Randament și funcții-raport, liceu tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un motor de strung nu folosește la fel de bine energia la orice sarcină: la sarcini mici se pierde o parte mai mare din puterea plătită. În lecția aceasta, pentru clasa a IX-a de la liceul tehnologic, înveți să descrii asemenea situații prin funcții-raport și produse de funcții: randamentul unui motor, consumul specific pe hectar, ponderea produselor bune. Citești grafice și tabele, afli unde sunt cele mai bune valori și spre ce nivel se îndreaptă. Tema intră în programa Bacalaureatului din 2030.

Situația de pornire

Atelierul de prelucrări mecanice al unui liceu tehnologic are un strung paralel cu motor trifazat de 11 kW. Profesorul de specialitate încearcă motorul pe standul de probă și notează, la mai multe sarcini, două puteri: cea pe care motorul o dă la ax, fixată de frâna standului, adică ce rămâne pentru așchierea piesei de oțel (puterea utilă), și cea pe care o ia din rețea, citită pe wattmetru, adică ce plătește atelierul (puterea absorbită). Diferența dintre ele se pierde: frecare în rulmenți, ventilație, încălzirea înfășurărilor.

Sarcina la ax (kW)	Puterea absorbită din rețea (kW)
1	1,26
2	2,29
4	4,41
5	5,50
8	8,89
10	11,25

Un coleg observă că nu pierderea în sine contează, ci ce parte din ce plătești ajunge la ax. Dacă partea aceasta depinde de sarcină, contează la ce sarcină lucrezi un lot.

Întrebare: ce parte din puterea plătită ajunge la ax la fiecare sarcină din tabel și la ce sarcină folosește strungul cel mai bine energia?

De la situație la model

Dacă îți lipsește vreo premisă, te întorci pe traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică: funcția afină e la consum și debit, parabola la profit maxim. Mărimile din atelier depind toate de aceeași variabilă, sarcina la ax $x$ , în kW:

În situație	În matematică
sarcina la ax, în kW	variabila $x$ , cu $0 < x \leq 11$ (motorul e de 11 kW)
puterea utilă, cea de la ax	funcția afină $f (x) = x$
puterea absorbită din rețea	funcția $g$ , de gradul al doilea, cu formula din fișa motorului
randamentul motorului	raportul $h (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$
cel mai bun randament	cea mai mare valoare a lui $h$ , citită în vârful graficului
unitatea randamentului: kW împărțit la kW	număr fără unitate, scris adesea în procente

Ce este o funcție-raport?

Când două mărimi depind de aceeași variabilă, câtul lor depinde și el de ea. Funcția-raport a funcțiilor $f$ și $g$ este funcția $h$ dată de $h (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ , definită acolo unde $g (x) \neq = 0$ . Randamentul unei mașini este raportul dintre puterea utilă și puterea absorbită: arată ce parte din ce plătești ajunge la rezultat. Unitățile se împart ca numerele: kW la kW dă un număr fără unitate, litri la hectar dă litri pe hectar, kilometri la oră dă viteza. Invers, puterea utilă este randamentul înmulțit cu puterea absorbită.

Cum arată un raport pe grafic?

O dubă stă o jumătate de oră la încărcare, apoi merge cu 70 km/h. Distanța parcursă de la începutul programului este $d (t) = 70 (t - 0, 5)$ kilometri, pentru $t \geq 0, 5$ ore, iar viteza medie este raportul $v (t) = \frac{d ( t )}{t}$ . Pe graficul lui $d$ , raportul $\frac{d ( t )}{t}$ este panta dreptei duse din origine în punctul $(t; d (t))$ . La $t = 1$ , $5$ și $7$ ore distanțele sunt 35, 315 și 455 km, deci vitezele medii sunt 35, 63 și 65 km/h.

Dreptele din origine se apropie de panta cursei, 70 km/h, fără s-o atingă: oprirea de la încărcare se simte tot mai puțin, dar nu dispare. Dreapta $y = 70$ , spre care se apropie graficul lui $v$ , se numește asimptotă orizontală.

Ce se întâmplă lângă valoarea interzisă?

