Scurgerea apei: funcția radical pentru tehnologic

Apa dintr-un colector de canalizare nu curge de două ori mai repede când țeava coboară de două ori mai tare. Viteza ei urmează o funcție cu radical, care urcă tot mai încet. La clasa a IX-a, pe filiera tehnologică, citești o asemenea funcție pe tabel și pe grafic: valori, praguri, intersecții cu axele. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) o așază abia la clasa a X-a.

Situația de pornire

Primăria unei comune montează un colector de canalizare menajeră din țeavă de PVC cu diametrul de 300 mm, pe o stradă de 360 m care coboară spre racordul la rețeaua orașului vecin. Proiectantul alege panta colectorului, adică cu câți milimetri coboară țeava pe fiecare metru; panta se scrie în promile (‰), iar 4 ‰ înseamnă 4 mm la metru. Dacă panta e prea mică, apa curge încet și lasă pe fund nisip și grăsimi; dacă e prea mare, curge prea repede și macină îmbinările. Fișa tehnică a țevii dă viteza apei într-un colector plin, pentru șase pante.

Proiectul cere ca viteza să fie de cel puțin 0,75 m/s, ca apa să-și spele singură fundul, și de cel mult 2,4 m/s (valori din exemplu, nu norme). Instalatorul observă ceva neobișnuit: între 3 ‰ și 7 ‰ viteza crește cu 0,40 m/s, deși panta crește cu doar 4 ‰, iar între 27 ‰ și 34 ‰ crește cu 0,28 m/s, deși panta crește cu 7 ‰.

Întrebare: între ce limite poate fi panta colectorului ca viteza apei să respecte proiectul, și se încadrează strada de 360 m, care coboară 4,68 m de la un capăt la celălalt?

De la situație la model

Tabelul de mai jos traduce colectorul în limbajul funcțiilor.

Cum ai găsit formula din tabel? Împarte fiecare viteză la rădăcina pătrată a pantei: $0,74:\sqrt{3}\approx 0,427$, $1,14:\sqrt{7}\approx 0,431$, $1,49:\sqrt{12}\approx 0,430$, $1,87:\sqrt{19}\approx 0,429$, $2,23:\sqrt{27}\approx 0,429$ și $2,51:\sqrt{34}\approx 0,430$. Toate rapoartele sunt aproape egale cu 0,43; diferențele mici vin din rotunjirea vitezelor la sutimi. Deci $v=0,43\sqrt{i}$.

Radicalul unui număr $a\ge 0$ este numărul nenegativ $\sqrt{a}$ al cărui pătrat este $a$: $\sqrt{49}=7$, pentru că $7^2=49$. Funcția radical este $f(x)=\sqrt{x}$ și are domeniul $[0;+\infty )$, mulțimea numerelor pentru care formula are sens; viteza din colector este această funcție înmulțită cu constanta $c=0,43$.

Cum arată graficul și ce spune el despre viteză?

Curba pornește din origine, fiindcă $v(0)=0$: pe o țeavă orizontală apa stă pe loc. Originea este singurul punct comun cu axele: ecuația $v(i)=0$ are o singură soluție, $i=0$. În stânga lui $Oy$ nu există grafic, pentru că pantele din model nu sunt negative.

Funcția este strict crescătoare: dacă $i_1<i_2$, atunci $v(i_1)<v(i_2)$, iar curba urcă de la stânga la dreapta. Urcă însă tot mai încet, spre deosebire de funcția de gradul I a consumului și a debitului, care crește cu același număr la fiecare pas egal. Din tabel: de la 3 ‰ la 7 ‰ viteza crește cu 0,10 m/s pe fiecare ‰, iar de la 27 ‰ la 34 ‰ numai cu 0,04 m/s pe ‰. Regula practică: ca să dublezi viteza, împătrești panta. De la 3 ‰ la 12 ‰ viteza trece de la 0,74 la 1,49 m/s, adică de două ori, în limita rotunjirii, pentru că $\sqrt{4i}=2\sqrt{i}$.

Mulțimea valorilor din model este $[0;+\infty )$. Funcția are valoarea cea mai mică, 0, în $i=0$, și nu are valoare cea mai mare: oricât de mare ai lua panta, viteza din formulă crește. Curba nu se apropie de nicio dreaptă; pe un interval $[a;b]$ valoarea cea mai mică este $f(a)$ și cea mai mare este $f(b)$.

