Elementele inversabile modulo n

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$(a,n)$ este c.m.m.d.c. al numerelor întregi $a$ și $n$, ca în gimnaziu. Criteriul spune că o clasă e inversabilă exact când reprezentantul ei e prim cu modulul; inversul se găsește fie încercând cele $n$ clase, fie din relația $au+nv=1$. Consecința folosită tot anul: dacă $p$ este prim, toate clasele nenule din ${\mathbb{Z}}_p$ sunt inversabile — de aceea ${\mathbb{Z}}_p$ va fi corp. Numărul claselor inversabile se notează $\phi (n)$ (indicatorul lui Euler); funcția se menționează, nu se predă.

Exemplu: $U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot )=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{7},\hat{8},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{14}\}$ — opt clase, adică $\phi (15)=8$. • În ${\mathbb{Z}}_7$: ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$, fiindcă $15=2\cdot 7+1$.