Împărțirea la zero nu are sens, iar împărțirea la numere tot mai mici dă rezultate tot mai mari. La strung, o trecere de 60 mm cu viteza de avans de $x$ mm/min durează $\frac{60}{x}$ minute: 3 minute la 20 mm/min, 60 de minute la 1 mm/min, 600 de minute la 0,1 mm/min. Dreapta verticală de lângă care se ridică graficul, aici axa $O y$ , se numește asimptotă verticală. În probleme, valoarea interzisă e de obicei în afara domeniului (nu există o parcelă de 0 hectare), dar spune cum se comportă graficul lângă ea.

Și produsul a două funcții?

Produsul se face tot valoare cu valoare, $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ , iar unitățile se înmulțesc: metru ori metru dă metru pătrat. Dacă $f$ și $g$ sunt afine și neconstante, produsul e o funcție de gradul al doilea, cu graficul o parabolă și cu zerourile în zerourile factorilor. În meserii apare ca arie (două laturi care depind de aceeași mărime) sau ca total (bucăți ori masa unei bucăți). Domeniul îl dă situația; vezi exemplul 3 și exercițiile 4, 6 și 12. Graficele se desenează în reperul cartezian.

Metoda pas cu pas

Pentru un randament, un consum pe hectar sau o arie, lucrezi în patru pași.

Scrie raportul și unitățile. Notează numărătorul $f (x)$ și numitorul $g (x)$ , apoi scrie unitatea rezultatului: unitatea numărătorului împărțită la a numitorului. Dacă unitatea nu are sens (puteri împărțite la lungimi, de pildă), ai încurcat ceva încă de la început.
Stabilește domeniul și zeroul. Cere $g (x) \neq = 0$ și adaugă ce impune situația: sarcina e între 0 și puterea motorului, suprafața e pozitivă, prețul depășește costul. Raportul se anulează acolo unde se anulează numărătorul, dar numai dacă numitorul nu se anulează tot acolo.
Citește comportarea din tabel și din grafic. Fă un tabel cu cinci-șapte valori bine alese și desenează graficul, pe hârtie sau în GeoGebra ori Desmos. Notează cea mai mare sau cea mai mică valoare, intersecțiile cu axele, ce se întâmplă lângă valoarea interzisă și spre ce nivel se îndreaptă valorile când $x$ crește mult. Un vârf citit pe grafic se confirmă calculând valorile vecine.
Verifică. Înlocuiește valoarea găsită în numărător și în numitor, împarte din nou și compară cu ce ai citit. Verifică unitatea și ordinul de mărime: un randament nu depășește 100 %, un consum pe hectar nu coboară sub nivelul spre care se apropie graficul, o lățime nu e negativă.

La produs, pașii 1 și 2 rămân la fel, dar zerourile produsului sunt zerourile factorilor, iar domeniul îl dă tot situația. Tabelul din pasul 3 te scutește de formule pe care programa clasei a IX-a nu le cere: proprietățile se observă pe grafic (vezi și citirea graficului) și se verifică pe valori.

Fișa de buzunar

$h (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}, g (x) \neq = 0$

$(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x), f = h \cdot g$

Tipul	Exemplu din meserie	Domeniu și zerouri	Asimptote și formă
produs, afină ori afină	$(a - 2 x) (b - 2 x)$ , aria rămasă dintr-o piesă	$R$ ; zerourile factorilor	fără asimptote; parabolă
afină la $x$	$\frac{a + b x}{x}$ , consumul pe hectar	$x \neq = 0$ ; zero la $- \frac{a}{b}$	verticală $x = 0$ , orizontală $y = b$
afină la afină	$\frac{m x + n}{r x + s}$ , ponderea produselor bune	$x \neq = - \frac{s}{r}$ ; zero la $- \frac{n}{m}$	verticală $x = - \frac{s}{r}$ , orizontală $y = \frac{m}{r}$
$x$ la gradul al doilea	$\frac{x}{k x ^{2} + x + c}$ , randamentul unui motor	pentru $x \geq 0$ (situația): zero în $0$ , numitor pozitiv	orizontală $y = 0$ ; pe $x > 0$ un singur vârf

Condiții de aplicare: în rândurile 2 și 3, $b$ , $m$ și $r$ sunt nenuli; asimptotele din tabel se aplică doar dacă numărătorul și numitorul nu au zero comun (altfel raportul se simplifică), iar ultimul rând cere $k > 0$ și $c > 0$ . Verificare rapidă: înlocuiește o valoare în ambele funcții și compară cu graficul; un randament peste 1 înseamnă o greșeală.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Randamentul motorului de la strung

Domeniu: mecanica.

