Exerciții rezolvate — Cercul (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Cercul", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un disc are raza $R=11\text{cm}$. Care este aria discului, în formă exactă (cu $\pi$)?

   • a) $121\pi {\text{cm}}^2$
   • b) $22\pi {\text{cm}}^2$
   • c) $11\pi {\text{cm}}^2$
   • d) $242\pi {\text{cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $121\pi {\text{cm}}^2$

   Aplicăm $A=\pi R^2=\pi \cdot 11^2=121\pi {\text{cm}}^2$. Varianta b confundă raza cu diametrul ($2R$), iar celelalte nu ridică raza la pătrat corect.

   Lecția: Aria discului și aria sectorului de cerc →

2. Într-un cerc, coardele $[AB]$ și $[CD]$ sunt paralele. Se știe că arcul mic $\widehat{AC}=35^{\circ }$. Cât măsoară arcul $\widehat{BD}$?

   • a) $17,5^{\circ }$
   • b) $35^{\circ }$
   • c) $70^{\circ }$
   • d) $90^{\circ }$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $35^{\circ }$

   Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente, deci $\widehat{BD}\equiv \widehat{AC}=35^{\circ }$.

   Lecția: Coarde paralele și coarde egal depărtate de centru →

3. Într-un cerc de centru $O$, $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=84^{\circ }$ și $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{EF}})=84^{\circ }$. Se știe că $AB=9$ cm. Cât este $EF$?

   • a) $EF=4,5$ cm
   • b) $EF=9$ cm
   • c) $EF=84$ cm
   • d) Nu se poate afla fără rază
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $EF=9$ cm

   Arcele $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ și $\stackrel{⌢}{\mathrm{EF}}$ au aceeași măsură ($84^{\circ }$), deci sunt congruente. Conform teoremei „la arce congruente corespund coarde congruente", rezultă $EF=AB=9$ cm.

   Lecția: Coarde și arce congruente în cerc →

4. Într-un cerc de rază $13$ cm, o coardă se află la $12$ cm de centru. Cât este lungimea coardei?

   • a) $5$ cm
   • b) $10$ cm
   • c) $12$ cm
   • d) $13$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $10$ cm

   Semicoarda este $\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$ cm, deci coarda întreagă are $AB=2\cdot 5=10$ cm.

   Lecția: Diametrul perpendicular pe o coardă →

5. Un cerc are raza $R=4$ cm. Cât este lungimea cercului, exact, în funcție de $\pi$?

   • a) $4\pi$ cm
   • b) $8\pi$ cm
   • c) $16\pi$ cm
   • d) $2\pi$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $8\pi$ cm

   Folosim formula $L=2\pi R=2\cdot \pi \cdot 4=8\pi$ cm.

   Lecția: Lungimea cercului și lungimea arcului de cerc →

6. Un poligon regulat are unghiul la centru de $20°$. Câte laturi are poligonul?

   • a) 16 laturi
   • b) 18 laturi
   • c) 20 laturi
   • d) 15 laturi
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) 18 laturi

   Din $\frac{360°}{n}=20°$ rezultă $n=\frac{360°}{20°}=18$ laturi.

   Lecția: Poligoane regulate înscrise într-un cerc →

7. Din punctul exterior $P$ se duc tangentele $PA=4x+2$ (cm) și $PB=6x-8$ (cm) la un cerc. Cât este $x$?

   • a) $x=3$
   • b) $x=4$
   • c) $x=5$
   • d) $x=6$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $x=5$

   Tangentele dintr-un punct exterior sunt congruente: $4x+2=6x-8\Rightarrow 10=2x\Rightarrow x=5$ (verificare: $PA=22$, $PB=22$).

   Lecția: Tangente dintr-un punct exterior la un cerc →

8. O coardă a unui cerc subîntinde un arc de $88°$. Cât măsoară un unghi înscris care se sprijină pe acest arc?

   • a) $22°$
   • b) $44°$
   • c) $88°$
   • d) $176°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $44°$

   Unghiul înscris este jumătate din arcul cuprins: $\frac{88°}{2}=44°$.

   Lecția: Unghiul înscris în cerc →

9. O coroană circulară are cercul exterior de rază $R=12\text{cm}$ și cercul interior de rază $r=9\text{cm}$. Care este aria coroanei, în formă exactă (cu $\pi$)?

   • a) $63\pi {\text{cm}}^2$
   • b) $9\pi {\text{cm}}^2$
   • c) $3\pi {\text{cm}}^2$
   • d) $21\pi {\text{cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $63\pi {\text{cm}}^2$

   Aria coroanei este $A=\pi (R^2-r^2)=\pi (144-81)=63\pi {\text{cm}}^2$. Varianta b apare dacă scazi greșit razele și ridici la pătrat ($(R-r{)}^2=3^2=9$), în loc să scazi pătratele razelor.

   Lecția: Aria discului și aria sectorului de cerc →

10. Într-un cerc de centru $O$, coarda $[MN]$ se află la $3$ cm de centru, iar coarda $[PQ]$ la $8$ cm de centru. Care coardă este mai lungă?

    • a) $[MN]$, pentru că e mai aproape de centru
    • b) $[PQ]$, pentru că e mai departe de centru
    • c) Sunt egale, distanța nu contează
    • d) Nu se poate ști fără rază
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $[MN]$, pentru că e mai aproape de centru

    În același cerc, coarda mai apropiată de centru este mai lungă. Cum $3\text{ cm}<8\text{ cm}$, coarda $[MN]$ este mai lungă.

    Lecția: Coarde paralele și coarde egal depărtate de centru →

11. Coardele $[MN]$ și $[PQ]$ ale aceluiași cerc de centru $O$ sunt egal depărtate de centru. Ce putem afirma cu siguranță?

    • a) $MN=PQ$
    • b) $MN$ este întotdeauna mai mare decât $PQ$
    • c) $[MN]$ și $[PQ]$ sunt neapărat paralele
    • d) Nu putem spune nimic despre lungimile lor
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $MN=PQ$

    Teorema spune că, într-un cerc, două coarde egal depărtate de centru sunt congruente, adică au aceeași lungime: $MN=PQ$. Egalitatea distanțelor nu spune nimic despre orientarea (paralelismul) coardelor.

    Lecția: Coarde și arce congruente în cerc →

12. Fie $M$ mijlocul unei coarde $[AB]$ dintr-un cerc de centru $O$, unde $[AB]$ nu este diametru. Ce relație există între $OM$ și $AB$?

    • a) $OM$ este paralel cu $AB$
    • b) $OM$ este perpendicular pe $AB$
    • c) $OM$ este egal cu $AB$
    • d) Nu există nicio legătură anume
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $OM$ este perpendicular pe $AB$

    Aceasta este reciproca teoremei: dreapta care unește centrul cu mijlocul unei coarde (ce nu e diametru) este perpendiculară pe acea coardă, deoarece $OM$ este mediană în triunghiul isoscel $OAB$, iar mediana din vârf coincide cu înălțimea.

    Lecția: Diametrul perpendicular pe o coardă →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.