Aria și volumul cu integrale: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Aplicații ale integralei definite, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a; în tema ei stă la finalul paginii „Aplicații ale integralei definite”.

$A$ e aria dintre grafic și axa $Ox$, pe $[a;b]$, iar $c$ este punctul unde graficul taie axa. Primul rând se folosește când $f$ nu schimbă semnul, al doilea când îl schimbă o singură dată. $V$ este volumul corpului obținut când graficul lui $g$ se rotește în jurul axei $Ox$; $m$ și $M$ sunt minimul și maximul lui $|g|$ pe $[a;b]$. Aria are unitatea ariei, volumul pe cea a volumului. Capcană: la volum, $g^2$ e pozitiv chiar dacă $g$ e negativ, deci rândurile 1 și 2 nu intră; volumul nu schimbă semnul. Control: volumul e mai mare decât al cilindrului de rază $m$ și mai mic decât al celui de rază $M$.

Exemplu: Debitul net al unei pompe de bazin este $f(x)=7,5x-1,5x^2$ m³/h, cu $x$ în ore: pozitiv pe $[0;5]$ (bazinul se umple), negativ pe $[5;6]$ (bazinul se golește). Cu $F(x)=3,75x^2-0,5x^3$, aria de deasupra axei este ${\int }_0^{5}f=31,25$ m³, iar cea de dedesubt $-{\int }_5^{6}f=4,25$ m³, împreună $35,5$ m³ trecuți prin pompă. Un vas decorativ din beton are raza $g(x)=0,5+0,1x^2$ m, pe $[0;2]$: $V=\pi {\int }_0^2{g}^{2}dx=\pi [0,25x+\frac{x^3}{30}+\frac{x^5}{500}{]}_0^2\approx 2,61$ m³, între $\pi \cdot 0,5^2\cdot 2\approx 1,57$ și $\pi \cdot 0,9^2\cdot 2\approx 5,09$ m³.