C.m.m.d.c. și algoritmul lui Euclid

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Se notează $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ — nu $(f,g)$, care s-ar confunda cu perechea — și se ia monic (coeficientul dominant $1$), ca să fie unic. Algoritmul lui Euclid împarte succesiv, fiecare rest devenind noul împărțitor; procedeul se oprește obligatoriu, fiindcă gradele scad strict. Faptul folosit în probleme: rădăcinile comune ale lui $f$ și $g$ sunt exact rădăcinile lui $\mathrm{cmmdc}(f,g)$, iar $\mathrm{cmmdc}(f,g)=1$ înseamnă că polinoamele nu au nicio rădăcină comună.

Exemplu: $f=X^3-1$, $g=X^2-1$: din $X^3-1=(X^2-1)X+(X-1)$ și $X^2-1=(X-1)(X+1)$ rezultă $\mathrm{cmmdc}(f,g)=X-1$.