Evaluare sumativă tehnologic — clasa a XI-a

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Exercițiile 1–6 valorează câte 5 puncte fiecare.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dau matricele $A = (149 3 - 6 - 5 7)$ și $B = 4 - 2 6 815 - 3$ . Calculează elementul de pe linia a doua și coloana întâi din matricea $A \cdot B$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A (x) = x 5 - 1 3 x + 1 12 - 2 4 x - 2$ . Calculați $det A (- 2)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Care este inversa matricei $A = (15763)$ ?

Variantele: a) $(3 - 7 - 6 15)$ ; b) $(1 - \frac{7}{3} - 2 5)$ ; c) $(5 - \frac{7}{3} - 2 1)$ ; d) $(1 \frac{7}{3} 25)$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Află numărul real $a$ pentru care limita $x \to 4 lim \frac{3 x ^{2} - 8 x + a}{x - 4}$ este un număr real, apoi calculează această limită.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 3 x - 3) e^{x}$ . Arătați că $f^{'} (x) = x (x + 5) e^{x}$ , $x \in R$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Pe ce mulțime este continuă funcția $f (x) = \frac{ln ( x - 3 )}{x ^{2} - 25}$ ?

Variantele: a) $(3; + \infty)$ ; b) $R ∖ {- 5; 5}$ ; c) $(3; 5) \cup (5; + \infty)$ ; d) $[3; 5) \cup (5; + \infty)$ .

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pe un șantier de împădurire lucrează un tractor cu freză și un ajutor. Fie $x$ costul unei ore de tractor și $y$ costul unei ore de ajutor, în lei. Prima parcelă a costat 1330 de lei, cu 6 ore de tractor și 14 ore de ajutor. A doua parcelă a costat 1610 lei, cu 9 ore de tractor și 10 ore de ajutor.

a) (5 puncte) Scrie sistemul pe care îl verifică $x$ și $y$ și rezolvă-l cu metoda lui Cramer. Care este costul unei ore de tractor și al unei ore de ajutor?

b) (5 puncte) A treia parcelă are forma triunghiului $A B C$ , cu vârfurile $A (40; 80)$ , $B (160; 200)$ și $C (220; 60)$ , coordonatele fiind în metri. Pe un hectar, pregătirea terenului cere 5 ore de tractor și 15 ore de ajutor. Calculează aria parcelei cu ajutorul determinantului și află cât costă pregătirea ei, cu costurile orare de la a).

Exercițiul 8 (10 puncte)

După pasteurizare, un lot de lapte trece printr-un schimbător de căldură, apoi într-un tanc de răcire, unde se păstrează la rece. Temperatura lui, în grade Celsius, la $t$ minute după ieșirea din pasteurizator, este

$T (t) = {82 - 2 t, 4 + a e^{- 0, 2 (t - 12)}, 0 \leq t \leq 12 t > 12$

unde $a$ este un număr real stabilit de reglajul tancului. Un reglaj greșit rupe graficul modelului în $t = 12$ , iar un lot real de lapte nu își poate schimba temperatura brusc.

a) (5 puncte) Pentru $a = 20$ , calculează limitele laterale ale lui $T$ în $t = 12$ și valoarea $T (12)$ . Are graficul un salt în $t = 12$ ? Cât este el?

b) (5 puncte) Află valoarea lui $a$ pentru care graficul nu are salt în $t = 12$ . Pentru această valoare, spre ce temperatură se îndreaptă lotul când $t \to + \infty$ ?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un atelier de mobilă își urmărește profitul lunar din fabricarea dulapurilor. Dacă produce și vinde într-o lună $x$ zeci de dulapuri, profitul este $P (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 36 x$ zeci de lei, pentru $0 \leq x \leq 9$ .

a) (5 puncte) Arată că $P^{'} (x) = - 3 (x - 6) (x + 2)$ și calculează $P^{'} (3)$ . Ce arată numărul găsit?

b) (5 puncte) Află intervalele pe care profitul crește și intervalele pe care scade. Pentru câte zeci de dulapuri vândute este profitul maxim și cât este el?

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A = (13964)$ , $B (m) = (m - 9 - 6 13)$ și $C = (644495)$ , unde $m$ este număr real, și matricea unitate $I_{2} = (1001)$ .

a) (5 puncte) Arătați că $det A = - 2$ .