Cum afli panta pentru o viteză dată?

Pornești de pe $Oy$ din valoarea $m$, mergi pe orizontala $y=m$ până la grafic și cobori pe $Ox$. Funcția fiind strict crescătoare, orizontala taie graficul o singură dată. Pentru precizie, calculezi: din $0,43\sqrt{i}=m$ rezultă $\sqrt{i}=m:0,43$, iar $i$ este pătratul acestui număr. Pentru $m=1,5$ obții $1,5:0,43\approx 3,488$, deci $i\approx 12,17$ ‰. Verifici înlocuind: $0,43\sqrt{12,17}\approx 1,5$.

Pentru citirile de pe grafic, ca axele și pașii caroiajului, vezi și citirea graficului.

Metoda pas cu pas

1. Citește axele: ce măsoară $Ox$ și ce măsoară $Oy$, în ce unități, și pentru ce valori ale lui $x$ există graficul. În colector, $x$ este panta în ‰ și $y$ este viteza în m/s; panta nu e negativă, deci graficul începe pe $Oy$ și merge spre dreapta.
2. Află constanta $c$ din tabel: împarte fiecare valoare $y$ la $\sqrt{x}$. Dacă toate rapoartele sunt egale, până la rotunjire, legea este $y=c\sqrt{x}$; aici, $1,49:\sqrt{12}\approx 0,430$, ca la celelalte rânduri. Dacă rapoartele diferă mult, funcția nu are forma $c\sqrt{x}$ și nu mai poți folosi pașii următori.
3. Pentru „cât este $f(a)$?” calculează $c\sqrt{a}$ cu tasta de radical și rotunjește ca în tabel, sau citește verticala $x=a$. La $a=13$: $0,43\sqrt{13}\approx 1,55$. Controlează dacă rezultatul cade între valorile rândurilor vecine: 1,55 este între 1,49 și 1,87, deci e plauzibil.
4. Pentru „când este $f(x)=m$?” citește orizontala $y=m$, apoi calculează $x=(m:c{)}^2$. Nu uita pătratul: $m:c$ este numai $\sqrt{x}$, nu $x$. Pentru $m=1,5$ și $c=0,43$ obții $3,49$, iar $x$ este $3,49^2\approx 12,2$.
5. Pentru o condiție de forma „între $m_1$ și $m_2$” află câte un $x$ pentru fiecare limită; funcția fiind crescătoare, intervalul căutat se află între cele două valori. Rotunjește spre interior, ca limitele proiectului să nu fie depășite: capătul de jos în sus, cel de sus în jos. Aici, 3,04 ‰ devine 3,1 ‰, iar 31,15 ‰ devine 31,1 ‰.
6. Verifică: înlocuiește rezultatul în formulă și vezi dacă iese $m$; vezi dacă punctul cade între rândurile vecine ale tabelului; scrie răspunsul cu unitatea, în ‰ pentru pantă și în m/s pentru viteză, și spune în cuvinte ce înseamnă el pentru colector.

Fișa de buzunar

$$f(x)=c\sqrt{x},x\ge 0,c>0$$

$$f(x)=m⟺x={\left(\frac{m}{c}\right)}^2(m\ge 0)$$

A doua relație se aplică numai pentru $c>0$ și $m\ge 0$; pentru $m<0$ ecuația nu are soluție, fiindcă un radical nu iese negativ. Funcția trece prin origine și este strict crescătoare; dacă $x$ se înmulțește cu 4, valoarea se dublează. Verificare rapidă: pătratul lui $f(x)$ trebuie să dea $c^{2}x$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Colectorul de pe stradă

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia colectorul din situația de pornire: $v(i)=0,43\sqrt{i}$, cu viteza între 0,75 și 2,4 m/s. a) Citește din tabel viteza la 7 ‰ și la 27 ‰, apoi calculează-o la 13 ‰. b) La ce pantă ajunge viteza la 1,5 m/s? c) Între ce pante respectă colectorul proiectul? d) Strada coboară 4,68 m pe 360 m: se încadrează?

