Test tehnologic: funcții citite pe grafic

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcții: lecturi grafice

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

În camera frigorifică a unui magazin alimentar, temperatura, în °C, la $x$ ore după deschidere este dată de funcția $h:[0;10]\to \mathbb{R}$, al cărei grafic unește, în ordine, punctele $(0;4)$, $(2;8)$, $(5;2)$, $(7;2)$ și $(10;6)$. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „$h$ este constantă pe $[5;7]$”; b) „$h(x)=2$ numai pentru $x=5$”; c) „valoarea maximă a lui $h$ este 6”; d) „$h$ este strict descrescătoare pe $[2;7]$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Un lift de șantier urcă materiale cu viteză constantă. La 8 secunde după pornire, platforma lui se află la 61 m față de sol, iar la 20 de secunde după pornire, la 97 m. Notăm cu $h(t)$ înălțimea platformei, în metri, la $t$ secunde după pornire. Scrie formula lui $h$ și află după câte secunde ajunge platforma la 130 m.

Exercițiul 3 (5 puncte)

O fabrică de tricotaje execută serii de $n$ pulovere. Pentru o serie, pregătirea mașinilor costă 900 de lei, o sumă fixă, iar fiecare pulover mai costă 15 lei, cu materiale. Costul mediu al unui pulover este $C(n)=\frac{900+15n}{n}$ lei, pentru $n>0$. Calculează costul mediu pentru o serie de 30 de pulovere și află câte pulovere trebuie să aibă o serie ca să coboare costul mediu la 20 de lei.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-27x+170$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Într-o livadă, cantitatea de mere culeasă pe oră, în zeci de kilograme, este $Q(n)=-2n^2+28n+40$, unde $n\in \{1,2,\dots ,14\}$ este numărul de culegători de pe un rând; într-un rând prea aglomerat, culegătorii se încurcă între ei. Determină câți culegători dau cantitatea maximă, cât este aceasta, în kilograme pe oră, și spune dacă ar ajuta ca pe rând să lucreze 10 culegători.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Dintr-un butoi cu ulei hidraulic, un atelier ia ulei în ritm uniform. După 2 zile au rămas în butoi 50 l, iar după 6 zile, 22 l. Care formulă dă numărul $N(x)$ de litri rămași după $x$ zile?

Variantele: a) „$N(x)=7x+36$”; b) „$N(x)=-\frac{x}{7}+64$”; c) „$N(x)=-7x+64$”; d) „$N(x)=-7x+50$”.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Într-o cabină de vopsire auto, lacul unei caroserii se întărește la cald. Doi senzori notează temperatura, în °C, din 3 în 3 ore, începând de la ora 6:00; $x$ este numărul de ore trecute de la 6:00. Senzorul $A$, din aerul cabinei, notează: $(0;62)$, $(3;68)$, $(6;77)$, $(9;71)$ și $(12;65)$. Senzorul $B$, lipit de tabla caroseriei, încălzită și de lămpile cu infraroșu, notează: $(0;66)$, $(3;69)$, $(6;74)$, $(9;74)$ și $(12;71)$. Între două măsurători, temperatura se schimbă uniform, deci graficul fiecărui senzor este o linie frântă.

a) (5 puncte) Află la ce ore ale zilei arată cei doi senzori aceeași temperatură și cât este ea.

b) (5 puncte) Pentru cât timp, în total, nu este aerul mai rece decât tabla, adică $A\ge B$? Fișa lacului cere ca aerul să nu fie mai rece decât tabla cel puțin 4 ore; este respectată cerința?

Exercițiul 8 (10 puncte)

O linie electrică aeriană are cablul prins la 12 m față de sol, pe doi stâlpi aflați la 40 m unul de celălalt. Cablul atârnă în formă de parabolă, iar cel mai jos punct al lui, de la mijlocul distanței dintre stâlpi, este la 4 m de sol. Notăm cu $h(x)$ înălțimea cablului, în metri, la $x$ metri de primul stâlp, pentru $x\in [0;40]$.

a) (5 puncte) Scrie $h(x)$ sub forma $a(x-20{)}^2+4$, află $a$ și apoi scrie $h(x)$ sub forma $\alpha x^2+\beta x+\gamma$.

b) (5 puncte) La ce distanțe de primul stâlp are cablul înălțimea de 6 m? Pe ce lungime, în metri, trece cablul la mai puțin de 6 m de sol?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un autoturism de serviciu parcurge 120 km dus, cu viteza de 60 km/h, și aceeași distanță înapoi, cu viteza de $v$ km/h. Viteza medie pe dus-întors este distanța totală împărțită la timpul total, iar pentru orice $v>0$ se poate scrie $V(v)=\frac{120v}{v+60}$ km/h.