Enunț. Fișa tehnică a motorului de la strung arată că puterea pierdută (diferența dintre puterea absorbită și cea utilă) are două părți: 0,25 kW fixe, pentru frecare și ventilație, și $0, 01 x^{2}$ kW pentru încălzirea înfășurărilor, unde $x$ este sarcina la ax, în kW. (a) Scrie puterea absorbită $g (x)$ , verifică valoarea din tabelul situației pentru 5 kW și scrie randamentul $h (x)$ . (b) Calculează randamentul la 1, 2, 4, 5, 6, 8 și 10 kW. (c) La ce sarcină folosește strungul cel mai bine energia?

Rezolvare. (a) Puterea absorbită este puterea utilă plus pierderile: $g (x) = x + 0, 25 + 0, 01 x^{2}$ ; la $x = 5$ , $g (5) = 5 + 0, 25 + 0, 25 = 5, 5$ kW, ca în tabel. Randamentul este $h (x) = \frac{x}{0 , 01 x ^{2} + x + 0 , 25}$ . Pentru $x \geq 0$ numitorul e cel puțin 0,25, deci nu există valoare interzisă; domeniul îl dă motorul, $0 < x \leq 11$ .

(b) Împărțim fiecare putere utilă la cea absorbită:

Sarcina $x$ (kW)	1	2	4	5	6	8	10
$g (x)$ (kW)	1,26	2,29	4,41	5,50	6,61	8,89	11,25
$h (x)$ (%)	79,4	87,3	90,7	90,9	90,8	90,0	88,9

(c) Randamentul crește până spre 5 kW, unde ajunge la 90,9 %, apoi scade încet; vecinii lui 5 kW sunt mai mici (90,7 % la 4 kW, 90,8 % la 6 kW). Vârful graficului e la 5 kW: $h (5) = \frac{5}{5 , 5} = \frac{10}{11} \approx 90, 9 %$ , la cam 45 % din sarcina nominală. Modelul e simplificat: la motoarele reale vârful e de obicei mai sus.

Capcană. Randamentul la 2,5 kW și la 10 kW este același, $\frac{8}{9} \approx 88, 9 %$ (la 2,5 kW, $g = 2, 8125$ și $\frac{2 , 5}{2 , 8125} = \frac{8}{9}$ ). La o parabolă, două puncte cu aceeași valoare au maximul la mijloc, deci mulți elevi caută vârful la $\frac{2 , 5 + 10}{2} = 6, 25$ kW. Dar $h (6, 25) = \frac{6 , 25}{6 , 890625} \approx 90, 70 %$ , sub 90,91 % de la 5 kW: graficul unui raport nu e simetric.

Verificare. La 5 kW motorul ia 5,5 kW din rețea și dă 5 kW la ax: pierde 0,5 kW, iar $0, 25 + 0, 01 \cdot 25 = 0, 5$ . Randamentul e între 0 și 1 și nu are unitate.

Exemplul 2 — Consumul specific la recoltat

Domeniu: agricol.

Enunț. O combină recoltează grâul de pe parcelele unei ferme. Drumul până la parcelă și înapoi costă 18 L de motorină, oricât de mare e parcela, iar pe câmp combina consumă 14 L pentru fiecare hectar recoltat. Pentru $S$ hectare recoltate la o deplasare, consumul specific (litri pe hectar) este $c (S) = \frac{18 + 14 S}{S}$ . (a) Calculează $c (6)$ și $c (12)$ . (b) De la ce suprafață consumul specific nu mai depășește 15 L/ha? (c) Două parcele vecine, de câte 6 ha, se recoltează la o singură deplasare. Cât se câștigă?

Rezolvare. (a) $c (6) = \frac{18 + 84}{6} = 17$ L/ha și $c (12) = \frac{18 + 168}{12} = 15, 5$ L/ha. (b) Cerem $\frac{18 + 14 S}{S} \leq 15$ . Cum $S > 0$ , înmulțim cu $S$ fără să schimbăm sensul inegalității: $18 + 14 S \leq 15 S$ , deci $S \geq 18$ . De la 18 ha în sus consumul nu depășește 15 L/ha. (c) La o deplasare se recoltează 12 ha: consumul specific scade de la 17 la 15,5 L/ha, deci se economisesc $1, 5 \cdot 12 = 18$ L, exact un drum. Pe suprafețe tot mai mari câștigul scade: $c (S) = \frac{18}{S} + 14$ coboară spre 14 L/ha fără să-l atingă, fiindcă primul termen e pozitiv. Graficul are asimptota orizontală $y = 14$ , iar lângă $S = 0$ urcă peste orice limită (la 0,5 ha: 50 L/ha). Valorile lui $c$ sunt toate numerele mai mari decât 14.