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $A \cdot B (m) = - 2 I_{2}$ .

c) (5 puncte) Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $A \cdot X = C$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : (- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 5 x + 5}{x + 3}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) ( x + 5 )}{( x + 3 ) ^{2}}$ , $x \in (- 3, + \infty)$ .

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

Barem și răspunsuri

Baremul descrie rezolvarea pe pași, iar fiecare pas are, între paranteze, punctele lui. O rezolvare corectă, scrisă într-un alt fel, primește același punctaj. Rezultatele finale sunt îngroșate. La Partea a III-a, un rezultat fără calculul care duce la el nu primește tot punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Produsul $A \cdot B$ există, fiindcă $A$ are 3 coloane, iar $B$ are 3 linii, și are 2 linii și 2 coloane (1 p). Elementul de pe linia a doua și coloana întâi se obține înmulțind elementele liniei a doua din $A$ cu ale coloanei întâi din $B$ , în ordine, și adunând produsele (1 p): $9 \cdot 4 + (- 6) \cdot (- 2) + 7 \cdot 6 = 36 + 12 + 42 = 90$ (3 p). Verificare: celelalte trei elemente ale produsului sunt $20$ , $172$ și $- 39$ , iar $90$ este singurul care vine din linia a doua și coloana întâi. Cine înmulțește linia a doua cu coloana a doua obține $9 \cdot 8 + (- 6) \cdot 15 + 7 \cdot (- 3) = - 39$ , adică elementul vecin.

Exercițiul 2.

Pentru $x = - 2$ matricea este $A (- 2) = - 2 5 - 1 3 - 1 12 - 2 4 - 4$ (2 p). Prin regula lui Sarrus se adună trei produse și se scad alte trei. Cele care se adună dau $(- 2) \cdot (- 1) \cdot (- 4) + 3 \cdot 4 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 5 \cdot 12 = - 8 - 12 - 120 = - 140$ , iar cele care se scad au suma $(- 2) \cdot (- 1) \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 4 \cdot 12 + 3 \cdot 5 \cdot (- 4) = - 2 - 96 - 60 = - 158$ ; deci $det A (- 2) = - 140 - (- 158) = 18$ (3 p). Verificare, cu dezvoltarea după linia a treia, unde complementele algebrice sunt 10, $- 2$ și $- 13$ : $(- 1) \cdot 10 + 12 \cdot (- 2) + (- 4) \cdot (- 13) = - 10 - 24 + 52 = 18$ . Cine adună cele două sume, în loc să le scadă, obține $- 140 + (- 158) = - 298$ .

Exercițiul 3.

Determinantul este $15 \cdot 3 - 6 \cdot 7 = 45 - 42 = 3 \neq = 0$ , deci matricea este inversabilă (2 p). Inversa se obține schimbând între ele elementele diagonalei principale, schimbând semnul celor de pe diagonala secundară și împărțind la determinant: $A^{- 1} = \frac{1}{3} (3 - 7 - 6 15)$ (2 p), adică $(1 - \frac{7}{3} - 2 5)$ , răspunsul $b)$ (1 p). Verificare: primul element al produsului $A \cdot A^{- 1}$ este $15 \cdot 1 + 6 \cdot (- \frac{7}{3}) = 15 - 14 = 1$ . Varianta a) uită împărțirea la determinant, varianta c) nu schimbă între ele elementele diagonalei principale, iar varianta d) nu schimbă semnele diagonalei secundare.

Exercițiul 4.

Numitorul $x - 4$ tinde la 0, deci câtul are limită finită numai dacă și numărătorul tinde la 0 (1 p): $3 \cdot 4^{2} - 8 \cdot 4 + a = 16 + a = 0$ , de unde $a = - 16$ (1 p). Pentru $a = - 16$ numărătorul se descompune, $3 x^{2} - 8 x - 16 = (3 x + 4) (x - 4)$ (2 p), iar pentru $x \neq = 4$ câtul este $3 x + 4$ , deci limita este $3 \cdot 4 + 4 = 16$ (1 p). Verificare: pentru $x = 4, 01$ câtul $3 x + 4$ este $3 \cdot 4, 01 + 4 = 16, 03$ , aproape de 16. Pentru $a = 0$ numărătorul ar tinde la $3 \cdot 4^{2} - 8 \cdot 4 = 16$ , iar câtul ar crește fără oprire în valoare absolută.

Exercițiul 5.