a) (5 puncte) Pentru $v=40$, calculează timpul total și viteza medie.

b) (5 puncte) Află viteza $v$ cu care trebuie să se întoarcă autoturismul ca viteza medie să fie 80 km/h și spune dacă viteza medie poate ajunge la 120 km/h.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+(m+2)x-13$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care vârful parabolei asociate funcției $f$ are abscisa egală cu 7.

b) (5 puncte) Pentru $m$ de la a), se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=4x+p$, unde $p$ este număr real. Determinați numărul real $p$ pentru care $f(2)=g(2)$.

c) (5 puncte) Pentru $m$ de la a), determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=27$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=12x-29$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=5x+34$.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)-f(2)=48$.

b) (5 puncte) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

c) (5 puncte) Calculați $f(1)+f(2)+\dots +f(10)$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare este scrisă pe pași, iar punctele pașilor stau între paranteze; o altă rezolvare corectă primește același punctaj. Rezultatele finale sunt îngroșate. În Partea a III-a, un rezultat fără calcul și fără justificare nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Segmentul de la $(5;2)$ la $(7;2)$ este orizontal, deci $h$ este constantă pe $[5;7]$, iar răspunsul este $\mathbf{a})$ (2 p). Celelalte variante sunt false: $h(x)=2$ și pentru $x=7$, nu numai pentru $x=5$ (1 p); valoarea maximă este 8, la $x=2$, nu 6 (1 p); pe $[5;7]$ funcția nu scade, ci rămâne constantă, deci nu este strict descrescătoare pe $[2;7]$ (1 p). Verificare: o funcție strict descrescătoare ar avea valori diferite în două puncte diferite, iar aici $h(5)=h(7)=2$.

Exercițiul 2.

Viteza este panta graficului: $\frac{97-61}{20-8}=\frac{36}{12}=3$ m/s (2 p). Din $h(t)=3t+b$ și $h(8)=61$ rezultă $b=61-24=37$, deci $h(t)=3t+37$ (1 p). Din $3t+37=130$ rezultă $3t=93$, deci $t=31$ secunde (2 p). Verificare: $h(20)=60+37=97$, ca în enunț, iar la început, la $t=0$, platforma este la 37 m.

Exercițiul 3.

$C(30)=\frac{900+15\cdot 30}{30}=\frac{1350}{30}=45$ lei (2 p). Din $\frac{900+15n}{n}=20$, cu $n>0$, înmulțim cu $n$ și obținem $900+15n=20n$ (1 p), deci $5n=900$ și $n=180$ de pulovere (2 p). Verificare: $C(180)=\frac{900+2700}{180}=20$ lei. Costul mediu nu coboară sub 15 lei, oricât de mare ar fi seria, fiindcă $C(n)=\frac{900}{n}+15$.

Exercițiul 4.

Abscisele cerute sunt soluțiile ecuației $f(x)=0$, adică $x^2-27x+170=0$, care se descompune: $(x-10)(x-17)=0$ (3 p). Soluțiile sunt $x_1=10$ și $x_2=17$ (2 p). Verificare: $f(10)=100-270+170=0$ și $f(17)=289-459+170=0$.

Exercițiul 5.

Coeficientul lui $n^2$ este negativ, deci parabola are ramurile în jos și vârful este punct de maxim: $n_V=-\frac{28}{2\cdot (-2)}=7$ culegători (2 p). Cantitatea maximă este $Q(7)=-2\cdot 49+28\cdot 7+40=-98+196+40=138$ zeci de kilograme, adică 1 380 de kilograme pe oră (2 p). Cu 10 culegători, $Q(10)=-200+280+40=120$, mai puțin decât 138, deci un rând mai aglomerat nu ajută (1 p). Verificare: 4 și 10 sunt la aceeași depărtare de 7, deci $Q(4)=Q(10)$, iar $Q(4)=-32+112+40=120$.

Exercițiul 6.

Fiecare variantă se verifică pe ambele puncte, $(2;50)$ și $(6;22)$ (1 p). Panta este $\frac{22-50}{6-2}=-7$ (1 p), iar din $50=-7\cdot 2+b$ rezultă $b=64$, deci $N(x)=-7x+64$, adică răspunsul $\mathbf{c})$ (2 p). Celelalte sunt false: $N(x)=7x+36$ dă $N(6)=78$, nu 22; $N(x)=-\frac{x}{7}+64$ dă $N(2)=64-\frac{2}{7}$, nu 50, fiindcă are panta inversă; $N(x)=-7x+50$ dă $N(2)=36$, nu 50, fiindcă ia 50 drept termen liber (1 p).