Rezolvare. a) Din tabel, $v(7)=1,14$ m/s și $v(27)=2,23$ m/s. Pentru 13 ‰ calculezi $0,43\sqrt{13}\approx 0,43\cdot 3,606\approx 1,55$ m/s, valoare între 1,49 și 1,87, cum cere graficul.

b) $\sqrt{i}=1,5:0,43\approx 3,488$, deci $i\approx 12,17$ ‰.

c) Pentru 0,75 m/s: $\sqrt{i}=0,75:0,43\approx 1,744$, deci $i\approx 3,04$ ‰. Pentru 2,4 m/s: $\sqrt{i}=2,4:0,43\approx 5,581$, deci $i\approx 31,15$ ‰. Funcția fiind crescătoare, viteza e în limite pentru pantele din $[3,04;31,15]$. Rotunjești spre interior: panta trebuie să fie între 3,1 ‰ și 31,1 ‰.

d) Panta străzii este $4,68:360=0,013$, adică 13 ‰. Ea e în interval, iar viteza, 1,55 m/s, respectă proiectul.

Capcană. Cine uită să ridice la pătrat împarte direct: $0,75:0,43\approx 1,74$ și $2,4:0,43\approx 5,58$. Ar obține intervalul $[1,74;5,58]$ și ar respinge strada de 13 ‰, deși ea dă 1,55 m/s, în limite.

Verificare. Pe alt drum, din tabel: rândul de 3 ‰ dă 0,74, sub 0,75, iar 7 ‰ dă 1,14, deci limita de jos stă între 3 și 7. Rândul de 27 ‰ dă 2,23, sub 2,4, iar 34 ‰ dă 2,51, deci limita de sus stă între 27 și 34. Prin înlocuire, $0,43\sqrt{3,1}\approx 0,757$ și $0,43\sqrt{31,1}\approx 2,398$, ambele în limite.

Exemplul 2 — Comanda de adeziv

Domeniu: comert.

Enunț. Un magazin de materiale de construcții vinde adeziv pentru gresie, în saci. O comandă către furnizor costă 48 lei (transport și lucrări administrative), iar păstrarea unui sac în depozit costă 6 lei pe an. Din aceste costuri, fișa dă numărul de saci de comandat o dată, în funcție de vânzările anuale $D$: $Q=\sqrt{\frac{2\cdot 48\cdot D}{6}}=\sqrt{16D}=4\sqrt{D}$. Magazinul vinde 85 de saci pe lună. a) Câți saci se comandă o dată, rotunjit la un număr întreg? b) Câte comenzi se fac într-un an?

Rezolvare. a) Într-un an se vând $85\cdot 12=1020$ de saci. Atunci $Q=4\sqrt{1020}\approx 4\cdot 31,937\approx 127,7$, deci se comandă 128 de saci. b) Numărul de comenzi este $1020:128\approx 7,97$, adică 8 comenzi pe an.

Capcană. Cine pune în formulă vânzările lunare, nu pe cele anuale, obține $4\sqrt{85}\approx 36,9$, adică 37 de saci. Ar comanda de peste trei ori mai puțin decât trebuie.

Verificare. Prin pătrat: $127,7^2\approx 16307$, iar $16\cdot 1020=16320$, aproape același număr. Dacă vânzările se împătresc, la 4080 de saci pe an, comanda se dublează: $4\sqrt{4080}\approx 255$.

Exemplul 3 — Urma de frânare

Domeniu: auto.

Enunț. După un incident ușor, un expert măsoară urma lăsată de roțile blocate ale unei mașini. Pe asfalt uscat, el folosește formula $v=14\sqrt{d}$, cu $d$ lungimea urmei în metri și $v$ viteza la începutul frânării în km/h. Tabelul său: urmă de 6 m, 34 km/h; 11 m, 46 km/h; 18 m, 59 km/h; 27 m, 73 km/h; 38 m, 86 km/h. a) Urma are 20 m: ce viteză indică? b) În localitate limita este de 50 km/h: ce lungime a urmei corespunde exact acestei viteze? c) Exprimă în m/s viteza de 70 km/h.