Cu regula produsului, $f^{'} (x) = (x^{2} + 3 x - 3)^{'} \cdot e^{x} + (x^{2} + 3 x - 3) \cdot (e^{x})^{'} = (2 x + 3) e^{x} + (x^{2} + 3 x - 3) e^{x}$ (3 p). Se scoate $e^{x}$ factor comun: $f^{'} (x) = (x^{2} + 5 x) e^{x} = x (x + 5) e^{x}$ (2 p). Verificare: pentru $x = 1$ , coeficientul lui $e^{x}$ este $(2 + 3) + (1 + 3 - 3) = 6$ , iar $1 \cdot (1 + 5) = 6$ . Cine înmulțește derivatele celor doi factori, $u^{'} \cdot v^{'}$ , obține numai primul termen de mai sus și pierde al doilea.

Exercițiul 6.

Funcția este continuă pe domeniul ei, deci îl căutăm. Logaritmul $ln (x - 3)$ cere $x - 3 > 0$ , adică $x > 3$ (2 p); fracția cere $x^{2} - 25 \neq = 0$ , adică $x \neq = 5$ și $x \neq = - 5$ (2 p). Numărul $- 5$ nu se află în intervalul $(3; + \infty)$ , iar 5 se scoate din el, deci mulțimea este $(3; 5) \cup (5; + \infty)$ , adică $c)$ (1 p). Verificare: în $x = 4$ funcția are valoarea $\frac{ln 1}{16 - 25} = 0$ , iar în $x = 3$ logaritmul nu are sens, deci $3$ nu este în domeniu. Varianta a) uită zeroul numitorului, varianta b) uită condiția logaritmului, iar varianta d) include capătul 3.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Sistemul este $6 x + 14 y = 1330$ și $9 x + 10 y = 1610$ (1 p). Determinantul sistemului este $Δ = 6 \cdot 10 - 14 \cdot 9 = 60 - 126 = - 66 \neq = 0$ (1 p). În $Δ_{x}$ coloana lui $x$ se înlocuiește cu termenii liberi, iar în $Δ_{y}$ coloana lui $y$ : $Δ_{x} = 1330 \cdot 10 - 14 \cdot 1610 = 13300 - 22540 = - 9240$ și $Δ_{y} = 6 \cdot 1610 - 9 \cdot 1330 = 9660 - 11970 = - 2310$ (2 p). Rezultă $x = \frac{- 9240}{- 66} = 140$ lei pe oră pentru tractor și $y = \frac{- 2310}{- 66} = 35$ lei pe oră pentru ajutor (1 p). Verificare: $6 \cdot 140 + 14 \cdot 35 = 840 + 490 = 1330$ și $9 \cdot 140 + 10 \cdot 35 = 1260 + 350 = 1610$ . Cine înlocuiește coloana greșită ajunge la costurile inversate, 35 de lei pentru tractor și 140 de lei pentru ajutor.

b) (5 p) Aria este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , cu $Δ = 401602208020060111$ . Cele trei produse cu plus sunt $40 \cdot 200 + 80 \cdot 220 + 160 \cdot 60 = 8000 + 17600 + 9600 = 35200$ , iar cele trei produse cu minus au suma $220 \cdot 200 + 40 \cdot 60 + 80 \cdot 160 = 44000 + 2400 + 12800 = 59200$ (2 p). Atunci $Δ = 35200 - 59200 = - 24000$ , iar aria este $\frac{1}{2} \cdot 24000 = 12000$ m², pentru că modulul scoate semnul minus; un hectar are 10 000 m², deci parcela are $1, 2$ ha (1 p). Pregătirea ei cere $1, 2 \cdot 5 = 6$ ore de tractor și $1, 2 \cdot 15 = 18$ ore de ajutor (1 p), deci costă $6 \cdot 140 + 18 \cdot 35 = 840 + 630 = 1470$ de lei (1 p). Verificare: din formula cu produse în cruce, $40 \cdot (200 - 60) + 160 \cdot (60 - 80) + 220 \cdot (80 - 200) = 5600 - 3200 - 26400 = - 24000$ . Cine uită jumătatea din formula ariei obține $2, 4$ ha și un cost dublu, 2940 de lei.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Pentru $t \leq 12$ temperatura este $82 - 2 t$ , deci limita la stânga este $l_{s} = 82 - 2 \cdot 12 = 58$ °C, iar $T (12) = 58$ (2 p). Pentru $t > 12$ și $a = 20$ avem $T (t) = 4 + 20 e^{- 0, 2 (t - 12)}$ ; când $t \to 12$ , exponentul tinde la 0 și $e^{0} = 1$ , deci limita la dreapta este $l_{d} = 4 + 20 \cdot 1 = 24$ °C (2 p). Limitele laterale sunt diferite, deci graficul are un salt în $t = 12$ : $l_{d} - l_{s} = 24 - 58 = - 34$ °C, adică temperatura modelului coboară brusc cu 34 °C (1 p). Un lot de lapte nu își schimbă brusc temperatura, deci $a = 20$ este un reglaj greșit al modelului. Verificare: pentru $t = 11, 99$ temperatura este $82 - 2 \cdot 11, 99 = 58, 02$ °C, aproape de 58, iar pentru $t = 12, 01$ ea este aproape de 24.