Verificare. $c (18) = \frac{18 + 252}{18} = 15$ L/ha. Pe 12 ha combina consumă $15, 5 \cdot 12 = 186$ L, adică exact $18 + 14 \cdot 12$ .

Exemplul 3 — Aleea de beton din jurul unei peluze

Domeniu: constructii.

Enunț. Curtea unei case este un dreptunghi de 15 m pe 11 m. Pe tot conturul curții, în interior, se toarnă o alee de beton lată de $x$ metri și groasă de 8 cm; în mijloc rămâne o peluză. (a) Scrie aria peluzei $A (x)$ în m² și stabilește domeniul. (b) Ce lățime are aleea dacă peluza are 77 m²? (c) Câți m³ de beton se comandă, dacă betonul se livrează în multipli de 0,5 m³?

Rezolvare. (a) Aleea ia câte $x$ metri de pe ambele părți ale fiecărei dimensiuni, deci peluza are laturile $15 - 2 x$ și $11 - 2 x$ : $A (x) = (15 - 2 x) (11 - 2 x)$ . Este produsul a două funcții afine, cu zerourile $x = 7, 5$ și $x = 5, 5$ , dar curtea are sens doar pentru $0 \leq x < 5, 5$ : la 5,5 m peluza dispare. (b) Căutăm într-un tabel: la $x = 0$ avem 165 m², la $x = 1$ avem $13 \cdot 9 = 117$ m², la $x = 2$ avem $11 \cdot 7 = 77$ m². Ambii factori sunt pozitivi și scad când $x$ crește, deci și produsul scade: 77 apare o singură dată, la $x = 2$ m. (c) Aria aleii este $165 - 77 = 88$ m². Cu grosimea de 8 cm $= 0, 08$ m, volumul este $88 \cdot 0, 08 = 7, 04$ m³; rotunjit în sus la multiplul de 0,5 m³, se comandă 7,5 m³.

Capcană. Dacă scrii $(15 - x) (11 - x)$ , uiți că aleea e pe ambele părți: pentru $x = 2$ ai obține $13 \cdot 9 = 117$ m² în loc de 77 m².

Verificare. Aleea se poate număra direct: două fâșii de 15 m pe 2 m și două de 7 m pe 2 m, adică $60 + 28 = 88$ m². La $x = 0$ peluza e curtea întreagă, $15 \cdot 11 = 165$ m².

Exemplul 4 — Problema inversă: prețul pentru o marjă dată

Domeniu: comert.

Enunț. Un magazin de electrocasnice cumpără un fierbător electric cu 42 lei și vrea ca marja comercială, adică partea din prețul de vânzare $p$ (fără TVA) care rămâne după scăderea costului, să fie de 30 %. Marja este $M (p) = \frac{p - 42}{p}$ . (a) La ce preț de vânzare se obține marja de 30 %? (b) Ce marjă se obține dacă patronul adaugă la prețul de cumpărare un adaos de 30 %?

Rezolvare. (a) Aici se cunoaște valoarea raportului și se caută variabila. Rezolvăm $\frac{p - 42}{p} = 0, 3$ , cu $p > 0$ : înmulțim cu $p$ și obținem $p - 42 = 0, 3 p$ , apoi $0, 7 p = 42$ , deci $p = 60$ lei. (b) Cu adaos de 30 % prețul este $42 \cdot 1, 3 = 54, 6$ lei, iar marja $M (54, 6) = \frac{12 , 6}{54 , 6} \approx 0, 2308$ , adică 23,1 %.

Capcană. Adaosul se calculează la prețul de cumpărare, marja la prețul de vânzare, așa că procentele nu coincid: un adaos de 30 % dă o marjă de doar 23,1 %.

