Test tehnologic: integrala definită, arii, volume

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Integrala definită

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați ${\int }_2^5\left(6x^2-4x+3\right)dx$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Funcția continuă $f:[2;5]\to \mathbb{R}$ verifică $7\le f(x)\le 11$ pentru orice $x\in [2;5]$. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „$21\le {\int }_2^{5}f(x)dx\le 33$”; b) „$7\le {\int }_2^{5}f(x)dx\le 11$”; c) „$35\le {\int }_2^{5}f(x)dx\le 55$”; d) „$49\le {\int }_2^{5}f(x)dx\le 77$”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Care este valoarea integralei ${\int }_0^1(12x+17)e^{x}dx$?

Variantele: a) „$17e-5$”; b) „$29e-17$”; c) „$41e-29$”; d) „$17e+12$”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați ${\int }_0^{1}x{\left(x^2+3\right)}^{4}dx$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$ pentru $x\le 2$ și $f(x)=3x$ pentru $x>2$. Calculați ${\int }_1^{4}f(x)dx$ și ${\int }_4^{1}f(x)dx$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0;2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{5x+6}$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

După o ploaie torențială, bazinul de retenție al unei comune primește apa de pe străzi prin două canale. Pe canalul A, debitul, în m³ pe oră, la $t$ ore de la începutul ploii, este $a(t)=\frac{60(2t+1)}{t^2+t+5}$, pentru $0\le t\le 4$. Pe canalul B, care adună apa de pe un deal, debitul este $b(t)=\frac{40(4t+10)}{(t+1)(t+3)}$, pentru $0\le t\le 3$. Se dau $\ln 2\approx 0,693$ și $\ln 5\approx 1,609$.

a) (5 puncte) Calculați câți m³ de apă intră în bazin pe canalul A în primele 4 ore, rotunjit la unitate.

b) (5 puncte) Arătați că $\frac{4t+10}{(t+1)(t+3)}=\frac{3}{t+1}+\frac{1}{t+3}$ și calculați câți m³ de apă intră în bazin pe canalul B în primele 3 ore, rotunjit la unitate.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Pe un șantier se nivelează o fâșie de teren lungă de 6 m și lată de 20 m. Pe linia mediană, abaterea terenului față de planul de nivelare, în metri, la distanța $x$ metri de capătul fâșiei, este $d(x)=\frac{x(x-3)(x-6)}{100}$, pentru $0\le x\le 6$. Unde $d>0$, terenul este mai sus decât planul și se sapă; unde $d<0$, este mai jos și se umple. Aria dintre graficul lui $d$ și axa $Ox$, înmulțită cu lățimea de 20 m, dă volumul de pământ mutat.

a) (5 puncte) Stabiliți semnul lui $d$ pe $(0;3)$ și pe $(3;6)$ și calculați ${\int }_0^{3}d(x)dx$ și ${\int }_3^{6}d(x)dx$.

b) (5 puncte) Aflați aria dintre graficul lui $d$ și axa $Ox$ pe $[0;6]$ și volumul de pământ care se sapă, în m³, apoi arătați că pământul săpat ajunge pentru umplutură.

Exercițiul 9 (10 puncte)

O moară de făină folosește pentru dozare o pâlnie de metal. Profilul ei interior este graficul funcției $g:[2;8]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}$, cu $x$ și $g(x)$ în centimetri, iar pâlnia se obține prin rotația acestui grafic în jurul axei $Ox$. Se dau $\pi \approx 3,14$ și $\ln 2\approx 0,693$.

a) (5 puncte) Arătați că volumul pâlniei este $72\pi \ln 2$ cm³ și calculați-l, rotunjit la unitate.

