Test tehnologic: limite și asimptote

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite și asimptote

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = {17 x - 29, x^{2} - 5 x + 17, x < 3 x \geq 3$ . Calculează limitele laterale ale funcției $f$ în $x = 3$ și spune dacă $f$ are limită în acest punct.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculează $lim_{x \to - \infty} \frac{6 e ^{x} + 21}{e ^{x} + 3}$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Care este valoarea limitei $lim_{x \to 0^{-}} (7 - \frac{5}{x})$ ?

Variantele: a) „ $- \infty$ ”; b) „ $+ \infty$ ”; c) „ $7$ ”; d) „ $2$ ”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează $lim_{x \to 5} \frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 3 x - 10}$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Calculează $lim_{x \to + \infty} \frac{18 x ^{3} - 7 x}{( 4 x - 1 ) ( 3 x ^{2} + 2 )}$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : (0; + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{12 x - 5}{4 x + 9}$ . Determină ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un furnizor de energie electrică facturează un consum de $q$ kWh astfel: $T (q) = 0, 68 q$ lei pentru $q \leq 150$ și $T (q) = 0, 81 q - 19, 5$ lei pentru $q > 150$ , a doua formulă incluzând o reducere pe primii 150 kWh.

a) (5 puncte) Calculează limita la stânga și limita la dreapta a lui $T$ în $q = 150$ , apoi $T (150)$ , și spune dacă factura are salt în acest punct.

b) (5 puncte) Furnizorul schimbă a doua formulă în $T_{2} (q) = 0, 81 q - 14$ lei, pentru $q > 150$ . Calculează noua limită la dreapta în $q = 150$ și saltul, în lei, și explică ce înseamnă el pentru un client care trece de pragul de 150 kWh.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Într-un rezervor de irigații, volumul de apă pompat în primele $t$ ore este $V (t) = 6 t^{2} + 17 t$ metri cubi, pentru $t \geq 0$ .

a) (5 puncte) Debitul din momentul $t = 4$ este $lim_{t \to 4} \frac{V ( t ) - V ( 4 )}{t - 4}$ . Calculează-l, în m³/h.

b) (5 puncte) Calculează $lim_{t \to + \infty} \frac{V ( t )}{t ^{2}}$ și spune ce arată rezultatul pentru un timp lung de pompare.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Costul total al exploatării unui utilaj de ridicat, în sute de lei, pentru $x$ ore de lucru, este $C (x) = \frac{4 x ^{2} + 30 x + 17}{x + 3}$ , pentru $x \geq 0$ .

a) (5 puncte) Determină ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $C$ și spune dacă graficul are asimptotă verticală.

b) (5 puncte) Cu dreapta de la a) se estimează costul pentru 34 de ore de lucru. Cu câți lei diferă costul estimat de costul real $C (34)$ ?

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{3} - 9 x + 14$ .

a) (5 puncte) Arătați că $lim_{x \to 2} f (x) = 36$ .

b) (5 puncte) Calculați $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x ( 2 x + 1 ) ( 3 x + 4 )}$ .

c) (5 puncte) Calculați $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x ) - 5 x ^{3}}{3 x + 2}$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : (1; + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{7 x ^{2} - 3 x - 5}{x - 1}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $lim_{x \to 3} f (x) = \frac{49}{2}$ .

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

c) (5 puncte) Arătați că nu există asimptotă orizontală spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

Barem și răspunsuri

Baremul scrie fiecare rezolvare pe pași și pune punctele pașilor între paranteze; rezultatele finale sunt îngroșate. Orice rezolvare corectă, chiar diferită, are același punctaj; la Partea a III-a contează și drumul spre rezultat, iar un răspuns lipsit de calcul nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Pentru $x < 3$ se folosește prima ramură, o expresie definită și în $3$ , deci $l_{s} = 17 \cdot 3 - 29 = 22$ (2 p). Pentru $x > 3$ se folosește a doua ramură, deci $l_{d} = 3^{2} - 5 \cdot 3 + 17 = 9 - 15 + 17 = 11$ (2 p). Cum $22 \neq = 11$ , cele două limite laterale nu coincid și $f$ nu are limită în $x = 3$ (1 p). Verificare: $f (2, 99) = 17 \cdot 2, 99 - 29 = 21, 83$ este aproape de 22, iar $f (3, 01) = 3, 0 1^{2} - 5 \cdot 3, 01 + 17 \approx 11, 01$ este aproape de 11.

Exercițiul 2.

