Legi de compoziție și grupuri: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a; în tema ei stă la finalul paginii „Legi de compoziție și clase de resturi”.

$M$ e mulțimea, $\circ$ legea, $e$ neutrul și $x^{\prime }$ simetricul lui $x$. Primul rând cere ca $x\circ y$ să rămână în $M$, pentru orice $x$ și $y$ din $M$; al doilea scrie neutrul și simetricul cu egalitatea pe ambele părți. În ${\mathbb{Z}}_n$, $\hat{a}$ și $\hat{b}$ sunt clasele lui $a$ și $b$, iar opusul lui $\hat{k}$ este $\widehat{n-k}$. Ultimul rând privește funcția $f$ de la grupul $G$, cu legea $\circ$, la grupul cu legea $\star$: legea din $G$ stă în stânga, cea de sosire în dreapta. Capcană: un element poate fi propriul simetric, ca $\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_6$, deci nu căuta mereu $x^{\prime }\ne x$. Control: un morfism duce neutrul în neutru; dacă $f(e)$ nu e neutrul de sosire, $f$ nu e morfism.

Exemplu: Două proceduri de îngrijire se suprapun pe 7 minute, iar durata totală se află cu $x\circ y=x+y-7$ pe $M=[7;\infty )$, în min. Pentru proceduri de 40 min și 25 min: $40\circ 25=40+25-7=58$ min. Legea e internă, fiindcă $x,y\ge 7$ dă $x\circ y\ge 7$. Neutrul se află din $x\circ e=x$: $e=7\in M$, dar simetricul $x^{\prime }=14-x$ iese din $M$ pentru $x>7$: la $x=40$ dă $-26\notin M$, deci $(M,\circ )$ nu e grup, pe când $(\mathbb{R},\circ )$ este. Funcția $f(x)=x-7$, durata fără cele 7 minute comune, verifică $f(x\circ y)=f(x)+f(y)$: $51=33+18$. Turele se repetă din 7 în 7 zile: $\hat{5}+\hat{4}=\hat{2}$, iar $-\hat{3}=\widehat{7-3}=\hat{4}$.