b) (5 puncte) Calculați volumele a doi cilindri cu înălțimea de 6 cm, unul cu raza egală cu cea mai mică rază a pâlniei și altul cu raza egală cu cea mai mare, și verificați că volumul pâlniei se află între ele.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x+4\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-5x)dx=8\ln 2-4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-5x}{x^2}dx=4-\frac{8}{e}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care ${\int }_1^{n}x(f(x)-5x)dx=18\ln 3-8$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x+64$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{16}\frac{x}{f(x)-4x}dx=\frac{1}{2}\ln 5$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-8}^8\frac{64}{f(x)-4x}dx=4\pi$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^8\frac{f(x)}{f(x)-4x}dx=a+2\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Baremul scrie fiecare rezolvare pe pași, cu punctele între paranteze, iar o rezolvare corectă diferită de a noastră ia exact aceleași puncte. La Partea a III-a, subpunctul nu primește punctele lui dacă lipsesc calculul și justificarea, chiar când rezultatul este corect. Rezultatele finale sunt scrise îngroșat.

Exercițiul 1.

O primitivă a funcției de integrat este $F(x)=2x^3-2x^2+3x$ (2 p). Valorile sunt $F(5)=250-50+15=215$ și $F(2)=16-8+6=14$ (2 p), deci integrala este $215-14=201$ (1 p). Verificare: derivata lui $F$ este $6x^2-4x+3$. Cine scade valorile funcției, nu ale primitivei, obține $f(5)-f(2)=133-19=114$, o mărime cu altă unitate.

Exercițiul 2.

Din $7\le f(x)\le 11$ pe $[2;5]$ rezultă, prin monotonie, ${\int }_2^{5}7dx\le {\int }_2^{5}f(x)dx\le {\int }_2^{5}11dx$ (2 p), iar integralele constantelor sunt $7\cdot 3=21$ și $11\cdot 3=33$ (2 p); răspunsul este $\mathbf{a})$ (1 p). Verificare: lungimea intervalului este $5-2=3$. Cine uită lungimea intervalului ia varianta b), cine folosește capătul de sus, 5, ia varianta c), iar cine folosește suma capetelor, $2+5=7$, ia varianta d).

Exercițiul 3.

Alegem $u=12x+17$ și $v^{\prime }=e^x$, deci $u^{\prime }=12$ și $v=e^x$ (1 p); formula părților dă ${\int }_0^1(12x+17)e^{x}dx=[(12x+17)e^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}12e^{x}dx$ (1 p). Paranteza este $29e-17$ (1 p), iar ${\int }_0^{1}12e^{x}dx=12(e-1)$ (1 p). Diferența este $29e-17-12e+12=17e-5$, deci răspunsul este $\mathbf{a})$ (1 p). Verificare: derivata lui $(12x+5)e^x$ este $12e^x+(12x+5)e^x=(12x+17)e^x$. Varianta b) uită integrala rămasă, varianta c) o adună în loc să o scadă, iar varianta d) scrie paranteza doar cu valoarea din 1, fără $-17$ din $x=0$: $29e-12(e-1)=17e+12$.

Exercițiul 4.

Notăm $t=x^2+3$; atunci $dt=2xdx$, deci $xdx=\frac{dt}{2}$ (1 p). Pentru $x=0$ avem $t=3$, iar pentru $x=1$ avem $t=4$ (1 p). Integrala devine $\frac{1}{2}{\int }_3^4{t}^{4}dt=\frac{1}{2}[\frac{t^5}{5}{]}_3^4$ (1 p), adică $\frac{4^5-3^5}{10}=\frac{1024-243}{10}$ (1 p), deci $\frac{781}{10}$ (1 p). Verificare: derivata lui $\frac{{\left(x^2+3\right)}^5}{10}$ este $x{\left(x^2+3\right)}^4$. Cine păstrează limitele 0 și 1 pentru $t$ obține $\frac{1}{10}$.

Exercițiul 5.