Exercițiul 7.

a) (5 p) Diferența $A-B$ are, la orele 0, 3, 6, 9 și 12, valorile $-4$, $-1$, $3$, $-3$ și $-6$, deci graficele se întâlnesc o dată între orele 3 și 6 și o dată între 6 și 9 (1 p). Pe primul interval diferența crește de la $-1$ la $3$ în 3 ore, adică cu $\frac{4}{3}$ pe oră, deci se anulează după $1:\frac{4}{3}=0,75$ ore de la $x=3$, adică la $x=3,75$, 3 h 45 min după 6:00, la 9:45; temperatura este $68+3\cdot 0,75=70,25$ °C (2 p). Pe al doilea interval diferența scade de la 3 la $-3$ în 3 ore, cu 2 pe oră, deci se anulează după $3:2=1,5$ ore de la ora 6, adică la $x=7,5$, la 13:30; temperatura este $77-2\cdot 1,5=74$ °C (2 p).

b) (5 p) La $x=6$ avem $A-B=3>0$, deci aerul nu este mai rece decât tabla între cele două întâlniri, adică pentru $x\in [3,75;7,5]$ (2 p). Durata este $7,5-3,75=3,75$ ore, adică 3 h 45 min, fiindcă $0,75\cdot 60=45$ (2 p). Cum 3 h 45 min este mai puțin decât 4 h, cerința fișei nu este respectată: lipsesc $15$ minute (1 p). Verificare: în afara acestui interval, aerul este mai rece decât tabla timp de $3,75+(12-7,5)=8,25$ ore, iar $3,75+8,25=12$ ore.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Cablul are vârful la mijloc, la $x=20$, la 4 m: $h(x)=a(x-20{)}^2+4$ (1 p). La stâlp, $x=0$ și $h(0)=12$, deci $400a+4=12$ (1 p), de unde $a=\frac{8}{400}=0,02$ (1 p). Prin desfacere, $h(x)=0,02(x^2-40x+400)+4=0,02{\mathbf{x}}^2-0,8x+12$ (2 p).

b) (5 p) Înălțimea este 6 m când $0,02(x-20{)}^2+4=6$ (1 p), adică $(x-20{)}^2=100$ (1 p), deci $x-20=\pm 10$, adică $x=10$ sau $x=30$ (1 p). Parabola are ramurile în sus, deci cablul este sub 6 m între cele două puncte (1 p), pe $30-10=20$ m (1 p). Verificare: simetria față de $x=20$ cere ca $10$ și $30$ să fie la aceeași depărtare de 20, iar $h(10)=0,02\cdot 100-8+12=6$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Dus, autoturismul merge $120:60=2$ ore, iar întors, cu 40 km/h, $120:40=3$ ore (2 p). Timpul total este $2+3=5$ ore (1 p). Distanța totală este $2\cdot 120=240$ km, deci viteza medie este $240:5=48$ km/h (2 p). Viteza medie nu este media aritmetică a vitezelor, $\frac{60+40}{2}=50$ km/h, fiindcă la viteza mai mică autoturismul stă mai mult timp.

b) (5 p) Din $\frac{120v}{v+60}=80$, cu $v>0$, rezultă $120v=80v+4800$ (2 p), deci $40v=4800$ și $v=120$ km/h (1 p). Pentru $V(v)=120$ ar rezulta $120v=120v+7200$, adică $0=7200$, imposibil: viteza medie nu poate ajunge la 120 km/h, oricât de repede s-ar întoarce autoturismul (2 p). Verificare: $V(120)=\frac{14400}{180}=80$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Abscisa vârfului este $-\frac{b}{2a}=-\frac{m+2}{2\cdot (-1)}=\frac{m+2}{2}$ (2 p). Din $\frac{m+2}{2}=7$ rezultă $m+2=14$ (2 p), deci $m=12$ (1 p).

b) (5 p) Pentru $m=12$, $f(x)=-x^2+14x-13$, deci $f(2)=-4+28-13=11$, iar $g(2)=8+p$; egalitatea $f(2)=g(2)$ devine $11=8+p$ (3 p), de unde $p=3$ (2 p).

