Fișă de lucru: Matrice inversabile și ecuații matriceale — clasa a XI-a (tehnologic)

Fișă de lucru pentru ora de la clasă — capitolul „Matrice inversabile și ecuații matriceale", clasa a XI-a (clasa 11, a 11-a), filiera tehnologică (M3). Are 10 exerciții așezate în ordinea dificultății și un barem la final, pe pagină separată la tipărire. Se dă la oră, se corectează pe loc.

Numele elevului: …………………………………  ·  Clasa: ……………  ·  Data: ……………
Timp de lucru: 40–50 de minute  ·  10 exerciții  ·  Punctaj: 9 puncte (1 punct din oficiu)

Fișă de lucru — Matrice inversabile și ecuații matriceale (10 exerciții)

1. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}13& 7\\ 11& 6\end{array}\right)$ ai $\det A=1$, iar inversa se scrie $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot N$, unde $N$ este o matrice intermediară. Care este $N$?

   a) $\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ 11& 13\end{array}\right)$ · b) $\left(\begin{array}{cc}-13& -7\\ -11& -6\end{array}\right)$ · c) $\left(\begin{array}{cc}6& -7\\ -11& 13\end{array}\right)$ · d) $\left(\begin{array}{cc}6& -11\\ -7& 13\end{array}\right)$

   Răspuns: ………

2. Doi indicatori ai calității apei, $u$ și $v$, se obțin din concentrațiile $x$ și $y$ ale doi poluanți prin $u=4x+6y$ și $v=3x+5y$, adică prin matricea $A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 3& 5\end{array}\right)$. Matricea $A^{-1}$ readuce $(u;v)$ la $(x;y)$. Cât este elementul de pe linia 1 și coloana 2 al lui $A^{-1}$?

   a) $-3$ · b) $3$ · c) $-6$ · d) $-1,5$

   Răspuns: ………

3. Tabelul complementelor algebrice ale unei matrice $A$ de ordin 3 este $C=\left(\begin{array}{ccc}13& -4& 7\\ -9& 12& 2\\ 5& -11& 6\end{array}\right)$. Care este adjuncta $A^{\ast }$?

   a) $\left(\begin{array}{ccc}13& -4& 7\\ -9& 12& 2\\ 5& -11& 6\end{array}\right)$ · b) $\left(\begin{array}{ccc}13& -9& 5\\ -4& 12& -11\\ 7& 2& 6\end{array}\right)$ · c) $\left(\begin{array}{ccc}13& 9& 5\\ 4& 12& 11\\ 7& -2& 6\end{array}\right)$ · d) $\left(\begin{array}{ccc}6& 2& 7\\ -11& 12& -4\\ 5& -9& 13\end{array}\right)$

   Răspuns: ………

4. O fermă planifică hrănirea a 4 loturi de animale cu 2 sortimente de furaj. Matricea necunoscută $X$ are 4 linii și 2 coloane și verifică $X\cdot A=B$, unde $A$ este pătratică de ordin 2, cu $\det A\ne 0$, iar $B$ are tot 4 linii și 2 coloane. Care este soluția?

   a) $X=A^{-1}\cdot B$ · b) $X=A\cdot B^{-1}$ · c) $X=B\cdot A^{-1}$ · d) $X=\frac{B}{A}$

   Răspuns: ………

5. O fabrică de mobilă face două tipuri de rafturi. Un raft de tipul 1 cere 4 plăci și 7 ore de lucru, iar unul de tipul 2 cere 3 plăci și 5 ore. O comandă folosește 75 de plăci și 129 de ore. Matricea cerințelor este $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 7& 5\end{array}\right)$, cu plăcile pe linia întâi și orele pe linia a doua. Câte rafturi de tipul 2 se fac?

   Răspuns: ………………………………………………

6. Un fermier amestecă trei tipuri de îngrășământ. Un sac din fiecare tip conține azot, fosfor și potasiu, în kilograme, după matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}8& 2& 4\\ 10& 3& 4\\ 11& 2& 6\end{array}\right)$, cu nutrienții pe linii (azot, fosfor, potasiu) și tipurile pe coloane. Pentru o parcelă are nevoie de exact 86 kg de azot, 107 kg de fosfor și 114 kg de potasiu. Câți saci folosește în total?

   Răspuns: ………………………………………………

7. O fermă amestecă două furaje. Matricea conținutului, în unități nutritive pe kilogram, este $A=\left(\begin{array}{cc}14& 9\\ 11& 7\end{array}\right)$, cu liniile proteină și energie și cu coloanele furajul I și furajul II. Două grupe de animale au consumat $B=\left(\begin{array}{cc}208& 243\\ 163& 190\end{array}\right)$ unități, cu grupa 1 pe prima coloană și grupa 2 pe a doua. Ecuația este $A\cdot X=B$, unde $X$ are în linii furajul I și II (în kg), iar în coloane grupele. Câte kilograme din furajul I primește grupa a doua?

   Răspuns: ………………………………………………

8. Matricea de amestec a doi reactivi este $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 7\\ 3& 2\end{array}\right)$, unde $a$ este un număr întreg de mililitri. Laboratorul vrea ca matricea de dozare $A(a{)}^{-1}$ să aibă numai elemente întregi, ca să nu lucreze cu fracții de mililitru. Care este suma valorilor lui $a$ pentru care se întâmplă asta, în mililitri?

   Răspuns: ………………………………………………

9. O brutărie face trei sortimente, pâine, covrigi și cozonac. Timpii de lucru pe lot, în minute, sunt în matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}20& 35& 15\\ 25& 50& 30\\ 15& 35& 30\end{array}\right)$, cu liniile frământare, dospire și coacere și cu sortimentele pe coloane. Într-o săptămână, cele trei posturi au lucrat 8,25 h, 12 h și 8,75 h. Câte loturi de cozonac s-au făcut?

   Răspuns: ………………………………………………

10. Un laborator prepară trei soluții din trei reactivi. O șarjă din fiecare soluție consumă reactivi, în litri, după matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}9& 8& 12\\ 4& 2& 7\\ 6& 4& 9\end{array}\right)$, cu soluțiile pe linii și reactivii R1, R2, R3 pe coloane. Într-o zi s-au consumat 95 L de R1, 68 L de R2 și 143 L de R3. Ecuația $X\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}95& 68& 143\end{array}\right)$ are ca necunoscută linia $X$ a numărului de șarje. Câte șarje din a doua soluție s-au făcut?

    Răspuns: ………………………………………………

Barem de corectare — Matrice inversabile și ecuații matriceale, clasa a XI-a (tehnologic)

Lucrarea valorează 9 puncte, împărțite egal la cele 10 exerciții (0,9 p fiecare), plus 1 punct din oficiu — maximum 10.

Fișă de lucru de la matepolis.ro/fise-de-lucru-matematica-tehnologic-clasa-11/fisa-matrice-inversabile-si-ecuatii-matriceale-tehnologic-clasa-11/ — gratuit, fără cont.