția $g^2$ are primitiva $F(x)=2x^3+x^2$ (1 p); în capete, $F(2)=16+4=20$ și $F(1)=2+1=3$ (1 p). Rezultă $V=\pi (20-3)=17\pi$ (1 p). Verificare: derivata lui $2x^3+x^2$ este $6x^2+2x$, adică $g(x{)}^2$. Cine scrie volumul fără pătrat, cu $g(x)$ în loc de $g(x{)}^2$ sub integrală, rămâne cu un radical pe care primitivele uzuale nu-l pot integra; pătratul din formulă este cel care îl scoate.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Pompa se oprește la $t=6$, deci $q(6)=0$. Pe coeficienții $-1$, $5$, $m$, $24$ tabelul lui Horner cu $a=6$ dă: $-1$; $5+6\cdot (-1)=-1$; $m+6\cdot (-1)=m-6$; ultimul număr $24+6(m-6)=6m-12$ (2 p). Ultimul număr este restul și trebuie să fie $0$, deci $\mathbf{m}=2$ (1 p). Câtul are coeficienții $-1$, $-1$, $m-6=-4$, adică $-{\mathbf{t}}^2-\mathbf{t}-4$ (2 p). Verificare: $q(0)=24$ și $(0-6)(-4)=24$. Cine ia $a=-6$, la $t+6$, obține $q(-6)=420-6m=0$, deci $m=70$.

b) (5 p) Cu $m=2$, $q(t)=-t^3+5t^2+2t+24$, iar volumul scos este ${\int }_0^{6}q(t)dt$ (1 p). O primitivă este $-\frac{t^4}{4}+\frac{5t^3}{3}+t^2+24t$ (1 p), cu valoarea $-324+360+36+144=216$ în $t=6$ (2 p) și $0$ în $t=0$. Pompa scoate $216$ m³ (1 p). Verificare: $q(t)=(6-t)(t^2+t+4)$ este pozitiv pe $[0;6)$, deci integrala nu poate fi negativă, iar debitul mediu, $\frac{216}{6}=36$ m³ pe oră, este sub cea mai mare valoare a debitului, $q(3,5)\approx 49,4$ m³ pe oră. Cine scrie primitiva lui $5t^2$ ca $5t^3$ obține $-324+1080+36+144=936$ m³, ceea ce ar cere un debit mediu de 156 m³ pe oră.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Ecuația cere ca $18t$ și $6$ să dea același rest la împărțirea cu 24. Pentru $t=1,2,\dots ,24$, produsul $\widehat{18}t$ ia, în ordine, valorile $\widehat{18}$, $\widehat{12}$, $\hat{6}$, $\hat{0}$, repetate de șase ori (2 p). Valoarea $\hat{6}$ apare pentru $t=3,7,11,15,19,23$, deci ușa e la stația 6 după $3,7,11,15,19$ sau $23$ de cicluri (1 p). Ecuația are șase soluții, nu una; în plus $\widehat{18}\cdot \hat{4}=\widehat{72}=\hat{0}$ cu $\widehat{18}\ne \hat{0}$ și $\hat{4}\ne \hat{0}$, iar $24$ nu este prim, deci ${\mathbb{Z}}_{24}$ are divizori ai lui zero și nu este corp (2 p). Verificare: $18\cdot 7=126=5\cdot 24+6$. (Capcană: dacă se împarte ca în $\mathbb{R}$, $t=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$, iese un număr care nu este număr de cicluri.)

b) (5 p) După 7 cicluri ușa a avansat $7\cdot 18=126$ de stații, iar $5+126=131=5\cdot 24+11$, deci ajunge la stația $11$ (3 p). Avansul care anulează 18 este opusul lui $\widehat{18}$ în $({\mathbb{Z}}_{24},+)$, adică $\widehat{24-18}=\hat{6}$ (2 p). Verificare: $18+6=24=\hat{0}$. (Capcană: cine uită stația de pornire obține $126=5\cdot 24+6$, adică stația 6.)

Exercițiul 9.

a) (5 p) Termenul $8t$ are primitiva $4t^2$ (1 p). Pentru $\frac{36}{3t+2}$, primitiva este $\frac{36}{3}\ln (3t+2)=12\ln (3t+2)$ (2 p), deci $Q(t)=4t^2+12\ln (3t+2)+C$. Din $Q(0)=12\ln 2+C=0$ rezultă $C=-12\ln 2$, adică $\mathbf{Q}(\mathbf{t})=4{\mathbf{t}}^2+12\ln \frac{3t+2}{2}$ (2 p). Verificare: derivata lui $12\ln (3t+2)$ este $\frac{36}{3t+2}$.