Rezolvare. a) $v=14\sqrt{20}\approx 14\cdot 4,472\approx 62,6$ km/h; valoarea cade între 59 și 73, ca graficul. b) Din $14\sqrt{d}=50$ rezultă $\sqrt{d}=50:14\approx 3,571$, deci $d\approx 12,76$ m. Orizontala de 50 km/h taie curba între 11 m și 18 m, așa că rezultatul se potrivește. c) Un kilometru pe oră înseamnă 1000 m în 3600 s, deci $70:3,6\approx 19,4$ m/s.

Capcană. Cine înmulțește cu 3,6, în loc să împartă, obține $70\cdot 3,6=252$, o viteză absurdă de 252 m/s. Ca să treci din km/h în m/s, împarți la 3,6; ca să treci din m/s în km/h, înmulțești.

Verificare. La 12,76 m formula dă $14\sqrt{12,76}\approx 50,0$ km/h. Iar urma de 20 m, mai lungă decât cea de 18 m, trebuie să indice mai mult de 59 km/h, ceea ce confirmă 62,6.

Exemplul 4 — Problema inversă: constanta cuptorului

Domeniu: mecanica.

Enunț. De data aceasta constanta lipsește: o scoți din probele atelierului și abia apoi afli timpul. La un atelier de tratamente termice, adâncimea stratului cementat al unei roți dințate crește cu rădăcina pătrată a timpului de menținere $t$, în ore: $d=k\sqrt{t}$, cu $d$ în mm. Atelierul nu știe constanta $k$ a cuptorului său. A cementat trei probe și a măsurat stratul: 1,41 mm după 5 ore, 1,78 mm după 8 ore și 2,36 mm după 14 ore. Desenul cere un strat de 2,1 mm. Cât trebuie să țină roata în cuptor, în ore întregi?

Rezolvare. Rapoartele $d:\sqrt{t}$ sunt $1,41:\sqrt{5}\approx 0,631$, $1,78:\sqrt{8}\approx 0,629$ și $2,36:\sqrt{14}\approx 0,631$, deci legea se potrivește, cu $k\approx 0,63$. Pentru $d=2,1$: $\sqrt{t}=2,1:0,63\approx 3,333$, deci $t\approx 11,11$ h, adică 11 h 7 min. Cuptorul se programează pe ore întregi, iar o durată mai mică nu-ți dă stratul cerut, așa că rotunjești în sus, la 12 ore.

Capcană. Cine uită pătratul calculează $t=2,1:0,63\approx 3,33$ h. Cu 3 ore și 20 de minute, stratul ar fi de numai $0,63\sqrt{3,33}\approx 1,15$ mm, mult sub cei 2,1 mm ai desenului.

Verificare. La 11 ore stratul este $0,63\sqrt{11}\approx 2,09$ mm, sub 2,1; la 12 ore este $0,63\sqrt{12}\approx 2,18$ mm, peste 2,1. Deci 12 ore e cea mai mică durată întreagă bună, iar punctul de 2,1 mm de pe grafic stă între probele de 8 și 14 ore.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează $f(0)$, $f(25)$ și $f(0,49)$ pentru $f(x)=6\sqrt{x}$.

2. Care dintre punctele $A(49;21)$, $B(25;12)$ și $C(0,36;1,8)$ aparțin graficului funcției $f(x)=3\sqrt{x}$?

3. Pentru $f(x)=1,8\sqrt{x}$, află $x$ din $f(x)=7,2$ și din $f(x)=0$. Are soluție ecuația $f(x)=-3$?

4. Fie $g(x)=5\sqrt{x}$. a) Fără calculator: care e mai mare, $g(30)$ sau $g(31)$? b) De câte ori se înmulțește valoarea lui $g$ când $x$ trece de la 2 la 50?

Nivelul 2 — situații

5. La un cablu cu conductor plin de cupru, diametrul, în mm, este $d=1,13\sqrt{S}$, unde $S$ e secțiunea în mm². Tabelul: $S=2,5$ dă 1,79 mm; $S=4$ dă 2,26 mm; $S=6$ dă 2,77 mm; $S=10$ dă 3,57 mm. a) Citește diametrul pentru $S=6$. b) Ce secțiune are un conductor de 3,57 mm? c) Calculează diametrul pentru $S=8$.

