Funcția integrală

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f$ este continuă pe interval; teorema spune că $F$ este derivabilă și că derivata ei este chiar $f$ — deci orice funcție continuă admite primitive, iar $F$ este primitiva care se anulează în $a$. ⚠️ Variabila de sub integrală se notează $t$, întotdeauna: $x$ este capătul, nu variabila de integrare. Aplicațiile fixate: monotonia lui $F$ se citește din semnul lui $f$, extremele lui $F$ din zerourile cu schimbare de semn ale lui $f$, iar limitele de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$ se rezolvă cu L'Hôpital.

Exemplu: $F(x)={\int }_0^x\left(t^2-2t-3\right)dt$ are $F^{\prime }(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$: $F$ crește pe $(-\infty ,-1)$, scade pe $(-1,3)$ și crește apoi — maxim local în $-1$, minim local în $3$.