Punctul de tăiere $x=2$ este în interiorul intervalului $[1;4]$, iar cele două formule dau aceeași valoare în el, $2^2+2=6$ și $3\cdot 2=6$ (1 p). Prin aditivitate, ${\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_1^2\left(x^2+2\right)dx+{\int }_2^{4}3xdx$ (1 p). Prima integrală este $[\frac{x^3}{3}+2x{]}_1^2=\frac{20}{3}-\frac{7}{3}=\frac{13}{3}$ (1 p), iar a doua este $[\frac{3x^2}{2}{]}_2^4=24-6=18$ (1 p). Suma este $\frac{13}{3}+18=\frac{67}{3}$, iar cu limitele inversate ${\int }_4^{1}f(x)dx=-\frac{67}{3}$ (1 p). Verificare: derivata primitivei de pe fiecare tronson regăsește formula tronsonului. Cine folosește $x^2+2$ pe tot intervalul obține ${\int }_1^4\left(x^2+2\right)dx=27$.

Exercițiul 6.

Volumul este $V=\pi {\int }_0^{2}g(x{)}^{2}dx$ (1 p), iar $g(x{)}^2=5x+6$ (1 p). O primitivă a lui $5x+6$ este $\frac{5x^2}{2}+6x$ (1 p), cu valorile $10+12=22$ în 2 și 0 în 0 (1 p), deci $V=22\pi$ (1 p). Verificare: $g(0{)}^2=6$ și $g(2{)}^2=16$, iar $g$ crește, deci volumul se află între cilindrii de înălțime 2 și raze la pătrat 6 și 16, adică între $12\pi$ și $32\pi$; $22\pi$ se află între ele.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Derivata numitorului $t^2+t+5$ este $2t+1$, deci $a(t)=60\cdot \frac{{\left(t^2+t+5\right)}^{\prime }}{t^2+t+5}$, iar o primitivă a lui $a$ este $60\ln \left(t^2+t+5\right)$ (2 p). Numitorul are valoarea 5 în $t=0$ și 25 în $t=4$ (1 p), deci volumul de apă este $60\ln 25-60\ln 5=60\ln 5$ (1 p), adică aproximativ $60\cdot 1,609\approx 96,5$, deci $97$ m³ (1 p).

b) (5 p) Prin numitor comun, $\frac{3}{t+1}+\frac{1}{t+3}=\frac{3(t+3)+(t+1)}{(t+1)(t+3)}=\frac{4t+10}{(t+1)(t+3)}$ (1 p). O primitivă a lui $b$ este $40(3\ln (t+1)+\ln (t+3))$ (1 p), cu valoarea $40(3\ln 4+\ln 6)$ în $t=3$ și $40\ln 3$ în $t=0$ (1 p). Diferența este $40(6\ln 2+\ln 2)=280\ln 2$ (1 p), adică aproximativ $280\cdot 0,693\approx 194,0$, deci $194$ m³ (1 p).

Verificare: a) la începutul ploii debitul este $\frac{60}{5}=12$ m³ pe oră și nu coboară sub această valoare în primele 4 ore, fiindcă $60(2t+1)\ge 12\left(t^2+t+5\right)$ revine la $t^2\le 9t$; cine ia debitul constant, 12 m³ pe oră, obține 48 m³ în 4 ore, mult sub 97; b) debitul canalului B scade de la $\frac{400}{3}$ la $\frac{110}{3}$ m³ pe oră, deci în 3 ore intră între 110 și 400 m³, iar 194 se află între ele.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Pe $(0;3)$ avem $x>0$, $x-3<0$ și $x-6<0$, deci $d>0$; pe $(3;6)$ avem $x>0$, $x-3>0$ și $x-6<0$, deci $d<0$ (1 p). Cum $d(x)=\frac{x^3-9x^2+18x}{100}$, o primitivă este $D(x)=\frac{1}{100}\left(\frac{x^4}{4}-3x^3+9x^2\right)$ (1 p). Valorile sunt $D(0)=0$, $D(3)=\frac{1}{100}\left(\frac{81}{4}-81+81\right)=\frac{81}{400}$ și $D(6)=\frac{1}{100}(324-648+324)=0$ (1 p). Deci ${\int }_0^{3}d(x)dx=\frac{81}{400}$ (1 p), iar ${\int }_3^{6}d(x)dx=0-\frac{81}{400}=-\frac{81}{400}$ (1 p).