6. Pe asfalt ud, viteza maximă cu care un autoturism ia o curbă de rază $R$ (m) este $v=8\sqrt{R}$ km/h (valoare din exemplu). Tabelul: $R=34$ m dă 47 km/h; $R=58$ dă 61; $R=82$ dă 72; $R=126$ dă 90. a) Citește viteza la $R=58$. b) Ce rază minimă cere o viteză de 70 km/h, rotunjită în sus la metri?

7. La un erbicidator, debitul unei duze este $Q=0,46\sqrt{p}$ l/min, cu presiunea $p$ în bar (valoare din exemplu). Tabelul duzei: $p=2$ dă 0,65 l/min; $p=3$ dă 0,80; $p=4$ dă 0,92; $p=5$ dă 1,03. a) Citește debitul la 3 bar. b) Ce presiune dă 0,70 l/min, rotunjită la zecimi de bar? c) Presiunea merge între 1,5 și 5 bar: se poate dubla din presiune debitul de la 2 bar?

8. Un magazin trimite colete prin doi curieri. Un colet de $m$ kg costă $12\sqrt{m}$ lei la firma A și $2,4m$ lei la B. Tabelul, în lei: $m=6$: A 29,4, B 14,4; $m=11$: A 39,8, B 26,4; $m=25$: A 60, B 60; $m=33$: A 68,9, B 79,2. a) La ce masă costă la fel? b) Pentru ce mase e mai ieftină firma A? c) Cât costă un colet de 30 kg la fiecare firmă?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) La o patiserie, blaturile de tartă au aceeași grosime, deci diametrul crește cu rădăcina pătrată a masei de aluat: $d=1,6\sqrt{m}$ cm, cu $m$ în grame (valoare din exemplu). a) Ce diametru are un blat din 300 g? b) Câte grame cere un blat de 28 cm? c) De câte ori crește aluatul de la blatul de 20 cm la cel de 28 cm? De ce nu de 1,4 ori?

10. (Sinteză.) Patru tronsoane ale colectorului, cu $v(i)=0,43\sqrt{i}$, au pantele 4, 9, 16 și 25 ‰. a) Calculează vitezele. b) Arată că vitezele formează o progresie aritmetică, deși pantele cresc cu 5, 7 și 9 ‰. c) Ce pantă ar cere un al cincilea tronson în aceeași progresie? Respectă limita de viteză a proiectului?

11. (Sinteză.) Graficul funcției $f(x)=a\sqrt{x}$ trece prin punctul $A(4;5)$. a) Determină constanta $a$. b) Ce abscisă are punctul $B$ al graficului cu ordonata 12,5? c) De câte ori crește ordonata când abscisa trece de la 4 la 36?

12. (Sinteză.) Fie $f(x)=2\sqrt{x}$ și $g(x)=\frac{x}{4}+4$, pentru $x\ge 0$. a) Completează valorile pentru $x\in \{0,4,16,36\}$. b) Arată că $g(x)-f(x)={\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-2\right)}^2$. c) Deduce că graficul lui $f$ nu trece peste dreapta $g$ și o atinge într-un singur punct. Care?

Răspunsuri și verificări

1. $f(0)=0$; $f(25)=6\cdot 5=30$; $f(0,49)=6\cdot 0,7=4,2$. Verificare: $0,7^2=0,49$ și $5^2=25$.

2. $A$ aparține graficului, pentru că $3\sqrt{49}=21$; $B$ nu, pentru că $3\sqrt{25}=15\ne 12$; $C$ aparține, pentru că $3\sqrt{0,36}=3\cdot 0,6=1,8$. Verificare: $0,6^2=0,36$.

3. Din $1,8\sqrt{x}=7,2$ rezultă $\sqrt{x}=4$, deci $x=16$. Din $f(x)=0$ rezultă $x=0$. Ecuația $f(x)=-3$ nu are soluție, pentru că $1,8\sqrt{x}\ge 0$. Verificare: $1,8\cdot 4=7,2$.

4. a) $g(30)<g(31)$, fiindcă funcția este strict crescătoare. b) $g(50):g(2)=\sqrt{50:2}=\sqrt{25}=5$, deci valoarea se înmulțește cu 5. Verificare: $35,36:7,07\approx 5$, cu $g(2)\approx 7,07$ și $g(50)\approx 35,36$.