b) (5 p) Graficul nu are salt dacă $l_{s} = l_{d} = T (12)$ (1 p). Cum $l_{d} = 4 + a$ și $l_{s} = T (12) = 58$ , rezultă $4 + a = 58$ , deci $a = 54$ (2 p). Când $t \to + \infty$ , exponentul $- 0, 2 (t - 12)$ tinde la $- \infty$ , deci $e^{- 0, 2 (t - 12)} \to 0$ și $T (t) \to 4 + 54 \cdot 0 = 4$ °C (2 p). Dreapta $y = 4$ este asimptotă orizontală: lotul se apropie de 4 °C, temperatura la care se păstrează laptele răcit, dar nu ajunge la această valoare. Verificare: în $t = 12$ ambele formule dau 58 °C. Cine compară $4 + a$ cu $T (0) = 82$ , în loc de $T (12) = 58$ , obține $a = 78$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $P^{'} (x) = - 3 x^{2} + 12 x + 36$ (2 p). Scoțând factorul comun $- 3$ , $P^{'} (x) = - 3 (x^{2} - 4 x - 12) = - 3 (x - 6) (x + 2)$ (1 p). Pentru $x = 3$ , $P^{'} (3) = - 3 \cdot (3 - 6) \cdot (3 + 2) = - 3 \cdot (- 3) \cdot 5 = 45$ (1 p). Numărul arată că, la 3 zeci de dulapuri vândute pe lună, fiecare zece dulapuri în plus aduc un spor de aproximativ 45 de zeci de lei, adică 450 de lei (1 p). Verificare: $(x - 6) (x + 2) = x^{2} - 4 x - 12$ , iar $P (4) - P (3) = 176 - 135 = 41$ , o valoare apropiată de 45.

b) (5 p) Pe intervalul $[0; 9]$ derivata se anulează numai în $x = 6$ , fiindcă $x = - 2$ nu aparține intervalului (1 p). Pentru $0 \leq x < 6$ , factorul $x - 6$ este negativ și $x + 2$ este pozitiv, deci $P^{'} (x) = - 3 (x - 6) (x + 2) > 0$ ; pentru $6 < x \leq 9$ ambii factori sunt pozitivi și $P^{'} (x) < 0$ (2 p). Profitul crește pe $[0; 6]$ și scade pe $[6; 9]$ (1 p). Maximul este în $x = 6$ , adică la 60 de dulapuri, iar valoarea lui este $P (6) = - 216 + 216 + 216 = 216$ zeci de lei, deci un profit de 2160 de lei pe lună (1 p). Verificare: $P (0) = 0$ și $P (9) = - 729 + 486 + 324 = 81$ sunt mai mici decât 216.

Exercițiul 10.

a) (5 p) $det A = 13964 = 13 \cdot 4 - 6 \cdot 9$ (3 p) $= 52 - 54 = - 2$ (2 p).

b) (5 p) Calculând produsul, $A \cdot B (m) = (13 m - 54 9 m - 36 - 78 + 78 - 54 + 52) = (13 m - 54 9 m - 36 0 - 2)$ (3 p), iar $- 2 I_{2} = (- 2 0 0 - 2)$ . Egalitatea elementelor de pe aceleași poziții dă $13 m - 54 = - 2$ și $9 m - 36 = 0$ , de unde $m = 4$ în ambele ecuații (2 p). Verificare: $13 \cdot 4 - 54 = - 2$ și $9 \cdot 4 - 36 = 0$ .

