Semigrup, monoid și mulțimea elementelor simetrizabile

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Ierarhia fixată: semigrup = mulțime nevidă cu lege asociativă; monoid = semigrup cu element neutru; grup = monoid în care orice element e simetrizabil. $U(M,\ast )$ este mulțimea elementelor simetrizabile ale monoidului $(M,\ast )$ — se numesc și unitățile monoidului. Faptul important, folosit tot anul: $U(M,\ast )$ este parte stabilă și $(U(M,\ast ),\ast )$ este grup, oricare ar fi monoidul de la care ai plecat.

Exemplu: $U(\mathbb{Z},\cdot )=\{-1,1\}$; $U(\mathbb{Q},\cdot )={\mathbb{Q}}^{\ast }$; $U({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )=G{L}_2(\mathbb{R})$.