Teorema de medie și valoarea medie

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f$ este continuă pe $[a,b]$, iar $c$ este un punct din $[a,b]$ — teorema garantează existența lui, nu unicitatea, și nu spune cum se găsește (se află rezolvând ecuația $f(c)=f_{\text{med}}$). Interpretarea geometrică: dreptunghiul de bază $b-a$ și înălțime $f(c)$ are aceeași arie cu subgraficul. Valoarea medie este media aritmetică „continuă” a valorilor funcției; are aceeași unitate de măsură ca $f$, nu ca integrala.

Exemplu: Pentru $f(x)=\sqrt{2x+3}$ pe $[0,3]$: ${\int }_0^{3}f=9-\sqrt{3}$, deci $f_{\text{med}}=3-\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar din $\sqrt{2c+3}=f_{\text{med}}$ rezultă $c=\frac{19}{6}-\sqrt{3}\approx 1,435\in [0,3]$ ✓.