c) (5 p) Din a), $det A = - 2 \neq = 0$ , deci $A$ este inversabilă. Din b), pentru $m = 4$ , $A \cdot B (4) = - 2 I_{2}$ , deci $A^{- 1} = - \frac{1}{2} B (4) = (- 2 \frac{9}{2} 3 - \frac{13}{2})$ (3 p). Din $A \cdot X = C$ rezultă $X = A^{- 1} \cdot C$ , adică $X = (- 2 \cdot 64 + 3 \cdot 44 \frac{9}{2} \cdot 64 - \frac{13}{2} \cdot 44 - 2 \cdot 9 + 3 \cdot 5 \frac{9}{2} \cdot 9 - \frac{13}{2} \cdot 5) = (42 - 3 8)$ (2 p). Verificare: $13 \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 64$ și $9 \cdot (- 3) + 4 \cdot 8 = 5$ , ca în $C$ . Cine scrie $X = C \cdot A^{- 1}$ pune inversa pe partea greșită.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Cu regula câtului, $f^{'} (x) = \frac{( 2 x ^{2} + 5 x + 5 ) ^{'} ( x + 3 ) - ( 2 x ^{2} + 5 x + 5 ) ( x + 3 ) ^{'}}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{( 4 x + 5 ) ( x + 3 ) - ( 2 x ^{2} + 5 x + 5 )}{( x + 3 ) ^{2}}$ (3 p). Numărătorul este $4 x^{2} + 17 x + 15 - 2 x^{2} - 5 x - 5 = 2 x^{2} + 12 x + 10 = 2 (x + 1) (x + 5)$ , deci $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) ( x + 5 )}{( x + 3 ) ^{2}}$ (2 p). Verificare: $(x + 1) (x + 5) = x^{2} + 6 x + 5$ .

b) (5 p) Panta este $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 5 x + 5}{x ^{2} + 3 x} = 2$ , pentru că gradele sunt egale, iar raportul coeficienților dominanți este $\frac{2}{1}$ (2 p). Termenul liber este $n = x \to + \infty lim (f (x) - 2 x) = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 5 x + 5 - 2 x ( x + 3 )}{x + 3} = x \to + \infty lim \frac{- x + 5}{x + 3} = - 1$ , deci asimptota oblică este $y = 2x - 1$ (3 p). Verificare: $f (x) = 2 x - 1 + \frac{8}{x + 3}$ , iar fracția tinde la 0 când $x \to + \infty$ .

c) (5 p) Se derivează încă o dată cu regula câtului; derivata pătratului de la numitor este $2 (x + 3)$ (se desface pătratul și se derivează termen cu termen): $f^{''} (x) = \frac{( 4 x + 12 ) ( x + 3 ) ^{2} - ( 2 x ^{2} + 12 x + 10 ) \cdot 2 ( x + 3 )}{( x + 3 ) ^{4}}$ (3 p). Cum $4 x + 12 = 4 (x + 3)$ , după simplificarea cu $x + 3$ , $f^{''} (x) = \frac{4 ( x + 3 ) ^{2} - 2 ( 2 x ^{2} + 12 x + 10 )}{( x + 3 ) ^{3}} = \frac{16}{( x + 3 ) ^{3}}$ . Pentru $x > - 3$ suma $x + 3$ este pozitivă, deci și cubul ei, iar $16 > 0$ ; rezultă $f^{''} (x) > 0$ și funcția este convexă pe $(- 3, + \infty)$ (2 p). Verificare: $f^{''} (- 1) = \frac{16}{8} = 2 > 0$ , iar $f^{''} (1) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} > 0$ .

Pentru părinți și profesori

Lucrarea adună într-un singur loc cele opt unități ale clasei a XI-a, filiera tehnologică: calculul matriceal, determinanții, matricele inversabile și ecuațiile matriceale, sistemele de ecuații liniare, limitele și asimptotele, funcțiile continue, funcțiile derivabile și studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor, adică cele 24 de lecții ale clasei. Spre deosebire de testele de unitate, exercițiile trec de la o unitate la alta: determinantul dă aria unui teren, inversa unei matrice rezolvă o ecuație, o limită spune ce valoare scoate saltul din grafic, iar derivata arată unde crește un profit. Adunarea matricelor, inversa de ordin 3 prin adjunctă, proprietatea lui Darboux, tangenta la grafic, regula lui l'Hôpital și mulțimea valorilor nu au exercițiu propriu în lucrare; ele rămân testelor de unitate.