b) (5 p) Pe $[0;3]$ aria este ${\int }_0^{3}d=\frac{81}{400}$, iar pe $[3;6]$, unde $d\le 0$, este $-{\int }_3^{6}d=\frac{81}{400}$ (2 p); aria totală este $\frac{81}{200}=0,405$ m² (1 p). Pământul se sapă din prima parte: $\frac{81}{400}\cdot 20=4,05$ m³ (1 p); umplutura din a doua parte cere tot $\frac{81}{400}\cdot 20=4,05$ m³, deci pământul săpat ajunge exact (1 p). Verificare: ${\int }_0^{6}d=0$, adică cele două suprafețe au arii egale. Cine calculează aria ca ${\int }_0^{6}d$ obține 0 și ar spune că nu se mută niciun pământ.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Volumul este $V=\pi {\int }_2^{8}g(x{)}^{2}dx$ (1 p), iar $g(x{)}^2=\frac{36}{x}$ (1 p). O primitivă este $36\ln x$ (1 p), deci $V=\pi (36\ln 8-36\ln 2)=36\pi \ln 4=72\pi \ln 2$ (1 p). Numeric, $72\cdot 3,14\cdot 0,693\approx 156,7$, adică aproximativ $157$ cm³ (1 p).

b) (5 p) Funcția $g$ este descrescătoare, deci raza cea mai mare este $g(2)=\frac{6}{\sqrt{2}}$, cu $g(2{)}^2=18$, iar cea mai mică este $g(8)=\frac{6}{\sqrt{8}}$, cu $g(8{)}^2=\frac{9}{2}$ (2 p). Cilindrul cu raza cea mică are volumul $\pi \cdot \frac{9}{2}\cdot 6=27\pi \approx 84,8$ cm³, iar cel cu raza mare are $\pi \cdot 18\cdot 6=108\pi \approx 339,1$ cm³ (2 p). Cum $84,8<156,7<339,1$, volumul pâlniei se află între ele (1 p). Verificare: $27\pi <72\pi \ln 2<108\pi$ revine la $0,375<\ln 2<1,5$, adevărat pentru $\ln 2\approx 0,693$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Avem $f(x)-5x=4\ln x$; cu $u=\ln x$ și $v^{\prime }=1$, deci $u^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $v=x$, formula părților dă ${\int }_1^2\ln xdx=[x\ln x{]}_1^2-{\int }_1^{2}1dx$ (3 p). Paranteza este $2\ln 2$, iar a doua integrală este 1, deci integrala cerută este $4(2\ln 2-1)=8\ln 2-4$ (2 p).

b) (5 p) Avem $\frac{f(x)-5x}{x^2}=\frac{4\ln x}{x^2}$; cu $u=\ln x$ și $v^{\prime }=\frac{1}{x^2}$, deci $u^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $v=-\frac{1}{x}$, formula părților dă ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x^2}dx=[-\frac{\ln x}{x}{]}_1^e+{\int }_1^e\frac{1}{x^2}dx$ (3 p). Paranteza este $-\frac{1}{e}$, iar a doua integrală este $[-\frac{1}{x}{]}_1^e$, adică $1-\frac{1}{e}$; integrala cerută este $4\left(1-\frac{2}{e}\right)=4-\frac{8}{\mathbf{e}}$ (2 p).

c) (5 p) Avem $x(f(x)-5x)=4x\ln x$; cu $u=\ln x$ și $v^{\prime }=4x$, deci $u^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $v=2x^2$, formula părților dă ${\int }_1^{n}4x\ln xdx=[2x^2\ln x{]}_1^n-{\int }_1^{n}2xdx$, adică $2n^2\ln n-n^2+1$ (3 p). Pentru $n=3$ se obține $2\cdot 9\ln 3-9+1=18\ln 3-8$, iar expresia $2n^2\ln n-n^2+1$ crește odată cu $n$ (derivata lui $2x^2\ln x-x^2$ este $4x\ln x$, pozitivă pentru $x>1$), deci egalitatea are loc numai pentru $n=3$ (2 p).

