Regula recurenței la șirurile de integrale: formulă

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Recurența vine dintr-o observație de o linie: $x^n+a{x}^{n-1}=x^{n-1}(x+a)$, deci suma celor două integrale se simplifică la ${\int }_0^1{x}^{n-1}dx$. Regula generală, de reținut: coeficientul din recurență este termenul liber al numitorului, iar pasul recurenței este gradul numitorului — la numitor $x^2+a$ se adună $I_n$ cu $a{I}_{n-2}$. Pentru $a>0$, limita lui $n{I}_n$ se află cu cleștele: șirul este descrescător, deci din recurență $(1+a)I_n\le I_n+a{I}_{n-1}=\frac{1}{n}$ și $(1+a)I_n\ge I_{n+1}+a{I}_n=\frac{1}{n+1}$, adică $\frac{1}{(1+a)(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{(1+a)n}$ pentru $n\ge 1$; înmulțind cu $n$, ambele margini tind la $\frac{1}{1+a}$.

Exemplu: Pentru $a=1$: $I_0=\ln 2$, $I_1=1-\ln 2$, $I_2=\ln 2-\frac{1}{2}$, iar $I_1+I_0=1$, $I_2+I_1=\frac{1}{2}$ ✓; limita lui $n{I}_n$ este $\frac{1}{2}$.