Când $x \to - \infty$ , graficul exponențialei se lipește de axa $O x$ , deci $e^{x} \to 0$ (2 p). Numărătorul tinde la $6 \cdot 0 + 21 = 21$ , iar numitorul la $0 + 3 = 3$ , care nu este 0 (2 p). Limita este $\frac{21}{3} = 7$ (1 p). Verificare: cine crede că $e^{x} \to + \infty$ ia raportul coeficienților lui $e^{x}$ și obține 6, iar cine pune $x = 0$ obține $\frac{6 + 21}{1 + 3} = \frac{27}{4}$ ; niciunul nu este limita spre $- \infty$ .

Exercițiul 3.

Pentru $x < 0$ , apropiat de 0, numărul $\frac{5}{x}$ este negativ și tot mai mare în valoare absolută, deci $\frac{5}{x} \to - \infty$ (2 p). Atunci $- \frac{5}{x} \to + \infty$ , iar $7 - \frac{5}{x} = 7 + (- \frac{5}{x}) \to 7 + \infty = + \infty$ (2 p). Răspunsul este $b)$ (1 p). Verificare: pentru $x = - 0, 01$ expresia este $7 + 500 = 507$ , iar pentru $x = - 0, 001$ este $7 + 5000 = 5007$ , adică tot mai mare.

Exercițiul 4.

Pentru $x = 5$ numărătorul este $25 - 25 = 0$ și numitorul este $25 - 15 - 10 = 0$ , deci avem forma $\frac{0}{0}$ (1 p). Se descompun în factori: $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ și $x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x + 2)$ (2 p). Pentru $x \neq = 5$ se simplifică prin $x - 5$ , iar $lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x + 2} = \frac{10}{7}$ , adică $\frac{10}{7}$ (2 p). Verificare: pentru $x = 5, 01$ câtul $\frac{10 , 01}{7 , 01}$ este aproape de $1, 43 \approx \frac{10}{7}$ .

Exercițiul 5.

Produsul de la numitor este $(4 x - 1) (3 x^{2} + 2) = 12 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 2$ (1 p). Numărătorul și numitorul au gradul 3, deci se scoate $x^{3}$ factor comun la ambele: $\frac{x ^{3} ( 18 - \frac{7}{x ^{2}} )}{x ^{3} ( 12 - \frac{3}{x} + \frac{8}{x ^{2}} - \frac{2}{x ^{3}} )}$ (2 p). Fracțiile cu $x$ la numitor tind la 0, deci limita este $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ (2 p). Verificare: pentru $x = 1000$ , numărătorul este $18 \cdot 1 0^{9} - 7000$ , iar numitorul $12 \cdot 1 0^{9} - 3 \cdot 1 0^{6} + 8000 - 2$ , un cât apropiat de $1, 5$ .

Exercițiul 6.

Pentru $x \to + \infty$ se scoate $x$ factor comun: $f (x) = \frac{x ( 12 - \frac{5}{x} )}{x ( 4 + \frac{9}{x} )} = \frac{12 - \frac{5}{x}}{4 + \frac{9}{x}}$ (2 p). Cum $\frac{5}{x} \to 0$ și $\frac{9}{x} \to 0$ , rezultă $lim_{x \to + \infty} f (x) = \frac{12}{4} = 3$ (1 p). Limita este un număr real, deci asimptota orizontală spre $+ \infty$ este dreapta de ecuație $y = 3$ (2 p). Verificare: $f (1000) = \frac{11995}{4009} \approx 2, 99$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Pentru $q \to 150$ cu $q < 150$ se folosește prima formulă: $l_{s} = 0, 68 \cdot 150 = 102$ (1 p). Pentru $q > 150$ , $l_{d} = 0, 81 \cdot 150 - 19, 5 = 121, 5 - 19, 5 = 102$ (2 p). Valoarea în punct este $T (150) = 0, 68 \cdot 150 = 102$ , fiindcă $q = 150$ intră în prima formulă; cele trei numere sunt egale, deci limita există și factura nu are salt în $q = 150$ (2 p).

b) (5 p) Noua limită la dreapta este $l_{d} = 0, 81 \cdot 150 - 14 = 121, 5 - 14 = 107, 5$ lei (2 p), iar limita la stânga rămâne $l_{s} = 102$ lei (1 p). Saltul este $l_{d} - l_{s} = 107, 5 - 102 = 5, 5$ lei: un client care trece de 150 kWh plătește brusc cu 5,5 lei mai mult, chiar dacă a consumat doar puțin peste prag (2 p).