b) (5 p) Cantitatea dozată între $t=2$ și $t=10$ este $Q(10)-Q(2)$ (1 p). Avem $Q(10)=400+12\ln 16$ și $Q(2)=16+12\ln 4$ (2 p), deci diferența este $384+12\ln 4=384+24\ln 2$ (1 p). Numeric, $24\cdot 0,693=16,632$, adică $400,632$, deci aproximativ $401$ litri (1 p). Verificare: debitul crește de la $r(2)=20,5$ la $r(10)\approx 81,1$ litri pe oră, deci în 8 ore se dozează între $164$ și $649$ litri, iar $401$ se află între ele. Cine scrie primitiva lui $\frac{36}{3t+2}$ ca $36\ln (3t+2)$, fără împărțirea la 3, obține $384+36\ln 4\approx 434$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Dezvoltăm membrul drept: $2(x-8)(y-8)+8=2(xy-8x-8y+64)+8$ (2 p). Înmulțind cu $2$, obținem $2xy-16x-16y+128+8=2xy-16x-16y+136=x\circ y$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ (3 p).

(Capcană: se înmulțește cu $2$ numai produsul $xy$, iar ceilalți termeni rămân neschimbați, $2xy-8x-8y+64+8$; legea nu se regăsește.)

b) (5 p) Polinomul este divizibil cu $X-3$ dacă și numai dacă $f(3)=0$ (2 p). Avem $f(3)=27-108+3m-36=3m-117$, deci $\mathbf{m}=39$ (3 p).

(Probă: cu tabelul lui Horner, coeficienții $1$, $-12$, $39$, $-36$ dau $1$, $-9$, $12$ și restul $0$. Capcană: se ia $X+3$ în loc de $X-3$, adică $f(-3)=-171-3m=0$, și iese $m=-57$.)

c) (5 p) Din a), $x_1\circ x_2=2(x_1-8)(x_2-8)+8$, deci $(x_1\circ x_2)\circ x_3=2(x_1\circ x_2-8)(x_3-8)+8=4(x_1-8)(x_2-8)(x_3-8)+8$ (2 p). Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2+x_3=12$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=39$ și $x_1{x}_2{x}_3=36$, deci $(x_1-8)(x_2-8)(x_3-8)=36-8\cdot 39+64\cdot 12-512=-20$, iar $(x_1\circ x_2)\circ x_3=4\cdot (-20)+8=-72$ (3 p).

(Probă: valoarea lui $f$ în $8$ este $20$, iar produsul celor trei diferențe este opusul ei. Capcană: factorul $2$ se scrie o singură dată, $2\cdot (-20)+8=-32$; legea are $2$ la fiecare dintre cele două compuneri.)

Exercițiul 11.

a) (5 p) Cu primitiva $F(x)=x^3-21x^2+135x$ și formula Leibniz–Newton, avem ${\int }_5^{9}f(x)dx=F(9)-F(5)$, cu $F(9)=729-1701+1215=243$ și $F(5)=125-525+675=275$ (3 p). Rezultă $243-275=-32$ (2 p).

(Probă: derivata lui $F$ este $3x^2-42x+135$. Capcană: se scad în ordine inversă valorile, $F(5)-F(9)=32$.)

b) (5 p) Avem $f^{\prime }(x)=6x-42$, deci $f^{\prime }(x)+48=6x+6$. Cu $u=6x+6$ și $v^{\prime }=e^x$, deci $u^{\prime }=6$ și $v=e^x$, integrarea prin părți dă ${\int }_0^2(6x+6)e^{x}dx=[(6x+6)e^x{]}_0^2-{\int }_0^{2}6e^{x}dx$ (3 p). Valoarea parantezei este $18e^2-6$, iar integrala rămasă are valoarea $6(e^2-1)$, deci rezultatul este $18e^2-6-6e^2+6=12{\mathbf{e}}^2$ (2 p).

(Probă: derivata lui $6x{e}^x$ este $6e^x+6x{e}^x=(6x+6)e^x$, iar $[6x{e}^x{]}_0^2=12e^2$. Capcană: se uită integrala rămasă și se păstrează doar $18e^2-6$.)

c) (5 p) Funcția are rădăcinile $5$ și $9$, deoarece $f(x)=3(x-5)(x-9)$. Pe $[3;5]$ avem $f\ge 0$, pe $[5;9]$ avem $f\le 0$, iar pe $[9;11]$ avem $f\ge 0$, deci aria este ${\int }_3^{5}f-{\int }_5^{9}f+{\int }_9^{11}f$ (3 p). Cu $F(3)=27-189+405=243$ și $F(11)=1331-2541+1485=275$, integralele sunt $F(5)-F(3)=32$, $F(9)-F(5)=-32$ și $F(11)-F(9)=32$, deci aria este $32+32+32=96$ (2 p).

(Probă: aria este pozitivă și are unitatea lui $x$ înmulțită cu a lui $f$. Capcană: se calculează direct ${\int }_3^{11}f(x)dx=F(11)-F(3)=32$, adică semnele se compensează, iar suprafețele de sub axă se scad în loc să se adune.)