5. a) 2,77 mm. b) $S=10$ mm². c) $d=1,13\sqrt{8}\approx 3,20$ mm. Verificare: 3,20 mm cade între 2,77 și 3,57 mm.

6. a) 61 km/h. b) Din $8\sqrt{R}=70$ rezultă $\sqrt{R}=8,75$ și $R=76,5625$, deci cel puțin 77 m. Verificare: $8\sqrt{77}\approx 70,2$ km/h, iar 77 m cade între 58 m și 82 m.

7. a) 0,80 l/min. b) $\sqrt{p}=0,70:0,46\approx 1,522$, deci $p\approx 2,32$, adică 2,3 bar. c) Nu: debitul dublu cere presiunea de 4 ori mai mare, $4\cdot 2=8$ bar, peste 5 bar; se schimbă duza. Verificare: $0,46\sqrt{2,3}\approx 0,698$ l/min, iar 2,3 bar cade între 2 și 3 bar, ca 0,70 între 0,65 și 0,80.

8. a) La 25 kg, 60 lei la fiecare firmă. b) Firma A e mai ieftină pentru mase mai mari de 25 kg. c) La A: $12\sqrt{30}\approx 65,7$ lei; la B: $2,4\cdot 30=72$ lei. Verificare: la 25 kg, $12\cdot 5=60=2,4\cdot 25$.

9. a) $d=1,6\sqrt{300}\approx 1,6\cdot 17,32\approx 27,7$ cm. b) $\sqrt{m}=28:1,6=17,5$, deci $m=17,5^2=306,25$, adică 306 g. c) Masa crește cu pătratul raportului diametrelor: $(28:20{)}^2=1,4^2=1,96$, aproape dublu, fiindcă aluatul acoperă o arie. Verificare: $(20:1,6{)}^2=156,25$ g, iar $306,25:156,25=1,96$.

10. a) $0,43\cdot 2=0,86$; $0,43\cdot 3=1,29$; $0,43\cdot 4=1,72$; $0,43\cdot 5=2,15$ m/s. b) Radicalii pantelor sunt 2, 3, 4, 5, deci vitezele cresc de fiecare dată cu 0,43 m/s: progresie aritmetică cu rația 0,43 m/s. c) Următoarea viteză ar fi 2,58 m/s, adică $\sqrt{i}=6$ și $i=36$ ‰; 2,58 m/s trece de 2,4 m/s, deci nu respectă proiectul. Verificare: 36 ‰ e peste panta maximă de 31,1 ‰ din Exemplul 1.

11. a) Din $a\sqrt{4}=5$ rezultă $a=2,5$, deci $f(x)=2,5\sqrt{x}$. b) Din $2,5\sqrt{x}=12,5$ rezultă $\sqrt{x}=5$, deci $x=25$, punctul $B(25;12,5)$. c) $f(4)=5$ și $f(36)=15$, deci ordonata crește de 3 ori. Verificare: $\sqrt{36}:\sqrt{4}=3$.

12. a) Pentru $f$ avem 0, 4, 8, 12, iar pentru $g$ avem 4, 5, 8, 13. b) Dezvolți: ${\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-2\right)}^2=\frac{x}{4}-2\sqrt{x}+4=g(x)-f(x)$. c) Un pătrat nu e negativ, deci $g(x)\ge f(x)$ pentru $x\ge 0$, cu egalitate numai la $\sqrt{x}=4$, adică $x=16$. Punctul de contact este $(16;8)$. Verificare: în tabel, $f(16)=g(16)=8$.

Așa vine la Bac M3

Funcția radical figurează în programa de examen, însă nu a apărut în probele 2013–2026. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) o așază la clasa a X-a, în blocul «Funcții și ecuații», alături de funcția putere, de cea exponențială și de cea logaritmică. În indexul cerințelor, alcătuit din cele 83 de probe oficiale, nicio cerință nu are drept subiect, principal sau secundar, funcția radical.