Verificare. $M (60) = \frac{18}{60} = 0, 3$ . Marja e între 0 și 1: graficul lui $M$ urcă spre dreapta $y = 1$ , fără s-o atingă, deci o marjă de 100 % nu există.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Fie $h (x) = \frac{7 x + 4}{x}$ , pentru $x > 0$ . Calculează $h (1)$ , $h (4)$ , $h (8)$ și $h (100)$ . Spre ce valoare tind rezultatele când $x$ crește?

2. Pentru $r (x) = \frac{3 x - 12}{x + 4}$ află valoarea interzisă, zeroul și intersecția graficului cu axa $O y$ .

3. O mașină de găurit consumă 0,72 kWh pentru 36 de piese. Calculează consumul specific în Wh pe piesă.

4. O placă de tablă de 120 mm pe 80 mm se frezează pe două laturi alăturate, câte $x$ mm. Scrie aria rămasă $A (x)$ ca produs de funcții afine, calculează $A (10)$ și stabilește domeniul lui $x$ .

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un lot de 200 de borcane cu conserve are 14 borcane cu defecte. Cu încă $x$ borcane bune, ponderea celor bune este $b (x) = \frac{186 + x}{200 + x}$ . Calculează $b (40)$ , află când ajunge la 95 % și spune dacă poate ajunge la 100 %.

6. (Problemă aplicată.) La o fermă de pui de carne, între zilele 14 și 42 rămân $1000 - t$ păsări în ziua $t$ , iar o pasăre cântărește $0, 08 t - 0, 6$ kg. Scrie masa totală ca produs de funcții afine, calculeaz-o la sfârșitul săptămânilor 2–6 și citește în ce săptămână trece de două tone.

7. (Problemă aplicată.) O agenție de turism notează rezervările anulate din cele primite: iunie 6 din 40, iulie 9 din 90, august 12 din 150, septembrie 7 din 35. Calculează rata anulărilor (în %); în ce lună sunt cele mai multe anulări și când e rata cea mai mare?

8. (Problemă aplicată.) Pentru un tablou de automatizare, un electrician compară două surse de 24 V; la $x$ W, randamentele lor sunt $a (x) = \frac{x}{1 , 06 x + 2}$ și $b (x) = \frac{x}{1 , 1 x + 0 , 4}$ . Citește pe grafic unde se taie curbele și unde e mai bună a doua sursă; confirmă prin calcul.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Motorul unei pompe dintr-o stație de epurare are pierderi $a + b x^{2}$ kW la sarcina de $x$ kW; măsurătorile dau 0,26 kW la 2 kW și 0,90 kW la 6 kW. (a) Determină $a$ și $b$ . (b) Scrie randamentul $h (x)$ . (c) Completează un tabel pentru $x = 1, 2, 3, 4, 5$ și citește sarcina cu randament maxim.

10. (Sinteză.) O dubă consumă $q (v) = 2, 45 + 0, 0005 v^{2}$ litri pe oră la viteza constantă $v$ km/h; consumul la 100 km este $c (v) = \frac{100 q ( v )}{v}$ . (a) Calculează $c$ pentru $v = 35, 49, 70, 100$ . (b) Citește viteza cu cel mai mic consum; ce observi la 49 și la 100 km/h? (c) Pe 280 km compară 70 km/h cu 100 km/h: durata și combustibilul.

11. (Sinteză.) Un uscător de cereale primește 32 t de porumb cu umiditatea de 25 %. Substanța uscată, 24 t, rămâne constantă; după uscare până la umiditatea $w$ % masa este $M (w) = \frac{2400}{100 - w}$ tone. (a) Verifică $M (25)$ . (b) Calculează masa la 14 % și apa evaporată. (c) La ce umiditate masa e de 30 t? (d) Ce valoare a lui $w$ e interzisă?

12. (Sinteză.) Un cablu prelungitor are rezistența totală (dus-întors) de 0,5 ohmi. Alimentat la 230 V, la curentul de $I$ A, tensiunea la consumator este $U (I) = 230 - 0, 5 I$ volți, iar puterea $P (I) = U (I) \cdot I$ (în W). (a) Calculează $U$ și $P$ pentru 8 A și 16 A. (b) Simplifică randamentul transportului, $\frac{P ( I )}{230 I}$ ; calculează-l la 16 A. (c) Unde se anulează $P$ și care valoare apare pe o priză cu siguranță de 16 A?