Pentru părinți și profesori

Lucrarea strânge într-un singur loc cele șase unități ale clasei a XII-a, filiera tehnologică, adică toate cele 19 lecții: legile de compoziție și grupurile, inelele și corpurile, polinoamele, primitivele, integrala definită și aplicațiile ei. Exercițiile nu rămân fiecare în câte o unitate. Un polinom cu parametru dă debitul unei pompe, iar integrala lui spune câtă apă iese din carieră; un carusel cu 24 de stații se descrie în inelul claselor de resturi; o lege de compoziție și un polinom se întâlnesc într-un calcul cu rădăcinile. Testele de unitate rămân locul în care fiecare lecție se exersează singură, iar aici se vede dacă le poți folosi pe mai multe deodată. Dintre cele 19 lecții, morfismul de grupuri, integrala pe tronsoane și fracțiile din integrală n-au un exercițiu al lor în lucrare; ele rămân testelor de unitate.

• Punctaj: 90 de puncte din cele 11 exerciții și 10 puncte din oficiu fac 100 de puncte în total.
• Timp: 90 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, pe foaie, fără calculator. Rezultatele ies exacte; o rotunjire apare numai la exercițiul 9, unde enunțul dă valoarea lui $\ln 2$. La Partea a III-a se scriu toți pașii. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în pași scurți, începând cu o întrebare cu patru variante, și îl deschizi doar la exercițiul care nu iese.
• 90–100 de puncte: unitățile sunt stăpânite și poți trece la simulările de Bacalaureat.
• 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, exercițiile care au pierdut puncte.
• 60–74 de puncte: găsești în tabelul de mai jos unitatea cu cele mai puține puncte, reciți lecțiile ei și refaci lucrarea peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi unitățile în ordine, câte una pe săptămână, cu testul fiecăreia, și abia apoi reiei evaluarea.
• Formule de reținut: o lege scrisă $x\circ y=k(x+a)(y+a)-a$ se recunoaște dezvoltând parantezele, iar elementul neutru $e$ cere $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$; în ${\mathbb{Z}}_n$, $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$ și $-\hat{k}=\widehat{n-k}$; ${\mathbb{Z}}_n$ este corp exact când $n$ este prim, iar atunci $\hat{a}x=\hat{b}$ dă $x={\hat{a}}^{-1}\hat{b}$ pentru $\hat{a}\ne \hat{0}$; $\mathrm{grad}(f\cdot g)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$ pentru polinoame nenule, $f=(X-a)q+f(a)$ și $(X-a)\mid f⟺f(a)=0$; la un polinom de gradul 3, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ și $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$; $F^{\prime }=f$ definește primitiva, iar $\frac{1}{x}\to \ln x$ pe $(0;+\infty )$; ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, iar la substituția $t=u(x)$ se schimbă și limitele în $u(a)$ și $u(b)$; integrarea prin părți este ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; aria este ${\int }_a^{b}f(x)dx$ când $f\ge 0$, iar când graficul taie axa $Ox$ în $c$, aria are câte o integrală pe fiecare tronson, luată cu semnul care o face pozitivă; volumul corpului de rotație este $V=\pi {\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx$.

Harta materiei. Lecțiile sunt împărțite pe unități astfel: 4, 2, 4, 2, 5 și 2. Proporțional cu ele, cele 90 de puncte s-ar împărți în 18,95 · 9,47 · 18,95 · 9,47 · 23,68 · 9,47. Subpunctele au câte 5 puncte, deci proporția se respectă doar aproximativ. Unitățile 2, 3, 4, 5 și 6 se abat cu cel mult 1,32 puncte, iar unitatea 1 primește 15 puncte, cu 3,95 mai puține decât i-ar reveni, fiindcă morfismul de grupuri nu are exercițiu în lucrare. Un exercițiu cu mai multe subpuncte poate atinge mai multe unități: fiecare subpunct se trece la unitatea lecției pe care o folosește.

Marcajul „tip Bacalaureat M3” apare la exercițiile 10 și 11. Exercițiul 10 are forma problemei 2 din Subiectul al II-lea, iar exercițiul 11 pe cea a problemei 2 din Subiectul al III-lea; fiecare are trei cerințe de câte 5 puncte despre aceleași obiecte, dar cu numere și funcții care nu apar în probele oficiale. Exercițiile 1–6 sunt de rutină, iar 7, 8 și 9 sunt situații din meserii; ele nu poartă marcaj.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Legile de compoziție, polinoamele și relațiile lui Viète se cer la Subiectul al II-lea, problema 2, iar primitivele, integrala definită, aria și volumul la Subiectul al III-lea, problema 2. Ultima coloană a celui de-al doilea tabel spune în câte dintre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026 se cere tema primei lecții din rândul respectiv. Morfismul de grupuri face parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 2, dar nu a apărut în probele 2013–2026; fiind în programă, poate fi cerut. Grupul ${\mathbb{Z}}_n$ a apărut într-o singură probă. Inelul și corpul fac parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 2, dar nu au apărut în probele 2013–2026; fiind în programă, pot fi cerute. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.