Punctaj: cele 11 exerciții valorează în total 90 de puncte, iar 10 puncte din oficiu se adaugă la ele, deci lucrarea are 100 de puncte.
Timp: lucrarea durează 90 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează singur, pe foaie, fără calculator; toate rezultatele ies exacte. La exercițiul 8 trebuie știute două fapte din lecțiile despre limite: $e^{0} = 1$ și $e^{x} \to 0$ când $x \to - \infty$ . La Partea a III-a contează calculul și argumentarea, nu doar rezultatul. Ghidajul desface fiecare exercițiu în etape scurte, începând cu o întrebare cu patru variante; îl deschizi la exercițiul în care te oprești, nu neapărat de la început.
Între 90 și 100 de puncte: clasa a XI-a este bine stăpânită și poți merge mai departe, la clasa a XII-a.
Între 75 și 89 de puncte: reiei exercițiile la care ai pierdut puncte, cu ghidajul pornit.
Între 60 și 74 de puncte: cauți în harta de mai jos unitatea la care ai strâns cele mai puține puncte, reiei lecțiile ei și refaci lucrarea peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: parcurgi unitățile în ordinea lor, câte una pe săptămână, cu testul fiecăreia, și abia apoi refaci evaluarea.
Formule de reținut: produsul $A \cdot B$ există dacă $A$ are tot atâtea coloane câte linii are $B$ , iar elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ se obține înmulțind linia $i$ din $A$ cu coloana $j$ din $B$ , termen cu termen, și adunând produsele; $det (a c b d) = a d - b c$ , iar determinantul de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus; dacă $a d - b c \neq = 0$ , inversa este $\frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ , iar din $A \cdot X = C$ rezultă $X = A^{- 1} \cdot C$ , cu inversa în stânga; la un sistem cu $Δ \neq = 0$ , metoda lui Cramer dă $x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ și $y = \frac{Δ _{y}}{Δ}$ , iar aria triunghiului cu vârfurile date prin coordonate este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ ; o limită de forma $\frac{0}{0}$ se simplifică prin factorul care se anulează, la $\pm \infty$ raportul a două polinoame se decide după gradele lor, iar graficul nu se rupe în $a$ dacă limitele laterale sunt egale cu $f (a)$ ; asimptota orizontală vine din limita la $\pm \infty$ , iar cea oblică, $y = m x + n$ , din $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ și $n = lim (f (x) - m x)$ ; $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ și $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ; semnul lui $f^{'}$ dă monotonia, iar semnul lui $f^{''}$ dă convexitatea.

Harta materiei. Clasa are 24 de lecții: unitățile 1, 3, 4 și 8 au câte 3, unitățile 2 și 6 câte 2, iar unitățile 5 și 7 câte 4. Proporțional cu numărul de lecții, cele 90 de puncte s-ar împărți în 11,25 · 7,5 · 11,25 · 11,25 · 15 · 7,5 · 15 · 11,25. Cum fiecare subpunct valorează 5 puncte, proporția nu poate fi respectată exact. Unitățile 1, 3, 4 și 8 primesc câte 10 puncte, cu 1,25 mai puțin decât le-ar reveni; unitățile 2 și 6 primesc tot câte 10, cu 2,5 mai mult; unitățile 5 și 7 primesc câte 15, exact cât le revine. La exercițiile cu subpuncte, fiecare subpunct se numără la unitatea de care ține.

Unitatea	Lecțiile	Exercițiile (sau subpunctele)	Puncte
1. Calcul matriceal	tabelul de comenzi și egalitatea matricelor, adunarea, produsul	1; 10 b)	10
2. Determinanți	determinantul de ordin 2, regula lui Sarrus	2; 10 a)	10
3. Matrice inversabile și ecuații matriceale	inversa de ordin 2, inversa de ordin 3, ecuațiile $A X = B$ și $X A = B$	3; 10 c)	10
4. Sisteme de ecuații liniare	forma matriceală, metoda lui Cramer, aria triunghiului din coordonate	7 a); 7 b)	10
5. Limite și asimptote	limite laterale, limite uzuale, nedeterminări, asimptote	4; 8 a); 11 b)	15
6. Funcții continue	continuitatea, proprietatea lui Darboux	6; 8 b)	10
7. Funcții derivabile	derivata și tangenta, regulile de derivare, derivata a doua, regula lui l'Hôpital	5; 9 a); 11 a)	15
8. Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor	monotonia, convexitatea, graficul	9 b); 11 c)	10

