Numărul de rădăcini și funcția polinomială

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Rezultatul se demonstrează prin inducție, folosind teorema lui Bézout, și e valabil peste orice corp — rădăcinile se numără în $K$, nu într-o extindere a lui. ⚠️ Deosebirea esențială față de clasa a X-a: peste ${\mathbb{Z}}_p$, polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială. Numărul rădăcinilor rămâne mărginit de grad, dar identitatea polinoamelor nu se mai poate verifica prin valori.

Exemplu: $X^3-X$ are funcția polinomială nulă pe ${\mathbb{Z}}_3$: ${\hat{0}}^3=\hat{0}$, ${\hat{1}}^3=\hat{1}$, ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{2}$ — deci toate trei clasele sunt rădăcini, deși polinomul nu e nul.