Teorema lui Lagrange și cele trei consecințe

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$G$ este grup finit, iar $H$ un subgrup al lui. Consecința 1: ordinul oricărui element divide ordinul grupului. Consecința 2: ridicat la puterea $\mathrm{card}G$, orice element dă $e$ — instrumentul de calcul al puterilor mari. Consecința 3: un grup cu un număr prim de elemente e ciclic (și deci comutativ). ⚠️ Reciproca teoremei este falsă: faptul că un număr divide $\mathrm{card}G$ nu garantează existența unui subgrup cu atâtea elemente.

Exemplu: Un grup cu $15$ elemente nu poate avea un subgrup cu $6$ elemente, fiindcă $6\nmid 15$. • Un grup cu $7$ elemente e obligatoriu ciclic.