c) (5 p) Ecuația $f(a)=27$ este $-a^2+14a-13=27$, adică $a^2-14a+40=0$ (3 p), care se descompune: $(a-4)(a-10)=0$, deci $a=4$ și $a=10$ (2 p). Verificare: $f(4)=-16+56-13=27$ și $f(10)=-100+140-13=27$; numerele 4 și 10 sunt simetrice față de abscisa vârfului, 7.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $f(2)=12\cdot 2-29=-5$ și $f(a)=12a-29$, deci $12a-29+5=48$ (3 p); $12a=72$ și $a=6$ (2 p).

b) (5 p) Abscisa punctului de intersecție verifică $f(x)=g(x)$, adică $12x-29=5x+34$ (3 p); $7x=63$ și $x=9$, iar $f(9)=12\cdot 9-29=79$, deci punctul este $(9;79)$ (2 p). Verificare: $g(9)=45+34=79$.

c) (5 p) Valorile lui $f$ în $1,2,\dots ,10$ sunt $12k-29$, cu $k=1,2,\dots ,10$, deci suma este $12(1+2+\dots +10)-29\cdot 10$ (2 p), adică $12\cdot 55-290=660-290=370$ (3 p). Verificare: valorile $-17,-5,7,\dots ,91$ formează o progresie aritmetică cu rația 12, iar suma ei este $\frac{(-17+91)\cdot 10}{2}=370$.

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă prima jumătate a unității de funcții din clasa a IX-a (filiera tehnologică), adică lecțiile „Citești graficul: agenda salonului, tehnologic”, „Consum și debit: funcția de gradul I, tehnologic”, „Profit maxim: funcția de gradul II la tehnologic” și „Randament și funcții-raport, liceu tehnologic”. Funcția radical, funcția exponențială și logaritmul zecimal, adică restul unității, se verifică în „Test tehnologic: radical, exponențială, logaritm”.

• Punctaj: cele 11 exerciții valorează 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu; totalul este 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se rezolvă individual, pe foaie, fără calculator; toate numerele ies exact. Un grafic dat prin puncte este o linie frântă, deci între două puncte vecine mărimea variază uniform. Orele se scriu în ore și minute, iar rezultatele au unitatea de măsură. La Partea a III-a contează pașii: răspunsul singur, fără calcul și fără justificare, nu ia punctajul subpunctului. Ghidajul transformă fiecare exercițiu într-un șir de pași scurți, cu întrebări cu variante și numere de calculat; fiecare variantă greșită arată ce s-a greșit. Elevul îl pornește numai când un exercițiu nu iese.
• La 90–100 de puncte: lecturile grafice și funcțiile de gradul I și II sunt stăpânite; elevul poate trece la testul următor.
• La 75–89 de puncte: exercițiile pierdute se refac cu ghidajul.
• La 60–74 de puncte: elevul reia lecțiile din tabel pentru exercițiile la care a luat mai puțin de jumătate dintre puncte, apoi reface testul după o săptămână.
• Sub 60 de puncte: cele patru lecții se parcurg din nou, în ordinea lor, iar testul se lucrează de la început cu ghidajul pornit.
• Formule de reținut: punctul $(a;b)$ este pe grafic dacă $f(a)=b$; pe $Oy$ graficul are punctul $(0;f(0))$, iar pe $Ox$ punctele $(x_0;0)$ cu $f(x_0)=0$. La $f(x)=ax+b$, panta este $a=\frac{\text{variația lui }f(x)}{\text{variația lui }x}$, iar zeroul este $-\frac{b}{a}$, cu $a\ne 0$. La $f(x)=a{x}^2+bx+c$, vârful este la $x_V=-\frac{b}{2a}$: maxim pentru $a<0$, minim pentru $a>0$. La $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ trebuie $g(x)\ne 0$.

Marcajul „tip Bacalaureat M3” îl au exercițiile 4, 10 și 11. Ele păstrează forma cerinței 2 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026 (abscisele punctelor de pe $Ox$, parametrul din vârful parabolei, valoarea unei funcții, intersecția a două grafice), dar au funcții, numere și parametri noi.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); testul aparține unității «IX.4», intitulată «Funcții - observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice», și toate cele unsprezece exerciții intră în programa lor de examen, fără excepții. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); la ei, programa din 2014 cuprinde, la clasa a IX-a, funcția de gradul I, funcția de gradul al doilea, intersecția graficului cu axele, monotonia și mărginirea, deci exercițiile 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 și 11 sunt în programa lor. Exercițiile 3 și 9, cu funcții obținute prin împărțire, nu apar în acea programă, fiindcă ea nu conține citirea pe grafic a funcțiilor-raport. În probele oficiale 2013–2026, funcția de gradul I a apărut în 48 de probe, funcția de gradul al doilea în 27, iar intersecția graficului cu o axă în 8.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.