Răspunsuri și verificări

1. $h (1) = 11$ , $h (4) = 8$ , $h (8) = 7, 5$ , $h (100) = 7, 04$ ; valorile se apropie de 7, fără să-l atingă, fiindcă $h (x) = 7 + \frac{4}{x}$ . Verificare: $7 + \frac{4}{100} = 7, 04$ .

2. Valoarea interzisă este $x = - 4$ . Zeroul: $3 x - 12 = 0$ , deci $x = 4$ . Pe axa $O y$ : $r (0) = \frac{- 12}{4} = - 3$ , în punctul $(0; - 3)$ . Verificare: $r (4) = \frac{0}{8} = 0$ .

3. $\frac{0 , 72 kWh}{36} = 0, 02$ kWh pe piesă, adică 20 Wh pe piesă. Verificare: $20 \cdot 36 = 720$ Wh $= 0, 72$ kWh.

4. $A (x) = (120 - x) (80 - x)$ și $A (10) = 110 \cdot 70 = 7700$ mm²; $0 \leq x < 80$ , fiindcă la 80 mm nu mai rămâne tablă. Verificare: $A (0) = 120 \cdot 80 = 9600$ mm², aria plăcii întregi.

5. $b (40) = \frac{226}{240} \approx 94, 2 %$ ; ponderea e 95 % la $x = 80$ borcane, iar 100 % nu se atinge, fiindcă $186 + x \neq = 200 + x$ pentru orice $x$ . Verificare: $\frac{266}{280} = 0, 95$ .

6. $M (t) = (1000 - t) (0, 08 t - 0, 6)$ kg; în săptămânile 2–6 obținem, rotunjit, $513$ , $1057$ , $1594$ , $2123$ și $2644$ kg. Masa trece de două tone între zilele 28 și 35, în a cincea săptămână. Verificare: $965 \cdot 2, 2 = 2123$ .

7. Ratele anulărilor: 15 %, 10 %, 8 % și 20 %. Cele mai multe anulări sunt în august (12), dar rata cea mai mare e în septembrie (20 %). Verificare: $\frac{7}{35} = 0, 2$ .

8. Numărătorii sunt egali, deci curbele se taie unde numitorii sunt egali: $1, 06 x + 2 = 1, 1 x + 0, 4$ , adică $x = 40$ W, cu $a (40) = b (40) = \frac{40}{44 , 4} \approx 90, 1 %$ . A doua e mai bună unde numitorul ei e mai mic: $1, 1 x + 0, 4 < 1, 06 x + 2$ , adică $0 < x < 40$ . Verificare: $b (25) = \frac{25}{27 , 9} \approx 89, 6 %$ , peste $a (25) = \frac{25}{28 , 5} \approx 87, 7 %$ .

9. (a) Din $a + 4 b = 0, 26$ și $a + 36 b = 0, 90$ rezultă $32 b = 0, 64$ , deci $b = 0, 02$ și $a = 0, 18$ . (b) $h (x) = \frac{x}{0 , 02 x ^{2} + x + 0 , 18}$ . (c) Pentru $x = 1, 2, 3, 4, 5$ randamentele sunt 83,3 %, 88,5 %, 89,3 %, 88,9 % și 88,0 %; maximul din tabel e la 3 kW, $h (3) = \frac{3}{3 , 36} = \frac{25}{28} \approx 89, 3 %$ . Verificare: $0, 18 + 0, 02 \cdot 36 = 0, 90$ kW.

10. (a) $c (35) = 8, 75$ , $c (49) = 7, 45$ , $c (70) = 7, 0$ , $c (100) = 7, 45$ litri la 100 km. (b) Cel mai mic consum din tabel e 7,0 L/100 km, la 70 km/h; la 49 km/h și la 100 km/h consumul e același, 7,45 L/100 km. (c) La 70 km/h: 4 h și $2, 8 \cdot 7, 0 = 19, 6$ L; la 100 km/h: 2 h 48 min și $2, 8 \cdot 7, 45 = 20, 86$ L. Verificare: $q (70) = 4, 9$ L/h, iar $\frac{100 \cdot 4 , 9}{70} = 7, 0$ .

11. (a) $M (25) = \frac{2400}{75} = 32$ t. (b) $M (14) = \frac{2400}{86} \approx 27, 91$ t, deci s-au evaporat $32 - 27, 91 \approx 4, 09$ t de apă. (c) Din $\frac{2400}{100 - w} = 30$ rezultă $100 - w = 80$ , deci $w = 20 %$ . (d) $w = 100$ : ar însemna boabe fără substanță uscată. Verificare: $\frac{2400}{80} = 30$ t.

