Regula recurenței la șirurile de integrale

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{x + a} d x \Rightarrow I_{n} + a I_{n - 1} = \frac{1}{n}, n \to \infty lim n I_{n} = \frac{1}{1 + a}

Recurența vine dintr-o observație de o linie: $x^{n} + a x^{n - 1} = x^{n - 1} (x + a)$ , deci suma celor două integrale se simplifică la $\int_{0}^{1} x^{n - 1} d x$ . Regula generală, de reținut: coeficientul din recurență este termenul liber al numitorului, iar pasul recurenței este gradul numitorului — la numitor $x^{2} + a$ se adună $I_{n}$ cu $a I_{n - 2}$ . Pentru limita $n I_{n}$ se folosește cleștele: monotonia transformă recurența în inegalitate, iar încadrarea $\frac{1}{( 1 + a ) ( n + 1 )} \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ o închide.

Exemplu: Pentru $a = 1$ : $I_{0} = ln 2$ , $I_{1} = 1 - ln 2$ , $I_{2} = ln 2 - \frac{1}{2}$ , iar $I_{1} + I_{0} = 1$ , $I_{2} + I_{1} = \frac{1}{2}$ ✓; limita lui $n I_{n}$ este $\frac{1}{2}$ .

Regula recurenței la șirurile de integrale

Continuă cu