Exercițiul 8.

a) (5 p) $V (4) = 6 \cdot 16 + 17 \cdot 4 = 164$ , iar pentru $t = 4$ numărătorul $V (t) - 164$ și numitorul $t - 4$ sunt 0, deci avem forma $\frac{0}{0}$ (1 p). Numărătorul se descompune: $6 t^{2} + 17 t - 164 = (t - 4) (6 t + 41)$ (2 p). Pentru $t \neq = 4$ se simplifică prin $t - 4$ , iar $lim_{t \to 4} (6 t + 41) = 6 \cdot 4 + 41 = 65$ m³/h (2 p).

b) (5 p) $\frac{V ( t )}{t ^{2}} = \frac{6 t ^{2} + 17 t}{t ^{2}} = 6 + \frac{17}{t}$ (2 p). Cum $\frac{17}{t} \to 0$ , limita este $6$ (2 p). Rezultatul arată că, după multe ore, volumul pompat este aproape $6 t^{2}$ metri cubi: termenul $17 t$ devine neglijabil față de $6 t^{2}$ (1 p).

Exercițiul 9.

a) (5 p) Panta este $m = lim_{x \to + \infty} \frac{C ( x )}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{4 x ^{2} + 30 x + 17}{x ^{2} + 3 x} = 4$ (2 p). Apoi $n = lim_{x \to + \infty} (C (x) - 4 x) = lim_{x \to + \infty} \frac{4 x ^{2} + 30 x + 17 - 4 x ( x + 3 )}{x + 3} = lim_{x \to + \infty} \frac{18 x + 17}{x + 3} = 18$ , deci asimptota oblică spre $+ \infty$ este $y = 4 x + 18$ (2 p). Numitorul se anulează numai în $x = - 3$ , care nu face parte din domeniul $x \geq 0$ , deci graficul nu are asimptotă verticală (1 p).

b) (5 p) $C (34) = \frac{4 \cdot 1156 + 30 \cdot 34 + 17}{37} = \frac{4624 + 1020 + 17}{37} = \frac{5661}{37} = 153$ sute de lei (2 p). Dreapta dă $4 \cdot 34 + 18 = 154$ sute de lei (1 p). Diferența este $154 - 153 = 1$ sută de lei, adică $100$ de lei, cu estimarea mai mare decât costul real (2 p). Verificare: din $C (x) = 4 x + 18 - \frac{37}{x + 3}$ , diferența dintre dreaptă și curbă este $\frac{37}{x + 3} = \frac{37}{37} = 1$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) Funcția $f$ este polinomială, deci este definită în $x = 2$ și $lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$ (2 p). Rezultă $f (2) = 5 \cdot 8 - 9 \cdot 2 + 14 = 40 - 18 + 14 = 36$ (3 p).

b) (5 p) Numitorul este $x (2 x + 1) (3 x + 4) = x (6 x^{2} + 11 x + 4) = 6 x^{3} + 11 x^{2} + 4 x$ , de gradul 3, ca numărătorul (2 p). Scoțând $x^{3}$ factor comun, $\frac{x ^{3} ( 5 - \frac{9}{x ^{2}} + \frac{14}{x ^{3}} )}{x ^{3} ( 6 + \frac{11}{x} + \frac{4}{x ^{2}} )} \to \frac{5}{6}$ , adică $\frac{5}{6}$ (3 p).

c) (5 p) $f (x) - 5 x^{3} = - 9 x + 14$ : termenii de gradul 3 se reduc, iar numărătorul rămas are gradul 1, ca numitorul $3 x + 2$ (2 p). Scoțând $x$ factor comun, $\frac{x ( - 9 + \frac{14}{x} )}{x ( 3 + \frac{2}{x} )} \to \frac{- 9}{3}$ , deci limita este $- 3$ (3 p). Verificare: cine compară gradul lui $f$ , 3, cu gradul numitorului, fără să scadă întâi $5 x^{3}$ , scrie greșit $+ \infty$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) Numărul 3 aparține domeniului $(1; + \infty)$ , iar numitorul în $x = 3$ este $3 - 1 = 2 \neq = 0$ , deci $lim_{x \to 3} f (x) = f (3)$ (2 p). Numărătorul este $7 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 5 = 63 - 9 - 5 = 49$ , deci limita este $\frac{49}{2}$ (3 p).

b) (5 p) $m = lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{7 x ^{2} - 3 x - 5}{x ^{2} - x} = 7$ (2 p). $n = lim_{x \to + \infty} (f (x) - 7 x) = lim_{x \to + \infty} \frac{7 x ^{2} - 3 x - 5 - 7 x ( x - 1 )}{x - 1} = lim_{x \to + \infty} \frac{4 x - 5}{x - 1} = 4$ , deci asimptota oblică este $y = 7 x + 4$ (3 p).

c) (5 p) Se împart numărătorul și numitorul la $x$ : $f (x) = \frac{7 x - 3 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ (3 p). Numărătorul tinde la $+ \infty$ , fiindcă $7 x \to + \infty$ , iar numitorul tinde la 1, deci $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ , care nu este un număr real, deci graficul nu admite asimptotă orizontală spre $+ \infty$ (2 p). Verificare: $f (1000) = \frac{6 996 995}{999} \approx 7004$ și $f (10000) \approx 70004$ , adică valorile cresc fără oprire; graficul urmează, în schimb, dreapta oblică de la b).