12. (a) $U (8) = 226$ V și $P (8) = 1808$ W; $U (16) = 222$ V și $P (16) = 3552$ W. (b) Pentru $I \neq = 0$ : $\frac{( 230 - 0 , 5 I ) I}{230 I} = \frac{230 - 0 , 5 I}{230} = 1 - \frac{I}{460}$ ; la 16 A randamentul este $\frac{222}{230} \approx 96, 5 %$ . (c) $P = 0$ pentru $I = 0$ și $I = 460$ A. Pe priză apare doar $I = 0$ : la 460 A tensiunea la consumator s-ar anula: scurtcircuit, oprit de siguranță. Verificare: pierderea pe cablu la 16 A este $0, 5 \cdot 1 6^{2} = 128$ W, iar $3552 + 128 = 3680 = 230 \cdot 16$ W.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2014 nu conține, la clasa a IX-a, funcțiile obținute prin produs sau raport citite pe grafic; funcția raport apare în ea abia la clasa a XI-a, la limite și asimptote, cu alte metode. De aceea lecția nu trimite la nicio cerință din probele oficiale 2013–2026. Tema intră în programa Bacalaureatului din 2030, în unitatea «IX.4. Funcții - observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice» din MAT_P3–MAT_P6.

Greșeli care costă puncte

Maximul la mijloc. Crezi că două sarcini cu același randament au vârful la mijlocul lor, ca la parabolă → calculezi valorile vecine din tabel înainte să citești vârful.
Adaos luat drept marjă. Un adaos de 30 % la preț de cumpărare nu e o marjă de 30 % din prețul de vânzare → scrii baza fiecărui procent și recalculezi raportul.
O singură scădere la o alee pe contur. Scrii $(15 - x) (11 - x)$ în loc de $(15 - 2 x) (11 - 2 x)$ → testezi formula pe o schiță în care numeri fâșiile.
Asimptota luată drept valoare atinsă. Spui că ponderea ajunge la 100 % sau că combina coboară la 14 L/ha → verifici dacă ecuația cu acel nivel are soluție; dacă nu, nivelul e doar un capăt.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); citirea pe grafic a funcțiilor-raport nu se cere la acel examen, fiindcă programa de examen din 2014 nu o conține. Tema intră în programa Bacalaureatului din 2030, în unitatea «IX.4. Funcții - observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice» din MAT_P3–MAT_P6.

Întrebări frecvente

Se cere tema aceasta la Bacalaureatul din 2030?

Programele de examen MAT_P3–MAT_P6 (OMEC 5077/2026, Anexele 4.3–4.6) conțin, toate patru, unitatea IX.4, în care apar funcțiile obținute prin produs sau raport. Subiectele pentru 2030 nu există încă, deci lecția nu promite nimic despre cerințele lor.

Ce înseamnă un randament de 90,9 %?

Că din fiecare 100 kWh plătiți, 90,9 kWh ajung la ax, iar restul de 9,1 kWh se pierd ca încălzire și frecare. Procentul se obține împărțind puterea utilă la puterea absorbită și înmulțind cu 100.

De ce nu poate depăși randamentul 100 %?

Puterea utilă face parte din puterea absorbită, deci numărătorul e mai mic decât numitorul și raportul rămâne sub 1. Un rezultat peste 100 % arată o greșeală: ai împărțit invers sau ai încurcat unitățile din enunț.

De ce randamentul maxim nu e la sarcina maximă?

Pierderile au două părți. Cele fixe, de frecare și ventilație, cântăresc mult la sarcini mici; cele din încălzirea înfășurărilor cresc cu pătratul sarcinii și cântăresc mult la sarcini mari. Randamentul e cel mai bun între ele: la motorul din lecție, la 5 kW, unde cele două pierderi sunt egale, câte 0,25 kW.

Ce deosebește randamentul de consumul specific?

Sunt rapoarte inverse: randamentul împarte ce obții la ce consumi, consumul specific împarte ce consumi la ce obții (litri pe hectar, kWh pe piesă). Dacă randamentul crește, consumul specific scade. Randamentul nu are unitate, consumul specific are.