Verificare: a) derivata lui $4(x\ln x-x)$ este $4\ln x$; b) derivata lui $-\frac{4\ln x+4}{x}$ este $\frac{4\ln x}{x^2}$, iar $4-\frac{8}{e}\approx 1,06$ este pozitiv, cum trebuie, fiindcă $\ln x\ge 0$ pe $[1;e]$; cine ia $v=\frac{1}{x}$, fără minus, obține $\frac{8}{e}-4$, un număr negativ, imposibil aici; c) pentru $n=2$ expresia dă $8\ln 2-3\approx 2,55$, mult sub $18\ln 3-8\approx 11,78$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Avem $f(x)-4x=x^2+64>0$, iar derivata numitorului este $2x$, deci $\frac{x}{x^2+64}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+64}$, cu $2x$ numărătorul egal cu derivata numitorului (3 p). Integrala este $\frac{1}{2}[\ln \left(x^2+64\right){]}_0^{16}=\frac{1}{2}(\ln 320-\ln 64)=\frac{1}{2}\ln 5$ (2 p).

b) (5 p) Numitorul $x^2+64$ este de forma $x^2+k^2$ cu $k=8$, deci o primitivă a lui $\frac{64}{x^2+64}$ este $64\cdot \frac{1}{8}\arctan \frac{x}{8}=8\arctan \frac{x}{8}$ (3 p). Valorile dau $8\arctan 1-8\arctan (-1)=8\cdot \frac{\pi }{4}+8\cdot \frac{\pi }{4}=4\pi$ (2 p).

c) (5 p) Gradul numărătorului este egal cu al numitorului, deci scriem $\frac{f(x)}{f(x)-4x}=\frac{\left(f(x)-4x\right)+4x}{f(x)-4x}=1+\frac{4x}{x^2+64}$ (3 p). Avem ${\int }_0^{8}1dx=8$ și ${\int }_0^8\frac{4x}{x^2+64}dx=2[\ln \left(x^2+64\right){]}_0^8=2\ln 2$, deci integrala este $8+2\ln 2$ și $a=8$ (2 p).

Verificare: a) derivata lui $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+64\right)$ este $\frac{x}{x^2+64}$; b) derivata lui $8\arctan \frac{x}{8}$ este $\frac{1}{1+x^2/64}=\frac{64}{x^2+64}$; cine uită factorul $\frac{1}{k}$ al arctangentei obține $64\cdot \frac{\pi }{2}=32\pi$, de opt ori mai mult, iar cine scrie pentru $\arctan (-1)$ valoarea $\frac{\pi }{4}$, fără minus, obține 0, imposibil pentru o funcție pozitivă; c) $\frac{4x}{x^2+64}\le \frac{1}{4}$ revine la $16x\le x^2+64$, adevărat pentru orice $x$ real, fiindcă diferența dintre membrul drept și cel stâng este pătratul lui $x-8$, deci funcția de integrat are valori între 1 și $\frac{5}{4}$, integrala se află între 8 și 10, iar $8+2\ln 2\approx 9,4$ se află între ele.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea de integrală definită a clasei a XII-a, filiera tehnologică, pe cele șapte lecții ale ei: „Leibniz–Newton la tehnologic: calcul în 3 pași”, „Integrala pe tronsoane la tehnologic”, „Bac tehnologic: alegerea funcțiilor la părți”, „Substituția t = u(x) și limitele noi, tehnologic”, „Fracții în integrală: Q de gradul 2, tehnologic”, „Aria cu integrala la tehnologic: o rigolă” și „Bac tehnologic: volum prin rotația graficului”. Primitivele, verificate prin derivare și din tabel, rămân în sarcina testului anterior.