Ecuațiile cu radicali formează o temă separată din același bloc: ele apar în probele oficiale, la Subiectul I, și se rezolvă algebric, cu verificarea soluțiilor; după ridicarea la pătrat ajungi adesea la o ecuație de gradul al II-lea. Despre funcția radical nu există așadar nicio cerință reală de citat, iar cerințe-model nu inventăm.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă radicalul de ce știi deja: aluatul unui blat, care crește cu pătratul diametrului, vitezele în progresie aritmetică pe tronsoanele unui colector, constanta aflată dintr-un punct al graficului și o curbă care atinge o dreaptă. Niciunul nu e luat dintr-o probă. Celelalte lecții ale clasei se găsesc în hubul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Împarți direct la constantă, $0,75:0,43\approx 1,74$, în loc să ridici la pătrat → obții limite prea mici și respingi pante bune, ca cea de 13 ‰; cum o prinzi: înlocuiește pantele în formulă și vezi dacă viteza iese 0,75 m/s.
• Crezi că viteza e proporțională cu panta, deci că dublul pantei dă dublul vitezei → la 14 ‰ ai scrie $2\cdot 1,14=2,28$ m/s, în loc de 1,61 m/s; cum o prinzi: compară cu rândurile vecine ale tabelului, 1,49 la 12 ‰ și 1,87 la 19 ‰.
• Rotunjești limita de jos în jos, 3,0 ‰ în loc de 3,1 ‰ → viteza ar fi $0,43\sqrt{3}\approx 0,745$ m/s, sub 0,75; cum o prinzi: înlocuiești limita rotunjită în formulă.
• Scrii panta străzii în procente în loc de promile, 1,3 în loc de 13 → viteza ar ieși $0,43\sqrt{1,3}\approx 0,49$ m/s și ai respinge strada; cum o prinzi: 1 ‰ înseamnă 1 mm pe metru, iar 4 680 mm pe 360 m dau 13 mm la metru.
• Pui în graficul funcției puncte cu $x$ negativ → un radical din număr negativ nu există; cum o prinzi: verifică domeniul $[0;+\infty )$ înainte de a calcula.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, funcția radical de ordin 2 face parte din programa de examen (programa de examen o așază în clasa a X-a). În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Cu cât crește viteza apei dacă panta colectorului se dublează de la 7 ‰ la 14 ‰?

Nu se dublează. La 7 ‰ viteza este 1,14 m/s, iar la 14 ‰ este $0,43\sqrt{14}\approx 1,61$ m/s, adică de 1,41 ori mai mare. Pentru dublul vitezei, panta se împătrește: de la 3 ‰ la 12 ‰ viteza trece de la 0,74 la 1,49 m/s.

Ce viteză are apa dacă țeava e orizontală?

Zero. La panta $i=0$ formula dă $v=0$, iar punctul $(0;0)$ e singurul în care graficul atinge axele. Ca apa să se spele singură, colectorul are nevoie de cel puțin 3,1 ‰, panta la care viteza ajunge la 0,75 m/s.

Contează lungimea străzii pentru viteza apei?

Nu, contează numai panta, adică raportul dintre cât coboară țeava și lungimea ei. Strada de 360 m care coboară 4,68 m și un tronson de 180 m care coboară 2,34 m au aceeași pantă, 13 ‰, deci apa curge la fel, cu 1,55 m/s. Lungimea schimbă doar câtă țeavă cumperi.

De ce limita de jos se rotunjește în sus, la 3,1 ‰, nu la 3,0 ‰?

Calculul dă 3,04 ‰, iar la 3,0 ‰ viteza ar fi 0,745 m/s, sub limita de 0,75 m/s. La 3,1 ‰ viteza este 0,757 m/s, în limite. Capătul de jos al unui interval cerut se rotunjește în sus, iar cel de sus în jos, ca limitele să nu fie depășite.

Pot primi la Bacalaureatul M3 o cerință despre graficul funcției radical?

Programa M_tehnologic o are la clasa a X-a, dar în probele din 2013–2026 nicio cerință n-a avut-o ca subiect, după indexul celor 83 de probe. Fiind în programă, poate fi cerută. Ecuațiile cu radicali, în schimb, apar în probe, la Subiectul I.

Ce face proiectantul dacă strada coboară cu 40 ‰?

La 40 ‰ formula dă $0,43\sqrt{40}\approx 2,72$ m/s, peste limita de 2,4 m/s. Țeava nu se mai așază paralel cu strada: se pune la o pantă de cel mult 31,1 ‰, iar diferența de nivel se recuperează în cămine de rupere de pantă, unde apa coboară pe verticală.