Exercițiile	Ce verifică	Lecțiile de reluat, dacă exercițiul nu iese
1	un element al produsului a două matrice de dimensiuni diferite	„Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple”; apoi „Matrice la tehnologic: tabelul de comenzi”
2	determinantul de ordin 3, calculat pentru o valoare a parametrului	„Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou”
3	inversa unei matrice de ordin 2 cu determinantul diferit de 1	„Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic”; apoi „Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid”
4	parametrul care face finită o limită de forma $\frac{0}{0}$	„Nedeterminări de tip 0/0 la tehnologic”
5	derivata produsului dintre un polinom și $e^{x}$	„Reguli de derivare la tehnologic: ritmul în lei”
6	mulțimea pe care o funcție cu logaritm și fracție este continuă	„Continuitatea la tehnologic: viteza telegondolei”
7	a) sistem $2 \times 2$ cu metoda lui Cramer; b) aria unui triunghi din coordonate și costul lucrării, cu rezultatele de la a)	a) „Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic”, apoi „Forma matriceală: dozarea aditivilor, tehnologic”; b) „Aria triunghiului din coordonate, tehnologic”
8	a) limitele laterale și saltul; b) parametrul din continuitate și asimptota orizontală	a) „Limite laterale la tehnologic: apa la stăvilar”; b) „Continuitatea la tehnologic: viteza telegondolei”, apoi „Calculul limitelor uzuale, tehnologic” și „Asimptote pentru tehnologic: randamentul pompei”
9	a) derivata unui polinom și ritmul de variație; b) monotonia și valoarea maximă	a) „Reguli de derivare la tehnologic: ritmul în lei”, apoi „Derivata, viteza și tangenta pentru tehnologic”; b) „Unde crește și unde scade: derivata, tehnologic”
10	a) determinantul; b) produsul de matrice cu parametru; c) ecuația $A \cdot X = C$	a) „Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid”; b) „Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple”; c) „Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic”
11	a) derivata unui cât; b) asimptota oblică; c) convexitatea	a) „Reguli de derivare la tehnologic: ritmul în lei”; b) „Asimptote pentru tehnologic: randamentul pompei”; c) „Convexitate și inflexiune: liceu tehnologic”, apoi „Bac tehnologic: derivate de ordinul doi pe exemple”

Marcajul „tip Bacalaureat M3” apare la exercițiile 2, 5, 10 și 11. Primul reia forma cerinței a) din problema 1 a Subiectului al II-lea (determinantul de ordin 3 al unei matrice cu parametru, calculat pentru o valoare dată), al doilea reia forma cerinței a) din problema 1 a Subiectului al III-lea („Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ”), iar ultimele două reiau structura întregii probleme 1 din Subiectul al II-lea, respectiv din Subiectul al III-lea, cu alte matrice, alte funcții și alte numere decât în probele oficiale. Exercițiile 1, 3, 4 și 6 sunt de rutină, iar 7, 8 și 9 sunt situații din meserii; ele nu reiau forma unei cerințe reale și nu poartă marcaj.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul matriceal, determinanții, matricele inversabile și sistemele se cer la Subiectul al II-lea, problema 1, iar limitele, continuitatea, derivatele și studiul funcțiilor la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026, regulile de derivare au apărut în 80 de probe, determinantul de ordin 2 în 79, produsul de matrice în 67, monotonia și extremele în 60, derivata într-un punct și tangenta în 44, suma de matrice tot în 44, nedeterminările în 34, asimptotele în 18, convexitatea în 18, inversa unei matrice de ordin 2 în 17, ecuația matriceală în 15, derivata a doua în 15, limita unei funcții uzuale în 14, regula lui l'Hôpital în 7 și continuitatea în 5. Determinantul de ordin 3 și mulțimea valorilor au apărut în câte 3 probe, forma matriceală a sistemului în 2, iar inversa unei matrice de ordin 3 într-o singură probă. Metoda lui Cramer, aria triunghiului din coordonate și proprietatea lui Darboux se află în programa de examen, dar nu au apărut în aceste probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.