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă limitele și asimptotele din clasa a XI-a, filiera tehnologică, prin patru lecții: limitele laterale („Limite laterale la tehnologic: apa la stăvilar”), limitele funcțiilor uzuale („Calculul limitelor uzuale, tehnologic”), formele $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ („Nedeterminări de tip 0/0 la tehnologic”) și asimptotele graficului („Asimptote pentru tehnologic: randamentul pompei”). Continuitatea, derivatele și studiul funcției sunt verificate de teste separate, iar matricele, de testele despre calculul matriceal.

Punctaj: se adună 90 de puncte din exerciții cu 10 puncte din oficiu, pentru un total de 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: testul se scrie individual, pe foaie, fără calculator; fiecare limită iese exact. La Partea a III-a trebuie arătat și drumul spre rezultat, nu doar numărul. Ghidajul taie fiecare exercițiu în etape scurte: o întrebare cu patru variante, apoi un număr de aflat; fiecare variantă greșită spune ce s-a greșit, iar ghidajul se pornește când un exercițiu nu iese.
Dacă ai între 90 și 100 de puncte: unitatea e înțeleasă, mergi la testul următor.
Dacă ai între 75 și 89 de puncte: reia cu ghidajul exercițiile la care ai pierdut puncte.
Dacă ai între 60 și 74 de puncte: reia lecțiile indicate în tabel pentru exercițiile încheiate sub jumătate dintre puncte și refă testul peste o săptămână.
Dacă ai sub 60 de puncte: reia cele patru lecții, în ordine, și lucrează testul cu ghidajul de la primul pas.
Formule de reținut: $lim_{x \to a} f (x) = L$ exact când limita la stânga și limita la dreapta în $a$ sunt egale cu $L$ , iar saltul în $a$ este $l_{d} - l_{s}$ ; pentru o funcție uzuală și $a$ din domeniu, $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ; $\frac{c}{\infty} = 0$ pentru orice număr $c$ , $e^{x} \to 0$ pentru $x \to - \infty$ și $e^{x} \to + \infty$ pentru $x \to + \infty$ , iar $\frac{1}{x}$ tinde la $+ \infty$ pentru $x \to 0^{+}$ și la $- \infty$ pentru $x \to 0^{-}$ ; nu se calculează prin înlocuire $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ și $\infty - \infty$ ; un factor $x - a$ comun numărătorului și numitorului se simplifică numai pentru $x \neq = a$ ; la $\pm \infty$ , un cât de polinoame are limita $0$ dacă gradul numărătorului este mai mic, $\frac{a _{n}}{b _{m}}$ dacă gradele sunt egale și $\pm \infty$ dacă gradul numărătorului este mai mare; $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$ dă asimptota orizontală $y = L$ , iar $lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ dă asimptota verticală $x = a$ ; asimptota oblică este $y = m x + n$ , cu $m = lim \frac{f ( x )}{x} \neq = 0$ și $n = lim (f (x) - m x)$ , ambele numere reale.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 7	limitele laterale, saltul, existența limitei	Limite laterale la tehnologic: apa la stăvilar
2, 3	limitele exponențialei și ale lui $\frac{1}{x}$ , limite cu infinit	Calculul limitelor uzuale, tehnologic
4, 5, 8, 10	nedeterminările $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ , limita raportului	Nedeterminări de tip 0/0 la tehnologic (pentru 10, și lecția despre calculul limitelor uzuale)
6, 9, 11	asimptotele orizontală și oblică	Asimptote pentru tehnologic: randamentul pompei (pentru 11, și lecțiile despre limitele uzuale și nedeterminările)

Exercițiile 10 și 11 au marcajul „tip Bacalaureat M3” și urmează forma problemei 1 din Subiectul al III-lea (trei cerințe despre aceeași funcție), cu alte funcții și alte numere decât în probele oficiale.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Limitele și asimptotele se cer la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026, limita unei funcții uzuale a apărut în 14 probe, nedeterminările în 34 de probe, iar asimptotele în 18 probe; limitele laterale au apărut în 2 probe, ca prim pas al unei demonstrații la Subiectul al III-lea, problema 2. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.