• Punctaj: nota se formează din 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, adică 100 de puncte.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se scrie individual, pe foaie, fără calculator; rezultatele cu $e$, $\ln$ sau $\pi$ rămân exacte, iar rotunjirea se face numai unde enunțul oferă aproximările. La Partea a III-a contează drumul parcurs: fără calcul și fără justificare, nici rezultatul corect nu ia punctele subpunctului. Ghidajul taie fiecare exercițiu în etape mici: mai întâi o întrebare cu variante de răspuns, apoi un număr de calculat; după fiecare variantă greșită vine explicația greșelii, iar ghidajul se folosește doar când exercițiul nu iese singur.
• Între 90 și 100 de puncte: unitatea este stăpânită și poți trece la testul următor.
• Între 75 și 89 de puncte: rezolvi din nou, cu ghidajul pornit, exercițiile la care ai pierdut puncte.
• Între 60 și 74 de puncte: te întorci la lecțiile din tabel pentru exercițiile încheiate sub jumătate dintre puncte și refaci testul peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi cele șapte lecții în ordinea lor și lucrezi testul cu ghidajul de la primul pas.
• Formule de reținut: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, când $f$ este continuă pe $[a;b]$ și $F^{\prime }=f$ (constanta nu se scrie); integrala este liniară, ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$ pentru $a\le c\le b$, ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$, iar pentru $f$ continuă, $m\le f\le M$ pe $[a;b]$ cu $a<b$ dă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$; ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$, pentru funcții cu derivate continue, cu $u$ factorul care se simplifică prin derivare; ${\int }_a^{b}g(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}g(t)dt$, dacă $u^{\prime }$ este continuă pe $[a;b]$ și $g$ este continuă pe valorile lui $u$, cu limitele noi $u(a)$ și $u(b)$; ${\int }_a^b\frac{Q^{\prime }(x)}{Q(x)}dx=\ln \frac{Q(b)}{Q(a)}$, dacă $Q$ nu se anulează pe $[a;b]$ (la $Q<0$ se scrie $\ln |Q|$); $\frac{1}{x^2+k^2}$, cu $k>0$, are primitiva $\frac{1}{k}\arctan \frac{x}{k}$, iar $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ și $\arctan (-1)=-\frac{\pi }{4}$; $-\frac{1}{x}$ este o primitivă a lui $\frac{1}{x^2}$ pe $(0;+\infty )$ (ca în lecția despre volum, unde $\frac{16}{x^2}$ are primitiva $-\frac{16}{x}$); $\frac{P(x)}{(x-p)(x-q)}=\frac{A}{x-p}+\frac{B}{x-q}$ cu $A=\frac{P(p)}{p-q}$ și $B=\frac{P(q)}{q-p}$, dacă $P$ are gradul cel mult 1 și $p\ne q$; aria este ${\int }_a^{b}f$ unde $f\ge 0$ și $-{\int }_a^{b}f$ unde $f\le 0$, pe fiecare parte; volumul de rotație în jurul axei $Ox$ al graficului continuu al lui $g$ este $V=\pi {\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx$, iar $m\le |g|\le M$ dă $\pi m^2(b-a)\le V\le \pi M^2(b-a)$.

Exercițiile 10 și 11 au marcajul „tip Bacalaureat M3”: copiază structura problemei 2 din Subiectul al III-lea (aceeași funcție, trei cerințe de câte 5 puncte), cu funcții și numere noi. În exercițiul 10 domină integrarea prin părți cu logaritm, iar în exercițiul 11 fracțiile cu numitorul $x^2+64$.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Subiectul al III-lea, problema 2, conține cerințele de integrală definită; în probele oficiale 2013–2026, integrala definită cu formula Leibniz–Newton a apărut în toate cele 83 de probe, integrarea pe tronsoane în 3 probe, integrarea prin părți în 29 de probe, schimbarea de variabilă în 20 de probe, fracțiile cu numitor de gradul al doilea în 17 probe, aria în 21 de probe, iar volumul unui corp de rotație în 17 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.